F

1
A

B
F

2
A

B

Quan sát 2 chiếc xe cùng cân nặng dịch chuyển từ A đến B dưới
tác động của lực F (cùng độ lớn) theo 2 phương khác nhau.
Vì sao xe 1 chuyển động chậm hơn xe 2 ?

Q

Công của lực được tính:
Q

F

Q

A |F| . |OO| . cos



1
A

O
'

O
B
Q

2
A

O
B



F
O
'

Một nguyên nhân là do góc tạo bởi lực F của xe 1
tạo với phương ngang lớn hơn của xe 2, nên công do
F sinh ra ở xe 1 nhỏ hơn công sinh ra ở xe 2.

3

1. Góc giữa
hai
vectơ
Q
Q
Q
Cho

Q

a  0 , b  0.

Q

Q

Q

Q

Từ một điểm O bất kỳ dựng: O A  a , O B  b
Q

B

Q

a

b

O
Q

b

Góc giữa hai
vectơ

Q

a

A
Q

Q

Khi đó, AOB
b gọi
c là góc giữa hai vectơ a và b
Q
Q
Ký hiệu: a , b

Q

điểm O trùng điểm đầu a

B

Q

b

O
O

Q

a

Góc giữa
hai vectơ

Q

a

A

Góc giữa
hai
vectơ
không
phụ
thuộc
vị
trí
Q
điểm O bất kỳ
điểm O.b
O
(Do đó, khi xác định góc
ta thường
chọn
Nhận
xét về góc
tạo
điểm O trùng với một đầu
trong
haicác
điểm
thành
trong
Q
đầuOcủa
vectơ)
điểm
trùnghai
điểm
đầu b trường hợp trên!
5

Ví dụ:
Cho hình vuông ABCD tâm O, gọi I, K, M, N lần
lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
I

A

B

Xác định các góc
sau:
 

AB,IK 

N

D

K

O

M

C


BC,OM
 
CD,MC

KM,OK 

ON,BC

= 450

= 00
= 1800
= 1350
= 900

Ví dụ:
Cho hình vuông ABCD tâm O, gọi I, K, M, N lần lượt là


AB,IK 

trung điểm của AB, BC, CD, DA.
I

A

B

d

N

D

K

O

M

C

B'
Q

Q

Q

Dựng I B. AB
e d Q
e
Q
Q

AB, I K  I B. , I K

= B'IK = 450

Bằng cách làm tương tự ta xác định được:

I

A

B


BC,OM
d

N

M

C

e d

Q

Q

e

= KBK = 00
Q

D

Q

BC, OM  BK , BC

K

O

Q

a

Q

b

I

A

N

D

B

K

O


CD,MC = 1800

C

M


b

1800
Q

a

Q

b


a

I

A

N

D

B

K

O

M

C


KM,OK  = 1350

I

A

N

B


ON,BC = 900

K

O

Q

b

D

M

C

Q

a

Q

a

2. Tích vô hướng của hai vec
tơ    
Cho a ,0 b 0
Tích vô hướng của chúng là một số được
xác định bởi:

     
  
a.b  a . b .cos a,b

Để tính được tích vô hướng
nghĩa
những
Cho ABC đềutheo
cạnh định
a, trọng
tâmcần
G, I biết
là trung
điểm BC.
Tính:
yếu tố nào?

AB.AG= AB.AG.cos300

A

 2 a 3 3
 a.  .
.
3 2  2

G

B

I

C

a2

4

Cần biết độ dài các vectơ và
góc giữa hai vectơ.

 
AC.BC= AC.BC.cos1200

A

G

B

I

C

 1
 a.a.   
 2
a2

2

A


AG.AI= AG.AI.cos00
= AG.AI

G

B
I

C

 2 a 3 a 3
 .
.
3 2  2
a2

2


IB.IC = IB.IC.cos1800

A

= IB.IC

G

B

I

C

a a
 .
2 2
a2

4

A


GB.AC= GB.AC.cos900
G

B

=0
I

C


BC.BC= BC.BC.cos00

A

= BC2

G

= a2
B

I

C

Q

Q

Q

Q

Chú ý: Với a 0 , b 0
Q

Q

Q

Q

1, a . 0 0 . b 0
Q

Q

Q

Q

Q

Q

2, a . b 0 ^ a ? b
Q2

Q 2

3, a . a a |a|

(Bình phương vô hướng bằng bình phương độ
dài)

3. Tính chất của tích vô
hướng
(SGK –
Tr47)
Chứng minh tính chất 1:
Q

Q

Q

Q

bQ

Qc

a . b | a | . | b | . cos a , b
Q

Q

bQ

c
Q

| b | . | a | . cos b , a
Q

Q

b . a
Các tính chất khác chứng minh tương tự, yêu cầu
tự chứng minh. (Tính chất 4 thừa nhận)

Các hệ quả trực tiếp từ tính chất:
Từ tính chất ta dễ dàng chứng minh được:
Với các số thực a và b ta
có các hằng đẳng thức:

`

a2

2

`

a2

2

`

a`

2

a b a 2ab b

2

a@b a @2ab b
a

2

a b a@b a @b
2

bQ

Q c2

Q2

bQ

Q c2

Q2

bQ

Q cbQ

Q

Q

Q2

a b a 2 a . b b
Q

Q

Q2

a@b a @2 a . b b
Qc Q 2

Q2

a + b a@b a @b

Cho điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác đều MNP. Góc nào sau đây bằng 1200 ?
 
A) MN, NP



 
B) MO, ON







 
C) MN,OP



N



 
D) MN, MP





O

M

P
22

Đẳng thức nào đúng?

  
A) a.b  a . b

B)

2

a a

12
13
14
15
10
11
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

2 
C) a a


D) a  a

23

Yêu cầu:


Nắm vững cách xác định góc giữa hai vectơ



Nắm vững định nghĩa và áp dụng tính được
tích vô hướng của hai vectơ



Hiểu và vận dụng được các tính chất



Làm các bài tập: 4

10 (SGK – Tr47, 48)