HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
II. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
III. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
IV. BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI 1.
Góc giữa 2 đường thẳng a và b chéo nhau là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cắt nhau lần lượt cùng phương với a và b
Kí hiệu :
O 
a
b
a’
b’
O 
a’
O 
b’
Góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau :
Ghi chú
Với 2 đường thẳng a, b tùy ý, ta có :



II. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1. Định nghĩa.

O
b
a
a’
b’
2. Tính chất :
a
b
c
Các mệnh đề sau đúng hay sai ?
a) Hai đường thẳng vuông góc nhau thì cắt nhau ?
b
a
c

Sai, vì chúng có thể chéo nhau
Sai, vì chúng có thể chéo nhau hoặc cắt nhau
b) Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau ?
u
a
b
b


PHƯƠNG PHÁP GiẢI TOÁN
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc :
1. Dùng định nghĩa :
2.
3.
4. Nếu a, b đồng phẳng dùng các phương pháp trong hình học phẳng, như Pytago đảo, trung tuyến của tam giác cân, tính chất đường cao, trung trực,…
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Biết
AB = CD = 2a và MN =
Tính góc
Hướng dẫn giải toán
Gọi O là trung điểm của AC
OM , ON lần lượt là ĐTB của ABC, ACD.
OM = ON = a và OM // AB, ON // CD

A
B
C
D
N
M



O
2a
2a
a
a

+ Cách 1 :
Gọi H là trung điểm của MN. Trong tam giác cân OMN có :
OM = a, MH =
O
M
N
H
a
a
Tính góc

+ Cách 2. Áp dụng định lí cosin cho MON :
MN2 = OM2 + ON2 – 2.OM.ON.cos Suy ra :

Do đó :


Vậy :
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 2. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi M, N, P , Q , R lần lượt là các trung điểm của AB, CD, AD, BC và AC
a) