Xét tính đơn điệu của hàm số của chứa tham số
2. Tìm điều kiện của hàm số có cực trị và điểm cực trị thoả mãn một tính chất nào đó
3. Giá trị lớn nhất giả trị nhỏ nhất của hàm số
4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
5. Điểm cố định của họ hàm số
6. Sự tương giao của hai đồ thị
7. Biện luận số nghiệm của PT dưa vào đồ thị hàm số
8. Khoảng cách
Các dạng bài tập liên quan đến khảo sát hàm số.
BIỆN LUẬN
SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH
BẰNG ĐỒ THỊ
BTập : Cho hàm s?
y = x3 - 3x + 1 ( C)
GIẢI
Khảo sát hàm số và vẽ dồ thị ( C ).
Biện luận số nghiệm của PT :
x - 3x + 1 - m = 0
3
1. Miền xác định : D = R
y` = 3x2 - 3 =0
x = 1 V x = - 1
Bảng biến thiên:
x
- 1
1
0
0
+
-
+
y`
y
3
- 1
CĐ
CT
y`` = 6x=0
x = 0
x
y``
y
lồi
lõm
0
0
-
+
Điểm đặc biệt :
x = 2
y = 3
x = - 2
y = - 1
Điểm uốn I ( 0; 1 )

Đồ thị :
( C ): y = x3 - 3x + 1
I
CT
CĐ
0
biện luận theo tham số m số
nghiệm của phương trình : x3 - 3x + 1 - m = 0 .
GIẢI
x3 - 3x + 1 = 0 (*)
x3 - 3x + 1 = m (1)
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị :
Dựa vào đồ thị ( C), ta có :
?
Có nhận xét gì về phương trình (1)
( C )
( d )
- m
- m = 0
- m
Số giao điểm của hai đồ thị bằng với
số nghiệm phương trình hoành độ
giao điểm của hai đồ thị đó.
( C ): y = x3 - 3x + 1
d: y = m
2. Dùng đồ thị ( C ) để
Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của
phương trình f(x,m)=0 ( * )
Chuyển vế phương trình (*) thành dạng f(x)=g(m).
Vẽ (C) : y = f(x) và vẽ d : y = g(m) cùng phương
với Ox trên cùng một hệ trục tọa độ.
(thường là (C) đã được vẽ trong những phần trước)
Số giao điểm của d và (C) là số nghiệm của (1).
Phương pháp:Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của
phương trình f(x,m)=0 ( * ) ?
biện luận theo tham số m số
nghiệm của phương trình : x3 - 3x + 1 - m = 0 .
GIẢI
x3 - 3x + 1 = 0 (*)
x3 - 3x + 1 = m (1)
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị :
Dựa vào đồ thị ( C), ta có :
?
Có nhận xét gì về phương trình (1)
( C )
( d )
- m
- m = 0
- m
Số giao điểm của hai đồ thị bằng với
số nghiệm phương trình hoành độ
giao điểm của hai đồ thị đó.
( C ): y = x3 - 3x + 1
d: y = m
Dùng đồ thị ( C ) để
Đồ thị :
( C ): y = x3 - 3x + 1
I
CT
CĐ
0
d : y=m
Đồ thị :
( C ): y = x3 - 3x + 1
I
CT
CĐ
y = m< - 1
0
Số giao điểm
của (C) và d là 1

Biện luận :
m <-1: (1) có một nghiệm
x1
Đồ thị :
( C ): y = x3 - 3x + 1
I
CT
CĐ
y = m= - 1
0
Số giao điểm
của (C) và d là 2

Biện luận :
m =-1: (1) có hai nghiệm
x1
x2
Đồ thị :
( C ): y = x3 - 3x + 1
I
CT
CĐ
-1< y = m < 3
0
Số giao điểm
của (C) và d là 3

Biện luận :
-1 < m < 3: (1) có ba nghiệm
x1
x2
x3
Đồ thị :
( C ): y = x3 - 3x + 1
I
CT
CĐ
y = m = 3
0
Số giao điểm
của (C) và d là 2

Biện luận :
m = 3 : (1) có hai nghiệm
x2=
x1=
Đồ thị :
( C ): y = x3 - 3x + 1
I
CT
CĐ
y = m
0
Số giao điểm
của (C) và d là 1

Biện luận :
m > 3 : (1) có một nghiệm
x1
>3
2
2
2
2
3
1
1
3
Bảng biện luận:
ĐỒ THỊ
Biện luận :
m < - 1 : (1) có một nghiệm
m = -1 : (1) có hai nghiệm
-1 < m < 3 : (1) có ba nghiệm
m = 3 : (1) có hai nghiệm
m > 3 : (1) có một nghiệm
1. Chưa nắm chắc kiến thức về sự tương giao của hai đồ thị nên không hiểu tại sao lại phảI biến đổi PT :
f(x, m) = 0 ? f(x) = g(m)
2. Học sinh thường coi PT : f(x) = g(m) giống như PT f(x) = m trong phần lí thuyết xây dựng.
3. Học sinh khá, giỏi thường cọi m như là ẩn số nên có suy nghĩ là hàm số y = g(m) có thể không phảI là đường thẳng song song với trục ox
4. Khi biến đổi PT: f(x, m) = 0 ? f(x) = g(m) có thể làm thay đổi Điều kiện của PT ( khi thực hiện phép chi đa thức )

Những sai lầm mà học sinh thường mắc phảI khi làm bài tập biện luận của PT dựa vào đồ thị
Biện luận số điểm chung của đồ thị hàm bậc ba với trục hoành 0x
1. (C) và 0x có 1 điểm chung
Hoặc
Biện luận số điểm chung của đồ thị hàm bậc ba với trục hoành 0x
2. (C) và 0x có 2 điểm chung
y có cực trị bằng 0
Biện luận số điểm chung của đồ thị hàm bậc ba với trục hoành 0x
3. (C) và 0x có 3 điểm chung
y có 2 cực trị trái dấu
Biện luận số điểm chung của đồ thị hàm bậc ba với trục hoành 0x
4. (C) cắt 0x tại 3 điểm có hoành độ dương
y(0) = d
Biện luận số điểm chung của đồ thị hàm bậc ba với trục hoành 0x
5. (C) cắt 0x tại 3 điểm có hoành độ âm
y(0) = d
CÂU HỎI 2
2) Định m để phương trình: x2 - m x + 3 - m = 0
có ít nhất một nghiệm âm.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
Đồ thị
0
x = - 1
y = x
I
CĐ
CT
Định m để phương trình:
x2 - m x + 3 - m = 0
có ít nhất một nghiệm âm.

GIẢI
x2 - m x + 3 - m = 0 ( 1 )
x2 + 3 = m x + m
x2 + x + 4 = mx + m + 1 + x
x2 + x + 4 = m(x + 1) + (1 + x)
x2 + x + 4 = (x + 1) (m + 1) ( 2 )
( x = - 1 không là nghiệm của phương trình (2) )
(3) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
(C) và đường thẳng d: y = m + 1 cùng phương với trục
Ox. Dựa vào đồ thị :
VT(2)= 4
VP(2)= 0
- 1
Đồ thị
0
x = - 1
y = x
I
CĐ
CT
y=m+1> 4
x0
x0 =-3
y=m+1= - 5
y= m+1< - 5
x1
x2
y=m+1
x2 - m x + 3 - m = 0
có ít nhất một nghiệm âm