THPT T�n Tr�o
HÌNH HỌC 10
Xét vị trí tương đối của các đường thẳng và trong mỗi trường hợp sau
v à

v à

v à
có 2 vectơ pháp tuyến
có 1 vectơ pháp tuyến
Vì nên
có 1 vectơ chỉ phương
có 1 vectơ chỉ phương

Vì và cùng phương
Đưa phương trình về dạng tổng quát, ta được:



Giải
Cho đường thẳng
Viết phương trình của dưới dạng tham số.
Viết phương trình của dưới dạng phương trình theo đoạn chắn.
Tính khoảng cách từ mỗi điểm
xem đường thẳng cắt cạnh nào của tam giác .
Tính các góc hợp bởi và mỗi trục toạ độ.
∆ có 1 vectơ chỉ phương và đi qua điểm

nên ta có phương trình tham số

Phương trình chính tắc:

∆ cắt Ox tại ; cắt Oy tại

Phương trình đoạn chắn của ∆:
Giải







Thế tọa độ các điểm M, N, P vào vế trái:



Vậy ∆ cắt các cạnh MP và NP của ∆MNP






Gọi α là góc hợp bởi ∆ và Ox


Suy ra góc hợp bởi ∆ và Oy là
Cho đường thẳng và điểm .
Với điều kiện nào của và thì điểm thuộc nöa mặt phẳng có bờ d và chứa gốc tọa độ ? Chứng minh điểm nằm trong nửa mặt phẳng đó.
Tìm điểm đới xứng với điểm qua đường thẳng .
Tìm điểm trên sao cho chu vi tam giác nhỏ nhất.
Thế tọa độ điểm gốc vào vế trái phương trình đường thẳng d ta được:
Vậy nữa mặt phẳng chứa gốc toạ độ O là tập hợp có tọa độ thỏa mãn bất phương trình:

Điều kiện của x, y để điểm M(x,y) thuộc nữa mặt phẳng bờ là đường thẳng d có chứa gốc tọa độ O là:


Giải
Trước hết ta tìm hình chiếu H của O trên d
Đường thẳng qua O và vuông góc với d có phương trình:

Tọa độ của H là nghiệm của hệ:

Gọi tọa độ của O là (x;y)

vì



Chu vi ∆OMA bằng OA+AM+MO
Vì OA= nên chu vi OMA nhỏ nhất khi AM+MO nhỏ nhất.
Vì O và O’ đối xứng nhau qua d nên MO=MO’
AM+MO=AM+MO’
Tổng AM+MO’ nhỏ nhất khi ba điểmA, M, O’ thẳng hàng hay M là giao điểm của d với O’A.
Đường thẳng O’A đi qua hai điểm và có phương trình:
Vậy tọa độ của M là nghiệm của hệ:
Cho đường thẳng và điểm I . Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua I .
Ta nhận thấy rằng đường thẳng ∆’ đối xứng với ∆ qua
là một đường thẳng song song với ∆ và có khoảng cách từ I đến ∆’ là IH’ bằng khoảng cách từ I đến ∆ là IH.

Phương trình của ∆’//∆ có dạng
Ta có:

Ta lại có:
Xét hai trường hợp:

Giải
Trường hợp 1:

ta được chính đường thẳng ∆
Trường hợp 2:

và được phương trình đường thẳng ∆’ đối xứng với ∆ qua




Một hình bình hành có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng và . Biết hình bình hành đó có tâm đối xứng là I . Hãy viết phường trình hai cạnh còn lại của hình bình hành đó.





Xét :
Suy ra: và cắt nhau
tại A
Gọi đường thẳng song song với là
Gọi đường thẳng song song với l à
Tọa độ điểm A là ngiệm của hệ phương trình:



Gọi C là điểm đối xứng với A qua I, ta có:


Giải



Vì

Phương trình là
Vì

Phương trình là
Cho phương trình

Với giá trị nào của thì là phương trình đườn tròn ?
Tìm tập hợp tâm của các đường tròn nói ở câu a).

Ta có
Xét tổng


Để (1) là phương trình đường tròn thì
và

Giải
Tâm I của đường ròn có toạ độ

Khử m giữa x, y ta được phương trình biễu diễn tập hợp tâm I là

Ứng với

Tập hợp tâm I là đường tròn của hai đường thẳng ứng
với hoặc thuộc đường thẳng có phương trình

Biết đường tròn (C) có phương trình

Chứng minh rằng phương tích của điểm đối với đường tròn (C) .
Chứng minh rằng nếu hai đường tròn không đồng tâm thì tập hợp các điểm có cùng phương tích đới với hai đường tròn là một đường thẳng (gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn).
Theo định nghĩa, ta có:
Đường tròn (C) có tâm I(-A;-B) và bán kính
, cho ta:


Đây chính là giá trị của biểu thức
tại các điểm

Giải
Cho hai đường tròn


không đồng tâm, tức là . Ta xét điểm
:


có cùng phương tích đối với hai đường tròn:

V ì nên (*) là phương trình của một đường thẳng. Đó là trục đẳng phương của hai đường tròn.






Cho hai đường tròn có phương trình
và
Giả sử chúng cắt nhau ở hai điểm . Viết phương trình đường thẳng .



