ĐẠI SỐ 8
Năm học 2021 – 2022
NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁN NHỚ (Tiếp theo)
6. Tổng hai lập phương
a) Thực hiện phép tính
Với a, b là hai số tùy ý, hãy tính: (a + b)(a2 - ab + b2). So sánh kết quả vừa tính được với a3 + b3.
Trả lời:
Có: (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3 = a3 + b3.
Như vậy, (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3.

b) Tổng quát
Tổng hai lập phương: Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có:
                 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)

Lưu ý: Ta quy ước gọi A2 - AB + B2 là bình phương thiếu của A - B.
c) Vận dụng
- Viết 8x3 + 27 dưới dạng tích.
- Viết (x + 3)(x2 - 3x + 9) dưới dạng tổng.
Trả lời:
- Có: 8x3 + 27 = (2x)3 + 33 = (2x + 3)[(2x)2 - 2x.3 + 32] = (2x + 3)(4x2 - 6x + 9).
- Có: (x + 3)(x2 - 3x + 9) = (x + 3)(x2 - 3x + 32) = x3 + 33 = x3 + 27.
7. Hiệu hai lập phương
a) Với a, b là hai số tùy ý, hãy tính: (a - b)(a2 + ab + b2). So sánh kết quả vừa tính được với a3 - b3.
Trả lời:
Có: (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3 = a3 - b3.
Như vậy, (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3.
b) Đọc kĩ nội dung sau
Hiệu hai lập phương: Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có:
                 A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
Lưu ý: Ta quy ước gọi A2 + AB + B2 là bình phương thiếu của A + B.
c) Vận dụng:
- Viết 8x3 - 27y3 dưới dạng tích.
- Hãy đánh dấu x vào ô trống có đáp số đúng của tích: (2 - x)(4 + 2x + x2).
Trả lời:
- Có: 8x3 - 27y3 = (2x)3 - (3y)3  = (2x - 3y)[(2x)2 + 2x.3y + (3y)2] = (2x - 3y)(4x2 + 6xy + 9y2).
x
Luyện tập
Câu 1:
a) Viết lại bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.
b) Hãy phát biểu bằng lời các hằng đẳng thức: Tổng hai lập phương, hiệu hai lập phương.
Trả lời
a) Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:
(1) Bình phương của một tổng: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. 
(2) Bình phương của một hiệu: (A - B)2 = A2 - 2AB + B2. 
(3) Hiệu hai bình phương: A2 - B2 = (A + B)(A - B).
(4) Lập phương của một tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.
(5) Lập phương của một hiệu: (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3.
(6) Tổng hai lập phương: A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2).
(7) Hiệu hai lập phương: A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2).
b) - Tổng các lập phương bằng tích của tổng hai số và bình phương thiếu của một hiệu.
    - Hiệu các lập phương bằng tích của hiệu hai số và bình phương thiếu của một tổng.
Câu 2:
Rút gọn các biểu thức sau:
a) (x - 3)(x2 + 3x + 9) - (54 + x3);
b) (3x + y)(9x2 - 3xy + y2) - (3x - y)(9x2 + 3xy + y2).
Bài làm:
a) (x - 3)(x2 + 3x + 9) - (54 + x3) = x3 - 33 - (54 + x3) = x3 - 27 - 54 - x3 = -81;
b) (3x + y)(9x2 - 3xy + y2) - (3x - y)(9x2 + 3xy + y2) = 9x3 + y3 - (9x3 - y3) = 2y3.
Câu 3:
Chứng minh rằng:
a) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b);
b) a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b). 
Áp dụng: Tính a3 + b3 biết ab = 12 và a + b = -7.
Bài làm:
a) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b);
Ta có:
VP = (a + b)3 - 3ab(a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - 3a2b - 3ab2 = a3 + b3 = VT (đpcm).
b) a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b). 
Ta có:
VP = (a - b)3 + 3ab(a - b) = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 + 3a2b - 3ab2 = a3 - b3 = VT (đpcm).
Áp dụng: Tính a3 + b3 biết ab = 12 và a + b = -7.
Có: a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) = (-7)3 - 3.12(-7) = -91.
Câu 4:
Điền các đơn thức thích hợp vào chỗ trống:
a) (x + 3y)(...... - ...... + ......) = x3 + 27y3;
b) (2x - ......)(...... + 6xy +......) = 8x3 - 27y3.
Bài làm:
a) (x + 3y)( x2 - 3xy + 9y2) = x3 + 27y3;
b) (2x - 3y)(4x2+ 6xy +9y2) = 8x3 - 27y3.
Câu 5:
Tính nhanh kết quả của các biểu thức sau:
a) A = 532 + 106.46 + 472;
b) B = 54.34 - (152 - 1)(152 + 1);
c) C = 502 - 492 + 482 - 472 + ... + 22 - 12.
Bài làm:
a) A = 532 + 106.46 + 472 = 532 + 2.53.47 + 472 = (53 + 47)2 = 1002 = 10000;
b) B = 54.34 - (152 - 1)(152 + 1) = (15)4 - (154 - 1) = 154 - 154 + 1 = 1;
c) C = 502 - 492 + 482 - 472 + ... + 22 - 12
       = (50 - 49)(50 + 49) + (48 - 47)(48 + 47) + ... + (2 - 1)(2 + 1)
       = 50 + 49 + 48 + 47 + ... + 2 + 1 = (50 + 1).50 : 2 = 1275.
Thuộc 7 hằng đẳng thức
Làm bài tập: 17 SBT/ trang 7.
- Xem BT trong SBT - Ti?t sau luy?n t?p
HƯỚNG DẪN TỰ HỌC