Hướng dẫn: Nối AC hoặc BD
Cách 1:
EF // GH (cùng song song với AC)
EH // FG (cùng song song với BD) (DH1)
Cách 2:
EF // GH ( cùng song song với AC)
EF = GH ( cùng bằng AC/2 ) (DH3)
Cách 3:
EF = HG (cùng bằng AC/2)
HE = GF (cùng bằng BD/2) (DH 2)
LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho tứ giác ABCD. E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì?
Giải
Xét ΔABC có:
EA = EB (gt)
FB = FC (gt)
EF là đường trung bình của ΔABC
EF//AC; EF = ½ AC (1)
Xét ΔADC có:
HA = HD (gt)
GC = GD (gt)
GH là đường trung bình của ΔADC
GH//AC; GH = ½ AC (2)
Từ (1) và (2) => GH//EF, GH = EF
=> EFGH là hình bình hành (DH3)
b) Tứ giác ABCD có thêm điều kiện gì để EFGH là:
Hình chữ nhật?
Hình bình hành EFGH là hình chữ nhật
 Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc
c) Tứ giác ABCD có thêm điều kiện gì để EFGH là:
Hình thoi?
Hình bình hành EFGH là hình thoi  Tứ giác ABCD
có hai đường chéo bằng nhau
BÀI 7 LUYỆN TẬP
 
 
 
 
 
 
Cho hình thang cân HGJI ( JI//HG,JIBÀI 2:
Bài làm:
 
 
Vậy ∆HIG = ∆GJH (c.g.c)
=>∆PHG cân tại P=> PH=PG
Mà IG=HJ (Tính chất hình thang cân)
=>PI=PJ
BÀI 3:
Cho hình thang RSVT (VT//RS). Gọi ZK
tương ứng là trung điểm của TR và SV. Chứng minh rằng: ZK=TV+RS
Bài làm:
Qua Z kẻ ZY//TV cắt RV tại Y.
Vì ZT=ZR; ZY//TV nên YR=YV
=> ZY là đường trung bình của ∆RTV.
=> ZY=TV:2=> 2ZY=TV (1)
Vì YV=YR (cmt); KV=KS (gt) nên YK là đường trung bình của ∆VRS=> YK//RS và YK=RS:2=> 2YK=RS (2)
Vì ZY//TV; YK////RS ; TV//RS nên Z,Y,K thẳng hàng.
Từ (1) và (2)=> TV+RS=2ZY+2YK=2(ZY+YK)=2ZK
 
BÀI LÀM
 
 
Vậy ABCD là hình thang
 
Bài 4: Cho ∆ cân PQR , với PQ=PR, lấy các điểm M,N tương ứng thuộc PQ, PR sao cho PM=PN. Chứng minh rằng QMNR là hình thang cân.
BÀI LÀM:
 
 
 
 
Bài tập 5:
Xét trong hình bình hành ABCD ta có:
MC // ND (Vì BC//AD),
và MC = ND = ½ BC (t/c HBH)
=> MNDC là hình bình hành (DH 3)
b) C/m: F là trung điểm của DE
Ta có: MN // AB (cùng // CD) => NF // AE
Xét trong tam giác vuông EAD có: NF // AE (Cmt); NA = ND (gt)
=> NF là đường TB của ΔEAD
=> F là trung điểm của DE. (Đpcm)
 
 
 
Xét trong tam giác vuông HFE có:
 
 

ME = MH; NH = NF (gt) => MN là đường TB của ΔHEF => MN // EF (2)
Từ (1) và (2)

Bài số 6
Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.
GIẢI
Tương tự C/m BT1 ta có EFGH là hình bình hành (1)
 
 
I
Từ (1) và (2) => EFGH là hình chữ nhật (DH3)
Bài tập 7 :
Trong tam giác ACD có:
PQ là đường trung bình, suy ra PQ // CD.
Tương tự, MN // CD, MQ // AB, NP // AB.
Từ đó ta có MN // PQ và NP // MQ
Suy ra MNPQ là hình bình hành.
Mặt khác, AB CD => MN MQ.
Vậy MNPQ là hình chữ nhật.
a) C/m: MNPQ là hình chữ nhật
Ta có MP = NQ.
Lại có: BCAD là hình thang (gt) với hai đáy BC, AD và QN là đường trung bình
Bài tập 8: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), trung tuyến AM. E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC.
a) Chứng minh rằng AEMF là hình chữ nhật.
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ABC. Chứng minh EHMF là hình thang cân
Vậy tứ giác AEMF là hình chữ nhật. (đ/n)
Giải:
a) Chứng minh rằng AEMF là hình chữ nhật.
Ta có EF là đường trung bình trong tam giác ABC, => EF // BC.
AB < AC (gt) => HB < HA, do đó H thuộc đoạn MB.
Vậy EHMF là hình thang.
Tam giác HAB vuông tại H, ta có:
HE = EA = EB = MF => EHMF là hình thang cân. (Đpcm)
b) Chứng minh EHMF là hình thang cân
Bài tập 9:
a) Cm: Tứ giác CFME là hình chữ nhật
Giải
b) Chứng minh: DEF vuông cân.
Xét tam giác DCM vuông tại D,
có DI là trung tuyến nên: DI = ½ MC = ½ EF.
Mà DI cũng là trung tuyến trong tam giác DEF, do vậy tam giác DEF vuông tại D.
Trong tứ giác CEDF có (1).
Dễ thấy: (2) và EC = MF = BF (3) (BFM vuông cân tại F).
Từ (1), (2), (3) suy ra hai tam giác CED và BFD bằng nhau (g-c-g).
Từ đó, DE = DF. Vậy tam giác DEF vuông cân tại D.

