Tiết 61

ÔN TẬP CHƯƠNG IV
(Phần 2)

TỔNG KẾT KIẾN THỨC CHƯƠNG IV
Giíi h¹n
cña d·y sè

Giíi h¹n
cña hµm sè

Hµm sè
liªn tôc

- Giíi h¹n h÷u h¹n.

- Giíi h¹n h÷u h¹n

- Hµm sè liªn tôc

- C¸c ®Þnh lÝ vÒ
giíi h¹n h÷u h¹n .
- Tæng cña CSN
lïi v« h¹n.
- Giíi h¹n v« cùc.

t¹i mét ®iÓm.
- Giíi h¹n h÷u h¹n
t¹i v« cùc.
- Giíi h¹n v« cùc.

t¹i mét ®iÓm.
- Hµm sè liªn tôc
trªn mét kho¶ng.
- Mét sè ®Þnh lÝ c¬
b¶n.

1.Các giới hạn đặc biệt của dãy số 2. Các giới hạn đặc biệt của hàm
1
số
lim
 0

n
1
lim k = 0 (k nguyên dương)
n
lim c = c (c là hằng số)
lim q n = 0

lim q

( q  1)

n

= +∞ ( q  1)
lim n k = +∞ (k nguyên dương)
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là

u1

và công bội q, q  1 có tổng là

u1
S u1  u2  ...  un  ... 
1 q

c
lim k = 0
x®±¥ x
lim c = c

x®±¥

lim x

k

=

x®+¥

lim x k

x®- ¥

lim x

x®- ¥

k

=

(k nguyên dương)
(c là hằng số)

+∞ (k nguyên dương)
=

  (k là số nguyên
dương lẻ)

+∞

(k là số nguyên
dương chẵn)

Định lý giới hạn hữu hạn
của dãy số

 lim un a, lim vn b
, lim(un vn ) a b

Định lý giới hạn hữu hạn của hàm số

 lim f ( x) L, lim g ( x ) M
x  x0

x  x0

, lim  f ( x) g ( x)  L M
x  x0

, lim  f ( x) g ( x)  L M
x  x0

 f ( x) 
L
, lim(un vn ) a b
, lim 

, M 0

x  x0
 g ( x)  M
 un  a
, lim    , b 0  lim f ( x ) L, f ( x ) 0
 vn  b
x  x0
 L 0, lim f ( x)  L
 lim un a, un 0, n
x  x0

 a 0, lim un  a

Các kết quả trên vẫn đúng khi
+
0

0

x ® x , x ® x , x ® ±¥

Quy tắc tìm giới hạn của tích
lim g ( x)
L  lim f ( x)
x  x0

x x0

lim  f ( x).g ( x)

x x0

+∞
-∞
+∞
-∞

L> 0
L< 0

+∞
-∞
-∞
+∞

Dạng vô định
là: 0.

∞

Quy tắc tìm giới hạn của thương
lim f ( x)

x x0

lim g ( x)

x x0

g (x)

 f ( x) 
lim
x  x0  g ( x ) 



Dạng vô định
0 
là: 0 , 

3. Hàm số liên tục
3.1.Hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b), x0  (a; b)
f(x) liên tục tại x0  lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0

3.2. Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, các hàm số lượng giác
liên tục trên các khoảng xác định của chúng
3.3.Các hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục tại

. Khi đó

a)Các hàm y =f(x)+ g(x), y = f(x)- g(x) và y = f(x).g(x)liên tục tại x0
b) Hàm số

y

f ( x)
g ( x)

liên tục tại x0 nếu g ( x0 ) 0

3.4.Hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0
thì PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a; b).

Nội dung ôn tập tiết 61
1. Ôn tập phương pháp tính giới hạn của hàm số
không áp dụng trực tiếp được các định lí, quy tắc
về giới hạn ( dạng vô định 0/0) .

2. Ôn tập kiến thức cơ bản về tính liên tục của hàm
số. Các dạng toán về tính liên tục của hàm số.

