Giáo viên: Nguyễn Thị Hương Giang
Trường Thực hành Sư phạm

NGUYÊN HÀM
1. Định nghĩa nguyên hàm
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được
gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu
F'(x)=f(x),  x  K

ĐL1. F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì
G(x)= F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K ( C
là hằng số)
ĐL 2. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K
thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) +C với
C là hằng số
Kí hiệu:
f ( x)dx F ( x)  C
ĐL 3. Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
Chú ý: 1) f(x)dx là vi phân của hàm số F(x)
2)Từ định nghĩa và ký hiệu nguyên hàm ta có:

f (t )dt F (t )  C ; f (u )du F (u )  C 

2.Tính chất của nguyên hàm

TC 1:

'
f
 ( x)dx  f ( x)  C

TC 2:

kf ( x)dx k f ( x)dx

TC 3:

(k lµ h»ng sè kh¸c 0)

[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx

VD:Tìm nguyên hàm của hàm số

f ( x) 5s in x 

Giải: Ta có


3
1
5sin
x

dx

5
sin
x
dx

3
dx




x
x

 5cos x  3ln x  C

3
x

0 ; 

3. B¶ng nguyªn hµm

0dx

ax
a dx  ln a  C 0  a 1

C

x

dx  x  C
1

 1
x
d
x

x
C

 1

cos xdx s inx  C
  1

1
x dx ln x  C
x
x
e
dx

e
C


sin xdx 

cos x  C

1
cos 2 x dx tan x  C

1
s in 2 x dx  cot x  C

4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
a. Phương pháp đổi biến số.
Nếu
số có đạo hàm liên tục thì

và u = u(x) là hàm

'
f
(
u
(
x
))
u
( x ) dx F (u(x))  C


Hệ quả: Với u = ax+b ( a khác 0), ta có

1
f (a x  b) dx  a F (a x  b)  C

Bảng nguyên hàm

4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x)
có đạo hàm liên tục trên K thì
'
u
(
x
)
v
( x ) dx u( x ). v( x ) 


Vì

v ' ( x ) dx d v,

'
u
 ( x) v( x) dx

u ' ( x) dx d u nên

udv u . v  v du

Câu 1. (TK THPT QG 2019) Họ nguyên hàm của
x
f
x

e
   x là.
hàm số
1 2
x
x
2
e  x  C.
A. e  x  C.
B.
2
1 x 1 2
x
e  1  C.
C.
e  x D.
C.
x 1
2
Lời giải:
1 2
x
x
Ta có: e  x dx e  x  C.
2

Câu 2. (Minh họa 2020) Họ nguyên hàm của hàm
số f  x  cos x  6 x là.
2

A. sin x  3x  C. B.
2
C. sin x  6 x  C. D.

2

 sin x  3 x  C.
 sin x  C.

Lời giải:
Ta có:

2
f
x
dx

cos
x

6
x
dx

sin
x

3
x
 C.

   

Câu 3. (THPT QG năm 2017 MĐ 110) Tìm nguyên
1
hàm của hàm số
f x  
.
5x  2
dx
1
dx
 ln 5 x  2  C.
A. 
5ln 5B.
x  2  C. 
5x  2 5
5x  2
dx
1
dx
 ln 5 x  2  C.
 ln 5 xD.
 2  C.
C.

5x  2 2
5x  2
Lời giải:
dx
1
 ln ax  b  C , a 0 .
Áp dụng công thức 
ax  b a

Câu 4.(TN 2022) Hàm số F  x  cot x là một nguyên
 
hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng  0; 
 2
1
1
f3 
.
f2  2 .
2
sin x
sin x
A.
B.
1
1
f4  2 .
f1 
.
cos x
2
cos x D.
C.
Lời giải:
'
Ta có: f ( x) dx  f ( x)  C
1
'
'
F  x  cot x  
sin 2 x

1
.
Câu 5. Hàm số f ( x ) ln x là nguyên
hàm của hàm
x
số nào sau đây ?
1 1
y  2.
A. y ln x  1.
B.
x x
1 2
1
1 2
1
y  ln x  .
C. y  ln x  2 .D.
2
x
2
x
Lời giải:
Áp dụng tính chất f ( x)' dx  f ( x)  C



1 ' 1 1
f ( x) (ln x  )   2
x
x x
'

Câu 6. (MH lần 1 năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm
f  x   2 x  1.
số
2
A . f  x dx  2 x  1 2 x  1  C .
3
1
B. f  x dx  2 x  1 2 x  1  C .
31
C . f  x dx  
2 x  1  C.
13
D. f  x dx 
2 x  1  C.
2
Lời giải:

Lời giải theo phương pháp đổi biến  2 x  1dx
2
u

2
x

1

u
2 x  1  2udu 2dx  dx udu.
Đặt:
Ta có:
3
3
u
1
2
 2 x  1dx u.udu u du  3  C 3 2 x  1  C
1
 2 x  1 2 x  1  C.
3





Câu 6. (MH lần 1 năm 2017) Tìm nguyên hàm của hàm
f  x   2 x  1.
số
2
A . f  x dx  2 x  1 2 x  1  C .
3
1
B. f  x dx  2 x  1 2 x  1  C .
31
C . f  x dx  
2 x  1  C.
13
D. f  x dx 
2 x  1  C.
2

Câu 7. (TK THPT QG 2019) Họ nguyên hàm của
hàm số f  x  4 x 1  ln x  là.
2
2
2
2
2
x
ln
x

x
.
2
x
ln
x

3
x
.
A.
B.
2
2
2
2
2
x
ln
x

x
 C.
C.
C. 2 x ln x  3 x D.
Lời giải:
 lnx2dx
2  4 xdx
2  4 x ln xdx.
Ta có:I 2 x 2Ilnx4 x 21xdx


x
ln
x

x

C
2
2
2.