Bài số 10:
Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi
Tương tự C/m BT1 ta có EFGH là hình bình hành (1)
Ta có: EF = ½ BD (cmt); EH = ½ AC (cmt); mà AC = BD (Tc HCN) (2)
Kẻ AC và BD cắt nhau tại I ta có:
Từ (1) và (2) => EFGH là hình thoi (DH2)
GIẢI
I
x
x
x
x

Bài 11
Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Gọi M là trung điểm của OA, N là điểm đối xứng với điểm B qua điểm M.
Chứng minh tứ giác OMND là hình thang.
b) Chứng minh tứ giác AODN là hình thoi.
c) Từ N vẽ NE vuông góc với CD (E thuộc CD). Gọi F
là giao điểm của AD và ON. Tứ giác DENF là hình gì ?
Vì sao ?
O
M
N
Chứng minh OMND
là hình thang
OM là đường trung bình
Của ∆BND
MN = MB và OD = OB
OM // DN
O
M
N
=> OMND là hình thang (Đn)
=> OM là đường trung bình
Của ∆BND
Xét tam giác BND có:
MN = MB (gt)
và OD = OB (tcHCN)
=> OM // DN
GIẢI
Chứng minh tứ giác OAND
là hình thoi
OA // ND ; OA = ND
OA =OD
Tứ giác OAND là hình
bình hành có hai cạnh kề
bằng nhau.
OM //ND ; OA = ND =2OM
E
F
c) Tứ giác DENF là hình gì?
 
 
 
Từ (1), (2) và (3) ta có: DFNE là hình chữ nhật
 
ABCD là hình thoi (gt) => HA = ½ AC = (6:2) = 4cm (tcHT)
Và HB = ½ BD = 3 cm (tcHT)
GIẢI
Tính độ dài cạnh AB:
 
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông HAB ta có:
Vậy độ dài cạnh AB = 5cm
K
GIẢI
b) Tính độ dài HK:
 
Áp dụng công thức tính diện tích trong tam giác vuông HAB ta có:
Vậy HK = 2,4cm
K
GIẢI
b) Tính độ dài DE:
 
Xét trong tam giác vuông HAB ta có:
Vậy DE = 4,8 cm
 
E
HB = HD (Tc H thoi); HK // DE (cùng vuông góc AB)
HK là đường trung bình của tam giác HAB
DE = 2HK = 2.2,4 = 4,8 cm
Bài 13

b) Xác định vị trí của H, K để HK ngắn nhất, tìm giá trị ngắn nhất đó
Dấu hiệu nhận biết
Hình
vuông
:
Hình
chữ nhật
Hình
vuông
Hình thoi
một đường chéo
là phân giác của một góc
hai cạnh kề bằng nhau
hai đường chéo vuông góc
một góc vuông
hai đường chéo bằng nhau
1
2
3
4
5
Bài 81: (SGK/108)
AEDF LA HÌNH VUONG
AEDF l� hình ch? nh?t
Đường chéo AD là
phân giác của ¢
Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
tứ giác AEDF là hình chữ nhật (có 3 góc vuông )
Mà AD là phân giác của góc A
Nên AEDF là hình vuông (theo dấu hiệu nhận biết )
Bài 81: (SGK/108)
Xét tứ giác AEDF, ta có:

Ta có:
Nên  = 450 + 450 = 900
Bài 82 (SGK/108)
2
Tu giac EFGH la hình thoi
HE = EF = FG = GH
Tu giac EFGH la hình vuong
Tu giac EFGH la hình thoi co mot goc vuong
HƯỚNG DẪN HỌC Ở NHÀ
Học lí thuyết (định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết) các hình đã học.
Xem lại nội dung bài học hôm nay
Làm các bài tập:
BT1. Cho hình thoi ABCD. Kẻ hai đường cao AH, AK.
Chứng minh rằng: AH = AK
BT2. Cho hình bình hành ABCD. Kẻ hai đường cao AH, AK bằng nhau.
Chứng minh rằng: ABCD là hình thoi