Chuong III
DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ

I. ĐỘNG LỰC HỌC MẠNG TINH THỂ
Những tính chất quan trọng của chất rắn đều liên quan đến dao động mạng tinh thể.
Trong tinh thể các nguyên tử này dao động quanh vị trí cân bằng của nó (nút mạng).
Dao động này được lan truyền trong mạng tinh thể tạo thành sóng trong mạng tinh thể.
Sóng này phụ thuộc vào 2 yếu tố:
Loại lực liên kết trong tinh thể
Cấu trúc của mạng tinh thể.
Loại lực liên kết thì liên quan tới bản chất của nguyên tử tạo nên tinh thể và sự tương tác giữ chúng.
Cấu trúc của tinh thể thì liên quan tới sự sắp xếp của các nguyên tử trong mạng.
Mỗi loại tinh thể cho một kiểu dao động riêng gọi là phổ phônôn của nó.
Phổ phô nôn quyết định phần lớn các tính chất quan trọng của chất rắn như: nhiệt dung, độ dẫn nhiệt, hệ số dãn nở nhiệt..
? Bài toán dao động mạng tinh thể là một phần quan trọng của vật lý chất rắn.
Xét mẫu tinh thể đơn giản nhất là argon
Các nguyên tử argon trung hòa xếp đều đặn với các lớp vỏ điện tử bão hòa vững chắc.
Chúng liên kết với nhau bằng liên kết Van der Waals tác dụng chủ yếu giữa các nguyên tử nằm lân cận gần nhất.
Các quá trình vật lý trong tinh thể này liên quan tới chuyển động nhiệt của các nguyên tử quanh vị trí cân bằng của nó.
Theo mẫu Einstein: mỗi nguyên tử trong tinh thể dao động điều hòa trong một giếng thế tạo bởi các lực tương tác của nó với các nguyên tử lân cận ? Thế Lennard - Jones.

Mi = khối lượng của nguyên tử th? i.
Giới hạn c?a mẫu là xét trong điều kiện nhiệt độ khá cao.
Vị trí của nguyên tử thứ i trong mạng tinh thể được xác định bởi véctơ vị trí:
Dộng năng của mạng là:
Khai triển hàm U thành chuỗi Taylor quanh VTCB và coi dao động của nguyên tử là dao động bé.
Uo = thế năng của mạng tinh thể khi các nguyên tử ở nút mạng = const = chọn bằng 0.
Và:
? = hằng số lực.
? Vậy thế năng c?a tinh thể là thế năng dao động điều hòa dạng:
? U = Uo + Uđiều hòa = Uđiều hòa
Phương trình dao động có dạng phương trình dao động điều hòa:
Hay:
Lực tác dụng gây ra dao động của nguyên tử có dạng lực hồi phục:
Xét trường hợp mạng một chiều gồm:
Các nguyên tử cùng loại có khối lượng M nằm trên cùng một đường thẳng
Chúng chỉ tương tác với các nguyên tử gần nhất.
Khoảng cách giữa các nguyên tử gần nhất là a.
II. DAO ĐỘNG MẠNG CỦA MẠNG MỘT CHIỀU GỒM MỘT LOẠI NGUYÊN TỬ
Xét nguyên tử thứ i ở vị trí nút R = na.
Độ dịch chuyển của nút này là u(na).
Thế năng trong trường hợp này có dạng:

Do tính tuần hoàn mạng và coi tinh thể là một chuỗi dài vô hạn chứa N nguyên tử ? áp dụng điều kiện biên Born- von Karman:
u[(N+1)]a = u(a) ; u (0) = u (Na)
Đặt :
u (na,t) = uoe i(kna - ?t) (2)
Điều kiện biên dẫn tới:
? U = -? [2u(na) - u[(n+1)a] -u[(n-1)a] (1)
Từ (1) và (2) ta suy ra được:
M?2ei(kna - ?t) = -?[ 2 - e-ika - eika ] ei (kna - ?t)
= - 2 ? ( 1 - coska) ei (kna - ?t)
NHẬN XÉT
Điều kiện phải thỏa của ? > 0 và hàm sin là hàm tuần hoàn có chu kỳ 2?.
Vậy các dao động mạng đều nhận được khi:
Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của ? theo k gọi là đường cong tán sắc.
Tần số góc ? (k) là một hàm tuần hoàn theo k.
Khi ka << 1 thì:
? ?(k) ? k ? sóng đàn hồi trong môi trường liên tục
? Vì vậy chỉ cần khảo sát trong vùng Brillouin.
III. DAO ĐỘNG MẠNG CỦA MẠNG MỘT
CHIỀU GỒM HAI LOẠI NGUYÊN TỬ
Xét trường hợp mạng một chiều, trong đó chứa 2 loại nguyên tử khối lượng M1 và M2 có hằng số lực ? bằng nhau.
Coi các nguyên tử chỉ tương tác với các nguyên tử gần nhất.
Khoảng cách giữa các nguyên tử gần nhất là a.
Đối với nguyên tử thứ nhất:
Trong đó: u1(na) = u01ei(kna- ?t)
u2(na) = u02ei(kna- ?t)
Phương trình dao động có dạng:
? (2? - M1?2) u1 - 2?coska u2 = 0 (1)
Đối với nguyên tử thứ hai:
-2?coska u1 + (2? - M2?2) u2= 0 (2)
NHẬN XÉT
Đồ thị của ?+ và ?- cho thấy:
+ Dối với nghiệm ?- :
k ? 0: ?-(k) ? k ? dao dộng â�m học (vì nó tuong tự như dao dộng sóng dài trong môi truờng liên tục đàn hồi) ? Nhánh âm
+ Đối với nghiệm ?+:
Khi k ?? 0: nhánh ?+ nằm xa nhánh ?-
Khi k ?tăng: nhánh ?+ tiến gần nhánh ?-
? dao dộng quang học ? Nhánh quang
Tương tự nếu xét mạng dao động một chiều gồm 3 nguyên tử:
M1 ? M2 ? M3 thì ta sẽ có 3 nhánh dao động:
Khi qua các biên này tần số thay đổi một cách gián đoạn tạo thành một khe .
1 nhánh âm học và 2 nhánh quang học.
TỔNG QUÁT
Trường hợp mạng một chiều có n nguyên tử khác loại sẽ có n nhánh dao động mạng, trong đó:
1 nhánh âm học và (n-1) nhánh quang học
Trường hợp mạng 3 chiều có 1 loại nguyên tử, dao động mạng sẽ có 3 nhánh âm, trong đó:
1 nhánh âm dọc và 2 nhánh âm ngang
Trường hợp mạng ba chiều có n nguyên tử khác loại sẽ có 3n nhánh dao động mạng, trong đó:
3 nhánh âm học và 3(n-1) nhánh quang học
IV. CÁC PHÔNÔN
Tính chất của Trường điện từ
+ Tính chất sóng: sóng điện từ đặc trưng bởi bước sóng ?
+ Tính chất hạt: các lượng tử = phôtôn
Mỗi phôtôn sẽ mang một năng lượng và một động lượng xác định:
Tương tự, ta có thể coi mạng tinh thể dao động ngoài tính chất sóng nó còn có tính chất hạt, những hạt đó gọi là phônôn.
Mỗi phônôn sẽ mang một năng lượng và một xung lượng:
Trong phép gần đúng dao động điều hòa, các phônôn coi như chuyển động tự do tạo thành khí phônôn lý tưởng.
Năng lượng của dao động mạng là tổng năng lượng của các phônôn:
Khác với các electron và nguyên tử là các phônôn không tồn tại ngoài tinh thể mà liên hệ chặt chẽ với cấu trúc tinh thể.