Các dạng vô định thường gặp

( Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến x dưới
dấu căn thức thì có thể nhân tử và mẫu
u ( x)
khi lim u ( x)  ; lim v( x) 
1)lim
x   v ( x )
x  
x  
với biểu thức liên hợp trước khi đặt nhân
tử để rút gọn.)
Chia tö vµ mÉu cho xn víi n lµ sè
mò bËc cao nhÊt cña x.
Chú ý trường hợp chèn hằng số vắng và
( Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến x trong chèn hàm số vắng .)
dấu căn thức thì đưa xn ra ngoài dấu
căn trước khi chia)
u ( x)
2) lim
x  x0 v ( x )
khi lim u ( x )  lim v ( x ) 0
x x0

x x0

( x  x0 ) A( x)
u ( x)
A( x)
 lim
 lim
Viết lim
x  x0 v ( x )
x  x0 ( x  x ) B ( x )
x  x0 B ( x )
0
A( x )
lim
Rồi tính x x0
B( x)

3)

khi

4)
khi

lim

[u ( x )  v ( x )]

x  ( x  x0 )

lim

x  ( x  x0 )

u ( x) ;

lim

x  ( x  x0 )

lim

x  ( x  x0 )

lim

v( x) 

lim

v( x) 

x  ( x  x0 )

u ( x).v( x)

u ( x) 0 ;

x  ( x  x0 )

( Nếu có biểu thức chứa biến dưới dấu
căn thì sử dụng liên hợp.)
( Hoặc quy đồng mẫu để đưa về một
phân thức – nếu chứa nhiều phân thức.)

Giải 1

Bài 1: Tính các giới hạn sau:
x2  4x  3
a ) lim
x 3
x2  9

5x  3  2
b) lim
x 1
x 1
3

3
x 3
5x  3  x  3
c) lim
d
)
lim
x 1
x 1
x 1
x 1
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số tại điểm đã chỉ ra
Giải 2
2
x  5x  6
2
t¹i x0 =2
b
)
f
(
x
)

a) f (x)= x -3x+5 t¹i x0= 1
x 2
2
Lt tại đ
 x  5x  6
2

x

2
x

3
,
khi
x

2

khi x  1
c) f  x   x  2

2
t¹i x0 =2
d
)
f
(
x
)

 ( x  1)
t¹i x0 =-1
 1
,
khi
x

2

7
khi x  1

Bài 3: Cho hàm số (H·y chän ®¸p ¸n ®óng)

 3 x
khi x 3

f ( x)  x  1  2
m
khi x 3


* f (3) m
* lim f ( x) lim
x 3

Hµm sè ®· cho liªn tôc t¹i x =3 khi m b»ng :
A. 4

B. -1

C. 1

2

D
D. -4

x 3

3 x
x 1  2

(3  x)( x  1  2)
 4
x 3
x 3

lim

Bài 4: a) Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng
 x2  5x  6
khi x 2

a ) f ( x)  x  2
 1
khi x 2

Giải 4

Bài 5:
a) Chứng minh rằng PT 2 x 3  10 x  7 0 có ít nhất hai nghiệm.

b) Chứng minh rằng PT sau luôn có nghiệm vơi mọi giá trị của tham số m.





1  m 2 x 5  3x  1 0

Lý thuyết
Giải 5

Bài 1: Tính các giới hạn sau:
x2  4x  3
a ) lim
x 3
x2  9
Giải

5x  3  2
b) lim
x 1
x 1
3

x2  4x  3
( x  1)( x  3)
a ) lim

lim
x 3
x  3 ( x  3)( x  3)
x2  9
x 1 1
lim

x 3 x  3
3
b) lim

3

x 1

lim

x 1

5x  3  2
x 1

5( x  1)

( x  1)(3 (5 x  3) 2  23 5 x  3  4)

5

x 1 3
( (5 x  3) 2  23 5 x  3  4) 12

lim

5

c) lim

2

x 1

x 3
x 1

d ) lim

x 1

3

5x  3  x  3
x 1

x 3
1 x
lim
x 1
x  1 ( x  1)( 2 
x 1
x  3)
1
1
lim

x 1 2  x  3
4

c) lim

2

5x  3  x  3
x 1
x 1
3
5x  3  2
2  x 3
lim
 lim
x 1
x 1
x 1
x 1
5 1 1
  
12 4 6
d ) lim

3

12

Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số tại điểm đã chỉ ra
x 2  5x  6
a) f (x)= x2-3x+5 t¹i x0= 1
b) f ( x ) 

 x  5x  6
, khi x 2

c) f  x   x  2
 1
, khi x 2

Bµi gi¶i:

x 2

2

a) TXĐ D = R.

