A2 = A

A

Với a 0 ta có

 x 0
x a   2
 x a

A 0

AB = A. B (A, B 0)

A. B = AB (A,B 0)

( A) 2 = A (A 0)

A 1
=
A.B (AB 0, B 0)
B B

A B = A2.B (A,B 0)
A B = - A2.B (A < 0, B 0)

TNKQ :. Chọn đáp án đúng trong các câu sau:
1. Căn bậc hai số học của 9 là:
A.

81

2. Biểu thức

7

A.

B.

C.C.3 3

-3

( 7) 

2

D. 3 và -3

có giá trị là

B.
B. 7 7

7

C.

D.

5  x là

3. Điều kiện xác định của biểu thức
A. x >5
B. x< 5
C. x  5
4. Giá trị của biểu thức 2. 0,08
A.0,04

B.0,0,4
B.
4

5. Khử mẫu của biểu thức:
A.
A.

10

DD.
.x

B. 5

x55

bằng

C.4

2

49

D.0,8

5
2
C.

5

là
D. 2

5

Dạng 1. Tìm điều kiện xác định:
Bài 1. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:

d) x  1
1
e)
x 1
1
f)
x1

a) x  2
1
b)
x 2
1
c)
x 2

Ghi nhớ:

A có nghĩa khi A  0
1 có nghĩa khi A  0

A

Dạng 2. Giải các phương trình và bất phương trình
sau:
Bài 1. Giải các phương trình:

Bài 2. Tìm x biết:

a ) x  1 2

a ) x  1  2 (với x 0)

b)2 x  1 2

b)2 x  1  2 (với x0)

x1 1
c)

2
x

x  1 1 (với x 0)

2
x

c)

Dạng 3. Rút gọn các biểu thức sau:
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
b)



75 

5  3 20 

c) 3 8 
d)

48 

300

( 2  2) 2

2

3 1



45 . 5

74 3

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
x  x x  2 x 1
A

x 1
x1
x
2 x1
B

x  1 x x
 1
2 x  1 x  2 x
C 

 :
x 1 
x 1
 x 1

Dạng 3. Giải các phương trình và bất phương trình
sau:
Bài 1. Giải các phương trình:

Bài 2. Tìm x biết:

a ) x  1 2

a ) x  1  2 (với x 0)

b)2 x  1 2

b)2 x  1  2 (với x0)

x1 1
c)

2
x

x  1 1 (với x 0)

2
x

c)

Dạng 4. Bài tập tổng hợp:

Bài 1. Cho biểu thức:



A 5 2



8  2 18 . 2

x  x x  2 x  1 (với x 0; x
B

x 1
x1
a) Rút gọn các biểu thức A và B?
b) Tìm x để A = B ?
c) Tìm x để A > 2.B?

 1)

Dạng 2: Phân tích thành nhân tử
Bài 72 (SGK – T40): Phân tích thành nhân tử
( với các số x, y, a, b không âm và a  b)
a) xy  y x 

(Với x  0 )

x1

2
2
a

b

a

b
c)

(Với a b > 0 )

Bài 2.Cho biểu thức

x
1
1
A 


víi x 0,x 4;
4 x x  2 x 2
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A khi x = 36.
1
c) Tìm x để A = 
3
d) Tìm x nguyên để biểu thức A có giá trị nguyên
e) Tìm x để A:B = -2
f) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị nhỏ nhất
đó

a) Rút gọn

Giải

x
1
1
A 


víi x 0,x 4
4 x
x 2
x 2
x
1
1
A


x 4
x 2
x 2

x
1
1
A


( x  2)( x  2)
x2
x 2

x  x  x 2 2
x 2 x
A

( x  2)( x  2)
( x  2)( x  2)

x ( x  2) 
x

( x  2)( x  2)
x2

b) Tính giá trị của A khi x = 36.
Thay x = 36 (tmđk) vào biểu thức A =
36
6
6 3
A

