2.Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho bốn điểm không đồng phẳng A,B,C,D. Trên hai đoạn AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho . Hãy xác định giao tuyến của mp (DMN) với các
mp (ABD) , (ACD) , (ABC), (BCD)
Giải
*(DMN) và (ABD) có điểm D chung
Và MAB (DMN)(ABD)=DM
*(DMN) và (ACD) có điểm D chung
Và NAC (DMN)(ABD)=DN
*(DMN) và (ABC) có NAC , MAB
 (DMN)(ABD)=MN
*(DMN) và (BDC) có điểm D chung
Và NM  BC={E}
 (DMN)(BDC)=DE
Ví dụ 3:Cho bốn điểm không đồng phẳng A,B,C,D . Trên ba cạnh AB, AC,AD lần lược lấy các điểm M,N và K sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại H , đường thẳng NK cắt đường thẳng CD tại I , đường thẳng KM cắt đường thẳng BD tại J . Chứng minh ba điểm H,I,J thẳng hàng .
Giải
Ta có JMK(MNK)
JBD(BDC)
J=(MNK)(BCD)
 Tương Tự có INK(MNK)
ICD(BDC)
I=(MNK)(BCD)
 Tương Tự có HMN(MNK)
HBC(BDC)
H=(MNK)(BCD)
 Vậy H,I,J nằm trên giao tuyến của 2mp (MNK) và (BCD)
Ví dụ 4: Cho BCD và điểm A không thuộc mp (BCD) . Gọi K là trung điểm của đoạn AD và G là trọng tâm của ABC . Tìm giao điểm của đường thẳng GK và mp(BCD)
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hbh ABCD . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,AD,SC. Tìm giao điểm của mp(MNP) với các mặt của hình chóp và giao tuyến của mp (MNP) với các mặt của hình chóp
Giải
MN cắt đường thẳng BC ,CD tại K,L
E=PKSB ; F=SD PL
Ta có : E== SB(MNP); P=SC (MNP)
F=SD (MNP)
Đo đó :
MN=(MNP) (ABCD)
EM=(MNP) (SAB)
PE=(MNP) (SBC)
PF=(MNP) (SCD)
FN= (MNP) (SAD)
*Chú ý: (sgk)
§ 1
4.Hình chóp và hình tứ diện
a.Hình chóp
Định nghĩa
Trong mp (P) cho đa giác A1A2…An và một điểm S ( P) .Nối SA1,SA2,…,SAn để được n tam giác SA1A2,SA2A3,…,SAnA1 .Hình gồm n tam giác đó và đa giác A1A2…An gọi là hình chóp và được kí hiệu là S.A1A2…An.
P
P
S
A1
A2
A3
A2
A1
A1
S
S
A3
A4
A5
A2
A3
A4
Đỉnh
Cạnh bên
Mặt đáy
Cạnh đáy
Hình chóp tam giác S.A1A2A3.
Hình chóp tứ giác S.A1A2A3A4.
H/C ngũ giác S.A1A2A3A4A5.
VÍ DỤb,c
GSP
Mặt bên
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD .Một mp(P) cắt các cạnh SA,SB,SC,SD lần lượt tại A’,B’,C’,D’ .Tứ giác A’B’C’D’ được gọi là thiết diện hay mặt cắt của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(P).
P
S
A
B
C
D
O
A’
B’
C’
D’
I
GSP-thietdien
?. Thiết diện của hình chóp
tứ giác có thể là tam giác,
tứ giác ,ngũ giác ,lục giác
hay không ?
S
A
B
C
D
Cho hình chóp tứ giácS.ABCD vói AB và CD không song song.M là điểm thuộc miền trong tam giác SCD .
a. Tìm giao tuyến của hai mp (SAB) và (SCD).
b.Tìm giao tuyến của hai mp(SBM) và (SAC).
c. Tìm giao điểm I của đt BM và mp(SAC).
d.Xác định thiết diện của h/c S.ABCD khi cắt bởi mp(ABM).
Ví dụ
Giải
VD b,c
CỦNG CỐ
H
a.
Ta có S là 1 điểm chung của hai mp.
Gọi
Vậy
Muốn tìm giao tuyến của 2 mp phân biệt thì ta phải tìm 2 điểm chung phân biệt .
Muốn tìm giao tuyến của 2 mp phân biệt thì ta phải tìm 2 điểm chung phân biệt .
Cho hình chóp tứ giácS.ABCD vói AB và CD không song song.M là điểm thuộc miền trong tam giác SCD .
a. Tìm giao tuyến của hai mp (SAB) và (SCD).
b.Tìm giao tuyến của hai mp(SBM) và (SAC).
c. Tìm giao điểm I của đt BM và mp(SAC).
d.Xác định thiết diện của h/c S.ABCD khi cắt bởi mp(ABM).
Ví dụ
Giải
b.
Ta có S là 1 điểm chung của hai mp.
Gọi
Trong mp(ABCD) nối BN cắt AC tại O.
S
A
B
M
N
O
C
D
Vậy
I
Muốn tìm giao điểm của đt d với mp (P).Tìm a (P) mà .Khi đó
VD .d
c.
Trong mp(SBM) ta có
Vậy
VD a
d.
Trong mp(SAC) đt AI cắt SC tại P.
đt PM cắt SD tại Q
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác ABPQ.
S
A
B
C
D
M
N
O
I
Q
P
Cho hình chóp tứ giácS.ABCD vói AB và CD không song song.M là điểm thuộc miền trong tam giác SCD .
a. Tìm giao tuyến của hai mp (SAB) và (SCD).
b.Tìm giao tuyến của hai mp(SBM) và (SAC).
c. Tìm giao điểm I của đt BM và mp(SAC).
d.Xác định thiết diện của h/c S.ABCD khi cắt bởi mp(ABM).
Ví dụ
Giải
Suy ra
Muốn tìm thiết diện của hình chóp với 1 mp (P) ,ta tìm các đoạn
giao tuyến (nếu có) của mp (P) với các mặt của hình chóp .
VD b,c
CỦNG CỐ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.Gọi M,N,P là trung điểm của các cạnh AB,AD,SC.Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (MNP).
+ Trong mp(SCD), g?i F lă giao di?m JP vă SD.
Ta c� câc giao tuy?n PF vă FN
+ V?y thi?t di?n mp(MNP) vă h�nh ch�p lă t? giâc MNFPE
+ Trong mp(ABCD), g?i I, J l?n lu?t lă giao di?m c?a MN v?i BC vă CD.
Gi?i:
+ Ta c� giao tuy?n MN
+ Trong mp(SBC), g?i E lă giao di?m c?a IP vă SB.
Ta c� câc giao tuy?n ME và EP
V� d? 2: Cho h�nh ch�p S.ABCD.Di?m C` n?m trín c?nh SC.T�m thi?t di?n c?a h�nh ch�p v?i mp(ABC`).
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
1) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
2) M là một điểm trên cạnh SA. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MBC)
.
S
D
C
B
A
.
M
N
Lời giải:
1) Giao tuyến của (SAB) và (SCD)
Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có S là điểm chung.
d
Lại có: AB  (SAB), CD  (SCD) và AB // CD nên giao tuyến d của (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua S và song song với AB.
2) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MBC)
Cần xác định giao tuyến của mặt (MBC) với các mặt (SAD) và (SCD)
Mp(MBC) và (SAD) có điểm M chung. AD  (SAD), BC  (MBC) và AD // BC nên giao tuyến của (SAD) và (MBC) là đường thẳng MN, MN // AD ( N  SD).
Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(MBC) là hình thang MNCB.

