� 4 : CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG
TAM GIÁC
1 - ĐỊNH LÝ CÔSIN
Trong ?ABC . Ta luôn có :
a2 = b2 + c2 - 2 b.c. cos A
A
B
C
a
b
c
c2 = a2 + b2 - 2 a.b. cos C
b2 = a2 + c2 - 2 a.c. cos B
Chứng minh :
a2 = b2 + c2 - 2 b.c. cos A
?
?
a2 = b2 + c2 - 2 b.c. cos A
(đpcm)
Đặc biệt :
A = 900
?
a2 = b2 + c2
(định lý Pitago)
Dùng công thức để tính góc tam giác .
Ví du :
Cho ?ABC có :
BC = 8 ; AB = 3 ; AC = 7
Lấy D ? BC sao cho BD = 5 . Tính độ dài AD ?
Giải :
A
B
C
|
3
7
8
5
D
?
. Tính AD = ?
?
Xét ? ABD
Theo đl Côsin :
AD 2 = AB2 + BD2 - 2 AB.BD.cosB
. Mà ? ABC có :
cos B =
. ?
AD 2 = AB2 + BD2 - 2 AB.BD.cosB
AD 2 = 32 + 52 - 2. 3.5.
(đvđd)
2 - ĐỊNH LÝ SIN
Trong ?ABC nội tiếp đường tròn
bán kính R. Ta luôn có :
A
B
C
a
b
c
Chứng minh :
Nối BO kéo dài cắt đtròn tại A`
?
?
sin A = sin A`
. Mà ?BCA` vuông tại C nên :
.
O
R
A`
?
Vậy có đpcm .
Các công thức khác chứng minh tương tự
Ví du :
Cho ?ABC có :
b + c = 2a
Chứng minh :
2.sin A = sin B + sin C
Giải :
. Có b + c = 2 a
?
2R.sin B +2R. sin C = 2.2R. sin A
?
sin B +sin C = 2 sin A
3 - CÁC CÔNG THỨC VỀ DIỆN TÍCH
a) Định lý :
Cho ?ABC cạnh a ; b ; c ; R bán kính
đtròn ngoại tiếp ; r bán kính đtròn
nội tiếp ; p là nửa chu vi tam giác có :
b) Ví du :
Cho ?ABC có :
a = 13 ; b = 14 ; c = 15
Tính :
S ; R ; r ?
Giải :
. Tính
mà
c2 = a2 + b2 - 2.ab. cos C
?
sin2C + cos2C = 1
. Có
?
. Vậy
. Tính
Có
?
. Tính
Có
?
= 4�
4 - CÔNG THỨC ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN
a) Định lý :
Trong ?ABC có :
A
B
C
.
M
a
b
c
ma
b2 + c2 = 2.ma2 +
?
ma2 =
mb2 =
mc2 =
Chứng minh :
b2 + c2 =
(qt3đ)
(véctơ đối)
?
b2 + c2 = 2.ma2 +
?
ma2 =
b) Ví du 1:
Cho 2 điểm A và B cố định . Tìm quỹ tích những
điểm M thoã điều kiện MA2 + MB2 = k2 ( k là số cho trước)
Giải :
.
A
.
B
. Gọi O là trung điểm AB
.
O
.
M
. M thoã đk MA2 + MB2 = k2
nên MO là trung tuyến ?MAB
?
MA2 + MB2 = 2.MO2 +
?
.MO2 =
.
?
.MO =
? Quỹ tích của M là đường tròn tâm O bán kính MO
.
?
.MO = 0
? M ? O
? Quỹ tích của M là điểm O
.
? Quỹ tích của M là không xác định .
.
c) Ví du 2:
Cho 2 điểm A và B cố định . Tìm quỹ tích những
điểm M thoã điều kiện MA2 - MB2 = k ( k là số cho trước)
Giải :
A
B
O
M
.
.
.
.
. Gọi O là trung điểm AB
. M điểm tuỳ ý ; H là hình chiếu của M trên AB
H
. Tính MA2 - MB2
=
=
. A�p dụng định lý hình chiếu
?
. Vậy MA2 - MB2
?
. Vậy điểm H được xác định
?
Quỹ tích điểm M là đường thẳng
vuông góc với AB tại H với