3.39

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Không có tứ giác nào mà không có góc tù.
B. Nếu tứ giác có ba góc nhọn thì góc còn lại là góc tù.
C. Nếu tứ giác có hai góc tù thì hai góc còn lại phải nhọn.
D. Không có tứ giác nào có ba góc tù.

• Khẳng định A sai vì có xảy ra trường hợp tứ giác mà không có góc tù.
Chẳng hạn như hình chữ nhật có bốn góc vuông,
• Khẳng định B :
Tứ giác có 3 góc nhọn thì tổng số đo của 3 góc nhọn bé hơn
Vậy góc còn lại sẽ lớn hơn , đó là góc tù.
• Khẳng định C sai vì có thể xảy ra trường hợp tứ giác có hai góc tù, một góc
vuông và một góc nhọn.
Ví dụ : Tứ giác ABCD có ,
• Khẳng định D sai vì có thể xảy ra trường hợp tứ giác có ba góc tù.
Ví dụ : Tứ giác MNPQ có ,

Chọn đáp án B

3.40

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai?
a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình bình hành.
b) Tứ giác có hai cặp cạnh bằng nhau là hình bình hành.
c) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
d) Tứ giác có ba cạnh bằng nhau là hình thoi.

• Khẳng định a) sai vì tứ giác có hai đường chéo bằng nhau thì chưa chắc
tứ giác đó là hình bình hành.
• Khẳng định b) sai vì tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình
hành, còn tứ giác có hai cặp cạnh bằng nhau thì chưa khẳng định được là
hình bình hành.
• Khẳng định c) đúng.
0
0
0
Tứ giác có ba góc vuông thì số đo của góc còn lại là: 360  90 .3 90
Khi đó, số đo của góc còn lại cũng là góc vuông.
Do đó, tứ giác đã cho có bốn góc vuông nên tứ giác đó là hình chữ nhật.
• Khẳng định d) sai vì tứ giác có bốn cạnh bằng nhau mới là hình thoi.

3.41

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai?
a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và hai cạnh đối nào cũng bằng nhau
là hình chữ nhật.
b) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình bình hành.
c) Tứ giác có 2 cạnh song song và 2 đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
d) Tứ giác có 2 cạnh song song và 2 cạnh còn lại bằng nhau là hình bình hành.

a) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Nên tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và hai cạnh đối nào cũng bằng
nhau là hình chữ nhật . Do đó khẳng định a) đúng.
b) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình bình hành.
Do đó khẳng định b) đúng
c) Hình thang có và hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Nên tứ giác có hai cạnh song song và hai đường chéo bằng nhau là hình
thang cân. Do đó khẳng định c) đúng.
d) Tứ giác có hai cạnh song song và hai cạnh còn lại bằng nhau nhưng
không song song thì không là hình bình hành. Do đó khẳng định d) sai.

2.32

Chứng minh rằng nếu tứ giác có hai đường chéo bằng nhau
và một cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là một hình
thang cân (H.3.59).
A

 Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Xét ∆ABC và ∆BAD có : BC = AD , AC = BD ,
cạnh chung AB , do đó ∆ABC = ∆BAD (c.c.c)
Suy ra (hai góc tương ứng).
Xét ∆ACD và ∆BDC có : AD = BC, AC = BD ,
cạnh chung CD , do đó ∆ACD = ∆BDC (c.c.c)
Suy ra (hai góc tương ứng).
Xét ∆OAD và ∆OBC có : , AD = BC , , do đó
∆OAD = ∆OBC (g.c.g)
Suy ra OA = OB, OC = OD
Khi đó, các tam giác OAB, OCD là tam giác cân tại O.

B
O

D

C

2.32

Chứng minh rằng nếu tứ giác có hai đường chéo bằng nhau
và một cặp cạnh đối bằng nhau thì tứ giác đó là một hình
thang cân (H.3.59).
A

Suy ra ;

Xét ∆OAB và ∆OCD cân tại O có: 
AOB COD
 OBA
 ; OCD


OAB
ODC
  OBA
 
  ODC
  COD

OAB
AOB OCD
1800

B
O

D

  OBA
 OCD
  ODC

OAB


2OAB
2OCD
Suy ra mà hai góc này ở vị trí so le trong. Do đó AB // CD.
Tứ giác ABCD có AB // CD nên ABCD là hình thang.
Hình thang ABCD có hai đường chéo AC = BD.
Do đó tứ giác ABCD là hình thang cân.

C

3.43

Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm P trên tia AB sao cho AP = 2AB.
a) Tứ giác BPCD có phải là hình bình hành không? Tại sao?
b) Khi tam giác ABD vuông cân tại A, hãy tính số đo các góc của tứ
giác BPCD.
A

a) Ta có : AP = 2AB suy ra AB = BP =

B

Vì ABCD là hình bình hành nên : AB // CD hay BP // CD
AB = CD mà AB = BP nên BP = CD
Tứ giác BPCD có BP // CD; BP = CD. Do đó tứ
giác BPCD là hình bình hành.
b) Khi tam giác ABD vuông cân tại A thì ;
Ta có : (hai góc kề bù).
Suy ra
Do đó
Vì tứ giác BPCD là hình bình hành nên BD // CP.