Tọa độ giao điểm M, N của hai đường tròn là nghiểm của hệ:





Nếu và không đồng thời bằng 0 thì (2) là phương trình của đường thẳng. Tọa độ các giao điểm M, N thỏa mãn phương trình (2) nên đường thẳng này đi qua M, N.
Giải
Cho đường tròn (C): và điểm
Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) kẻ từ A.
Tính các khoảng cách từ A đến hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói ở câu a) và khoảng cách giữa hai tiếp điểm đó.
Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O và bán kính
Gọi đường thẳng cần tìm là ∆:
Vì nên:
Ta có:


Thay (1) vào (2), ta có:


Giải
Chọn
Phưong trình tiếp tuyến của ∆:
Dễ thấy phương trình ∆: là triếp tuyến của đường tròn (C).
Gọi tiếp điểm tạo bởi đường thẳng ∆: là M
Ta có phương trình đường thẳng OM:

Khoảng cách từ A đến M bằng khoảng cách từ A đến



Vì khoảng cách từ A đến hai tiếp điểm là bằng nhau nên ta có khoảng cách từ A đến hai tiếp điểm là bằng 3.


Cho elip (E): và hypebol (H): .
Tìm toạ độ các tiêu điểm của (E) và (H).
Vẽ phác elip (E) và hypebol (H) trong cùng một hệ trục toạ độ.
Tìm tọa độ các giao điểm của (E) và (H).
(E):
(H):
Tọa độ các giao điểm của hệ:

Ta có hai giao điểm:
(E) và (H) tiếp xúc với nhau tại đỉnh của (E)

Cho đường thẳng ∆: và elip (E)

Với giá trị nào của thì ∆ cắt (E) tại hai điểm phân biệt ?
Với giá trị nào của thì ∆ cắt (E) tại một điểm duy nhất ?
Tọa độ giao điểm d và (E) là nghiệm của hệ:



Từ (1) ta có . Thế vào (2), rút gọn ta được phương trình hoành độ giao điểm:

Biệt thức
d và (E) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt, tức là khi

d cắt (E) tại một điểm duy nhất khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép, tức là

Cho elip (E):

Xác định toạ độ hai tiêu điểm và các đỉnh của (E).
Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) nhận các tiêu điểm của elip làm đỉnh và có hai tiêu điểm là hai đỉnh của elip (E).
Vẽ phác elip (E) và hypebol (H) nói ở câu b) trong cùng một hệ trục toạ độ.
Viết phương trình của đường tròn đi qua các giao điểm của hai đường cônic nói trên .


Ta có:


Các tiêu điểm
Các đỉnh

Hypebol (H) có độ dài trục thực:
Tiêu cự:


Phương trình Hypebol (H):
Giải
Tọa độ các giao điểm là nghiệm của hệ:








Phương trình đường tròn cần tìm là:
Cho parabol (P): . Với mỗi điểm M trên (P) (M khác O), gọi M’ là hình chiếu của M trên Oy và I là trung điểm của đoạn OM’. Chứng minh rằng đường thẳng IM cách parabol đã cho tại một điểm duy nhất.

Gọi là tọa độ của điểm
Tọa độ điểm

Đường thẳng IM có phương trình:



Tọa độ giao điểm của IM với parabol (P) là ngiệm của hệ:


Từ đây ta được phương trình tung độ các giao điểm:


Giải

Phương trình này có biệt thức:

Vì nên , cho ta :

Do ∆’=0 nên phương trình (*) cho ta một nghiệm duy nhất.
Vây IM cắt (P) tại mội điểm duy nhất.

Cho parabol (P): . Gọi M, N là hai điểm di động

trên (P) sao cho OM ON (M, N không trùng với O). Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Gọi m là hệ số góc của đường thẳng OM, thì phương trình OM là , và phương trình của ON là


Từ đây ta suy ra tọa độ của M, N.
M là giao điểm của OM và parabol (P) nên tọa độ của M là nghiệm của hệ:



Tương tự, ta có
Giải
Đường thẳng MN có phương trình:



Để tìm tọa độ giao điểm của MN với trục Ox, ta cho y=0 và được:
Vì


Vậy giao điểm của MN với trục Ox:
Đường thẳng rắc nghiệm
A
B
C
D
Đường thẳng có vectơ pháp tuyến là vectơ nào?
Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A (3;2), B(-3;3) có vectơ pháp tuyến là vectơ nào?
Phường trình nào là phương trình tham số của đường thẳng
Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của đường

thẳng có phương trình
5. Đường thẳng nào không cắt đường thẳng
6. Đường thẳng nào song song với đường thẳng
Đường thẳng nào song song với đường thẳng
8. Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng
9. Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
bằng bao nhiêu ?

11. Phương trình nào là phường trình của đường tròn có tâm I và bán kính
12. Phương trình là phương trình của đường tròn nào ?
13. Cặp điểm nào là các tiêu điểm của elip (E) :
14. Elip (E) : có tâm sai bằng bao nhiêu?
15. Cho elip coó các tiêu điểm và đi qua . Điểm thuộc elip đã cho có các bán kính qua tiêu là bao nhiêu ?
16. Elip (E) : , với , có tiêu cự là bao nhiêu ?

Phương trình là phương trình chính
tắc của đường nào ?
18. Cặp điểm nào là các tiêu điểm của hypebol
Cặp đường thẳng nào là các đường tiệm cận
của hypebol
Cặp đường thẳng nào là các đường chuẩn
của hypebol
Đường tròn nào ngoại tiếp hình chữ nhật cơ
sở của hypebol
22. Điểm nào là tiêu điểm của parabol
23. Đường thẳng nào là đường chuẩn của parabol
24. Cônic có tâm sai là đường nào ?