t¹i x0 =2

 x2  2x  3
khi x  1

2
d ) f ( x)  ( x  1)
t¹i x0 =-1
7
khi x  1

f (1) lim f ( x) lim ( x 2  3x  5) 3. Hµm sè liªn tôc t¹i x0=1
x 1

t¹i x0 =2

x 1

b) TXĐ D = R\{2}. x0 2  TX§  kh«ng  f (2) . Hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x0=2
c) * f (2)  1
x 2  5x  6
* lim f ( x) lim
lim ( x  3)  1
x 2
x 2
x 2
x 2
* lim f ( x)  f (2)
x 2

d)* f ( 1) 7
x2  2x  3
x 3
* lim f ( x)  lim

lim

x  1
x   1 ( x  1) 2
x  1 x 1
Hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x0=-1

Hµm sè liªn tôc t¹i x0=2
13

Bài 4: a) Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng
 x2  5x  6
khi x 2

a ) f ( x)  x  2
 1
khi x 2

Bµi gi¶i.
a) *TËp x¸c ®Þnh :D=R

x 2  5x  6
* Khi x 2 ta cã f ( x) 
lµ hµm ph©n sè h÷u tØ nªn liªn tục trên
x 2

 ;2 ; 2; 

*Khi x=2 ta cã: f (2)  1

x 2  5x  6
x  2  x  3

lim f  x  lim
lim
lim  x  3  1
x 2
x 2
x 2
x 2
x 2
x 2

Do ®ã f(x) liªn tôc t¹i x =2
b) ĐS m = 13/ 9
14

Bài 5:
a) Chứng minh rằng PT 2 x 3  10 x  7 0 có ít nhất hai nghiệm.
b) Chứng minh rằng PT sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

1  m  x
2

Hướng dẫn giải

5

 3x  1 0

3

3
a)Xét hàm số f ( x ) 2 x  10 x  7 xác định trên R nên liên tục trên R.

Suy ra hàm số liên tục trên [-1;0] và [0; 3]
Ta có: f(-1) = 1
f(0) = -7

}

f(-1). f(0) < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-1; 0).

}

f(0) = -7
f(0). f(3) < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 3).
f(3) = 17
Vậy PT đã cho có ít nhất hai nghiệm.
b) Tương tự: f(0). f(-1) < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-1; 0)
Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số
m.

Chứng minh phương trình có nghiệm trên đoạn (a; b) ( [a; b])
B1: Biến đổi để vế phải là số 0. Đặt f(x) là vế trái.
B2:Tìm tập xác định của f(x). Chứng tỏ f(x) là hàm số liên tục trên [a; b].
B3: Tìm 2 số c, d thuộc [a; b] (c < d) sao cho f(c).f(d)<0
 có xo (c; d): f(xo) = 0.

BT 5

Kết luận phương trình có nghiệm thuộc [a; b]. 
Chú ý: + Muốn chứng minh f(x) = 0 có 2, 3, … nghiệm trên [a; b] thì cần
tìm 2, 3, …khoảng rời nhau mà trên mỗi khoảng f(x) = 0 đều có nghiệm.
+ Nếu phương trình chứa tham số,thì chọn a và b sao cho:
Các giá trị f(a),f(b) không còn chứa tham số,hoặc chứa tham số
nhưng dấu không đổi hoặc cả f(a) và f(b) đều chứa tham số nhưng tích
f(a).f(b)<0.

Xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm xo
Tìm TXĐ D của hàm số y = f(x)
Sai

xo D

BT 2

Đúng Tính f(xo)
f x 
và xlim
x
0

f(xo)=lim f  x 
x  x0

Hàm số y = f(x)
gián đoạn tại xo

Sai

Đúng

Hàm số
y = f(x)
liên tục
tại xo