D

C

P

3.43

Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm P trên tia AB sao cho AP = 2AB.
a) Tứ giác BPCD có phải là hình bình hành không? Tại sao?
b) Khi tam giác ABD vuông cân tại A, hãy tính số đo các góc của tứ
giác BPCD.
A

B

Suy ra (hai góc đồng vị).
Khi đó mà , do đó
D

Vậy khi tam giác ABD vuông cân tại A thì số đo
các góc của tứ giác BPCD là :


 1350
DCP
DBP
 BDC

P
450

C

P

3.44

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC còn P, N lần lượt
là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CA, AB (H.3.60).
a) Chứng minh hai tam giác vuông CMP và MBN bằng nhau.
b) Chứng minh tứ giác APMN là một hình chữ nhật. Từ đó suy ra N là trung
điểm của AB, P là trung điểm của AC.
c) Lấy điểm Q sao cho P là trung điểm của MQ, chứng minh tứ giác AMCQ
là một hình thoi.
d) Nếu AB = AC, tức là tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AMCQ có
là hình vuông không? Vì sao?
C

a) Ta có :
Suy ra MP // AB nên MP // BN
Do đó (hai góc đồng vị).

Q

M
P
A

Ta có P, N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CA, AB
Nên
Xét CMP và MBN có : , BM = CM , , do đó CMP = MBN

N

B

3.44

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC còn P, N lần lượt
là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CA, AB (H.3.60).
a) Chứng minh hai tam giác vuông CMP và MBN bằng nhau.
b) Chứng minh tứ giác APMN là một hình chữ nhật. Từ đó suy ra N là trung
điểm của AB, P là trung điểm của AC.
c) Lấy điểm Q sao cho P là trung điểm của MQ, chứng minh tứ giác AMCQ
là một hình thoi.
d) Nếu AB = AC, tức là tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AMCQ có
là hình vuông không? Vì sao?
C

b) Ta có :
𝟎
𝟎
^
𝟗𝟎 +𝟗𝟎 + 𝑷𝑴𝑵 +𝟗𝟎 =𝟑𝟔𝟎
𝟎

𝟎

Q

Suy ra

Tứ giác APMN có 4 góc vuông nên nó là hình chữ nhật

M
P
A

Suy ra MP = AN ; AP = MN (các cặp cạnh tương ứng).
Mà MP = BN; CP = MN (vì ∆CMP = ∆MBN). Do đó AP = CP; AN = BN.
Từ đó ta suy ra N là trung điểm của AB, P là trung điểm của AC.

N

B

3.44

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC còn P, N lần lượt
là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CA, AB (H.3.60).
a) Chứng minh hai tam giác vuông CMP và MBN bằng nhau.
b) Chứng minh tứ giác APMN là một hình chữ nhật. Từ đó suy ra N là trung
điểm của AB, P là trung điểm của AC.
c) Lấy điểm Q sao cho P là trung điểm của MQ, chứng minh tứ giác AMCQ
là một hình thoi.
d) Nếu AB = AC, tức là tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AMCQ có
là hình vuông không? Vì sao?
C

c) Tứ giác AMCQ có : MP = PQ , AP = CP. Khi đó, tứ giác
AMCQ có hai đường chéo AC và MQ cắt nhau tại
trung điểm P của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Q

M
P

Mà MQ ⊥ AC. Do đó tứ giác AMCQ là một hình thoi.
A
N
d) Tứ giác APMN là một hình chữ nhật nên MP = AN.
Mà P là trung điểm MQ; N là trung điểm của AB. Suy ra MQ = AB.
Lại có AB = AC (giả thiết) nên MQ = AC.
Tứ giác AMCQ có hai đường chéo AC và MQ bằng nhau, vuông góc với
nhau và cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường nên nó là hình vuông .

B

Cho tam giác ABC cân tại A; M là một điểm thuộc đường thẳng BC, B ở giữa
M và C. Gọi E, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M và từ B xuống
AC, còn N, D lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B xuống MEvà từ M
xuống AB (H.3.61). Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BKEN là hình chữ nhật.
b) BK bằng hiệu khoảng cách từ M đến AC và đến AB (dù M thay đổi trên
đường thẳng BC miễn là B nằm giữa M và C) tức là BK = ME – MD.

3.45

A

a) Vì ME ⊥ AC ; BK ⊥ AC ; BN ⊥ ME nên ,
E

Suy ra
𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

¿ 𝟑𝟔𝟎 −𝟗𝟎 − 𝟗𝟎 −𝟗𝟎 =𝟗𝟎

Tứ giác BKEN có 4 góc vuông nên nó là hình chữ nhật
b) Khoảng cách từ M đến AC và AB lần lượt là ME và MD.
Tứ giác BKEN là hình chữ nhật nên NE = BK (1)
Ta có BN ⊥ ME; CE ⊥ ME nên BN // EC.
Suy ra (hai góc đồng vị)

K

N
M
B
D

C

3.45

Cho tam giác ABC cân tại A; M là một điểm thuộc đường thẳng BC, B ở giữa
M và C. Gọi E, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M và từ B xuống
AC, còn N, D lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B xuống MEvà từ M
xuống AB (H.3.61). Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BKEN là hình chữ nhật.
b) BK bằng hiệu khoảng cách từ M đến AC và đến AB (dù M thay đổi trên
đường thẳng BC miễn là B nằm giữa M và C) tức là BK = ME – MD.
A

Mà ; . Do đó
E

Xét ∆MBN và ∆MBD có : , cạnh chung BM, , do đó
∆MBN = ∆MBD
Suy ra MN = MD ( hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ME = MN + NE = MD + BK.
Do đó BK = NE = ME – BD.

K

N
M
B
D

C