 
36  2 6  2 4 2

Vậy giá trị của A = 3/2 khi x = 36

x
ta có
x2

1
c) Tìm x để A = 
3
1
1
x
c ) A    
víi x 0, x 4(1)
3
3
x 2

(1)  3 x 

x 2

 4 x 2 

1
1
x   x  (tmđk)
2
4

1
1
Vậy A   x 
3
4

d) Tìm x nguyên để biểu thức A có giá trị nguyên
Với

ta có

Để A nhận giá trị nguyên với x nguyên thì

Lập bảng
x 2

-1

1

-2

2

x

1

3

0

4

x

1

9

0

16

A

-1

3

0

2

NĐ

TM

TM

TM

TM

Vậy để biểu thức A nhận giá trị nguyên thì

* Một số chú ý khi rút gọn biểu thức chứa căn bậc 2:
1. Các cách biến đổi căn thức thường gắn liền với các điều
kiện để cho các căn thức có nghĩa, nên khi biến đổi biểu
thức cần chú ý đến điều kiện xác định của các biểu thức.
2. Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai cần chú ý:
+ Trước hết ta thường thực hiện các phép biến đổi đơn giản
các căn thức bậc hai nhằm làm xuất hiện các căn thức bậc
hai có cùng một biểu thức dưới dấu căn.
+ Sau đó thực hiện phép tính và rút gọn các số đồng
dạng….
3. Bài toán rút gọn có thể có nhiều cách làm khác nhau, nên
lựa chọn cách làm ngắn gọn nhất và kết quả được viết dưới
dạng thu gọn nhất.

Câu 3:

2  3. 2 

3

có giá trị là

A. 4
B. 2
C. 1
C
D. 2 3

Câu 4 Giá trị của biểu thức:
A)
C)

B)
D)

6

1
1

bằng:
3 8 3 8

1
1
3 8 3 8
6



6
3  8 3  8 ( 3  8 )( 3  8 ) 9  8

Bài 1. Thu gọn biểu thức

A 2 3



27  2 48  12

 27  2 48  12 
3 3 3  2.4 3  2 3 
3 3 3  8 3  2 3 

Giải: A 2 3

A 2
A 2



A 2 3.9 3
A 54
Vậy A = 54

Bài 1. Thu gọn biểu thức
B 3 2 

Giải:



50  2 18  98



 50  2 18  98 
B 3 2  5 2  2.3 2  7 2 
B 3 2  5 2  6 2  7 2 
B 3 2 

B 3 2  6 2
B  3 2

Vậy B  3 2

7
C
 147  2 18
3 2

Giải:

7
C
 147  2 18
3 2
C 7( 3  2)  7 3  2.3 2
C 7 3  7 2  7 3  6 2
C 2

Vậy C  2

Bài 1. Thu gọn biểu thức

1
D  20  6  2 5 
5
Giải: D 2 5  ( 5  1) 2  5
5
5
D 2 5  5 
(do 5  1  0)
5
6 5
D
5
6 5
Vậy D 
5

x x
x 4

Bài 2. Cho biểu thức A 
với x  0
x
x 2

Giải: a) Thu gọn biểu thức A
+ Với x > 0, ta có

x x
x 4
A

x
x 2
x x 1
x 2
x 2
A

x
x 2



 

A  x 1  x  2
A 2 x  1





x x
x 4

Bài 2. Cho biểu thức A 
với x  0
x
x 2

Giải:

Bài 3. Cho biểu thức

 3 x 6
x  x 9
P 

:
x  2 x  3
 x 4

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm điều kiện của x để P <0.

Giải: a) ĐKXĐ của biểu thức P là x  0; x  4; x  9
+ Với x  0; x  4; x  9, ta có
 3 x 6
x  x 9
P 

:
x  2 x  3
 x 4


P 


P






x 
x3


x  2
x 2
x 2
x3
x 3

x 3
1

x 2
x 3
3( x  2)









1
P
x 2



1
Vậy với x  0; x  4; x  9 thì P 
x 2





Bài 3. Cho biểu thức

 3 x 6
x  x 9
P 

:
x  2 x  3
 x 4

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm điều kiện của x để P <0.
Giải: b) Để P < 0 




1

x 2

0

x  2  0 (do1  0)
x 2

 0  x  4 ( Thỏa mãn x  0; x  4; x  9 )
Vậy để P <0 thì 0  x  4

Bài tập 4: Tìm x biết :

a) x  1  4 x  4  25 x  25  2 0
b) 9( x 2  2)  2 x 2  2  25 x 2  50  3 0
2

2

c) x  5 x  3 x  5 x  2  2 0
Bài tập 5: Chứng minh đẳng thức


x
1   1
2  x 1




 : 

x
 x  1 x  x   x 1 x  1 
(Với x >0, x

1)

Bài tập 6: Cho biểu thức:
 x
x
2x  x  4
A 


 .
 x  2 x  2 4  x  2x  2 x

( x  0; x 4)

a/ Rút gọn biểu thức
b/ Tính giá trị của A khi x  5  2 6
c/ Tìm x nguyên
A để
1 A nguyên
d/ Tìm x để
e/ Tìm GTNN của biểu thức A+3

A2 = A

A

Với a 0 ta có

 x 0
x a   2
 x a

A 0

AB = A. B (A, B 0)

A. B = AB (A,B 0)

( A) 2 = A (A 0)

A 1
=
A.B (AB 0, B 0)
B B

A B = A2.B (A,B 0)
A B = - A2.B (A < 0, B 0)