I

4
xdx

2
x

C
.
+Tính
1
1

Do đó
2
2
I

I

I

2
x
ln
x

x
 C.
Vậy: I 2 14 x2ln xdx.
Đặt
1

u ln x
du  dx
 
x

dv 4 xdx v 2 x 2


F x 
Câu 8. (THPT 2017 MĐ 104) Tìm nguyên
hàm

 
F  thỏa
x  sin
 2.
củaf hàm
số x  cos x
2

F  x   cos x  sin x  3.
F  x  cos x  sin x  3.
A. F  x   cos x  sin x  1. B. F  x   cos x  sin x  1.
C.
D.
Lời giải:
Ta có:

F  x  f  x dx sin x  cos x dx  cos x  sin x  C .

Do: F     cos   sin   C 2  C 1
2
2
 2
 F  x   cos x  sin x  1.

Câu 9. (MH THPT QG 2017) Biết F  x  là một
1
nguyên hàm của f  x  
và F 2  1. Tính F 3.
x 1
F 3 ln 2  1.
A. F 3 ln 2  1.B.
1
C. F 3  .
Lời giải: 2

D.

7
F 3  .
4

1
dx ln x  1  C .
Ta có: F  x  f  x dx 
x 1
Do: F 2  1  ln1  C 1  C 1.
Vậy: F  x  ln x  1  1. Suy ra: F 3 ln 2  1.

1
Câu 10. (THPT QG 2017 MĐ 104) Cho F  x   2 là
2x
f
x


một nguyên hàm của hàm số
.Tìm nguyên hàm
x
f  x ln x.
của hàm số
ln x
1 

A . f  x ln xdx   2  2   C .
2x 
 x
ln x 1
B. f  x ln xdx  2  2  C.
x
x
ln x 1 

C. f  x ln xdx   2  2   C.
x 
 x
ln x
1
D. f  x ln xdx  2  2  C.
x
2x

Lời giải: f  x 
1
dx  2 .

f
x ln xdx



Ta có:
Tìm
x
2x
1

u ln x
du  dx
Đặt
 
x

'
dv  f ( x)dx v  f ( x )

Khi đó:
f ( x)
1
f  x ln xdx  f ( x)ln x   x dx f ( x)ln x  2 x 2  C
1 '
f ( x)
 1 f ( x)
1
F  x  ( 2 ) 
 3 
 f ( x)  2
2x
x
x
x
x
'

1
Câu 10. (THPT QG 2017 MĐ 104) Cho F  x   2 là
f
x
2
x


một nguyên hàm của hàm số
.Tìm nguyên hàm
x
f  x ln x.
của hàm số
ln x
1 

A . f  x ln xdx   2  2   C .
2x 
 x
ln x 1
B. f  x ln xdx  2  2  C.
x
x
ln x 1 

C. f  x ln xdx   2  2   C.
x 
 x
ln x
1
D. f  x ln xdx  2  2  C.
x
2x

Câu 11. (MĐ 104 BGD&ĐT 2018) Cho hàm số f  x 
2
3
thỏa mãn f  x  x  f  x  với mọi x  .và
1
f 2   Giá trị của f 1 bằng. 79
4
4
71
5
.
A.  .
B. 
C. 
D.  .
.
20
5
35
f  x 20
1
dx 
C
Lời giải: 
2
f ( x) 
 f  x 
f x 
2
3
3

x
Ta có: f  x  x  f  x  
2
 f  x 
4 
4
f  x 
x
1
x
3
 
dx x dx   C 
 C
2
4
f ( x) 4
 f  x 

Do

1
1
24
f 2   
  C  C 1
5
4
f 2 
14
5
4

  1   f (1) 
4
4
5
f 1
1

Câu 11. (MĐ 104 BGD&ĐT 2018) Cho hàm số f  x 
2
3
thỏa mãn f  x  x  f  x  với mọi x  .và
1
f 2   Giá trị của f 1 bằng. 79
4
4
71
5
.
A.  .
B. 
C. 
D.  .
.
20
5
35
20

Câu 12. (MH 2020) Cho hàm số f  x  liên tục trên .
x
cos
2x
f
x
.
e
,


Biết
là một nguyên hàm của hàm số
x

họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x .e là.
 sin 2 x  cos 2 x  C.
 2sin 2 x  cos 2 x  C.
A.  2sin 2 x  cos 2B.x  C.
2sin 2 x  cos 2 x  C.
C. giải:
D.
Lời
x
Do cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f  x .e
x
x

nên f  x .e cos 2 x   f  x .e  2sin 2 x.
x
f
x
.
e
Khi đó ta có:    dx cos 2 x  C.

Đặt u  f  x 


x
dv e dx
Khi đó:

du  f  x dx

x
v e

x
f
x
.
e
   dx cos 2 x  C

 f  x .e x 


x

f
x
.
e
   dx cos 2 x  C

x

f
x
.
e
   dx  2sin 2 x  cos 2 x  C.

x

f
x
.
e
Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số   là
 2sin 2 x  cos 2 x  C.

Câu 12. (MH 2020) Cho hàm số f  x  liên tục trên .
x
cos
2x
f
x
.
e
,


Biết
là một nguyên hàm của hàm số
x

họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x .e là.
 sin 2 x  cos 2 x  C.
 2sin 2 x  cos 2 x  C.
x  C.
A.  2sin 2 x  cos 2B.
2sin 2 x  cos 2 x  C.
C.
D.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI TẬP RÈN LUYỆN