Ví dụ 2 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng : AB, CD, BC, DA, AC, BD. Chứng minh ba đoạn thẳng MN, PQ và RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn. Điểm G khi đó gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD.
Giải
Xét cặp đoạn thẳng MN và PQ ta có:
+
vì MP là đường trung bình
+
vì MP là đường trung bình
Suy ra tứ giác MNQP là hình bình hành. Từ đó suy ra các đoạn thẳng MN và PQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đoạn.
+ MN và PQ cùng nằm trên một mp.

Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng : AB, CD, BC, DA, AC, BD. Chứng minh ba đoạn thẳng MN, PQ và RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn. Điểm G khi đó gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD.
Giải
Chứng minh tương tự ta có
Tứ giác MNRS là hình bình hành, khi đó hai đoạn thẳng MN và RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ( tại trung điểm G của MN )
Vậy các đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn
Điều phải chứng minh
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành.
a. Tìm giao điểm của hai mp(SAB) và (SCD)
b. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MBC) trong đó M là một điểm nằm giữa hai điểm S và A.
Giải
b. Ta có
+ Xét 3 mp(MBC), (SAD) và (ABCD) đôi một
cắt nhau nên áp dụng định lý ta có giao tuyến của
là đth đi qua M và song song với AD
Vậy qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N.

Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNCB.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. a/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). b/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). c/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB, K là một điểm nằm giữa B và C. Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNK).
S
A
B
C
D
O
M
N
K
H
c/ Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi
mặt phẳng (MNK).
Ta có : MN // AB
MN  (MNK)
AB  (ABCD)
K  (MNK)  (ABCD)
 (MNK)  (ABCD) = KH(với H  AD và KH // MN // AB)
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNKH.
Hai đường thẳng song song
a/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Ta có :
Lại có :
Từ (1) và (2) ta có: SO = (SAC)?? (SBD)
b/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Ta có : AD // BC
AD  (SAD)
BC  (SBC)
S  (SAD)  (SBC)
Suy ra (SAD) cắt (SBC) theo giao tuyến Sx // AD // BC
Hai đường thẳng song song
B
x


Ví dụ 1:
Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh mặt phẳng (G1G2G3) song song với mặt phẳng (BCD).
BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
3.Tính chất
Hệ quả:
Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
Ví dụ 3: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh tâm O .Gäi I lµ ®iÓm thuộc ®o¹n AO , (P) lµ mÆt ph¼ng qua I vµ song song víi (SBD). X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp S.ABCD cắt bởi (P) .
* Tính chất 2:
GT
KL
S.ABCD. ABCD là hình bình hành tâm O. I  đoạn AO, (P) qua I và //(SBD).
Xác định thiết diện của h×nh chãp S.ABCD cắt bởi (P).
Ví dụ 3:
Giải:
P
I
B
D
C
S
O
( Với MN đi qua I và //BD, MAB, N AD )
( Với IP //SO, PSA)
Ta có:
=> Thiết diện là tam giác MNP
A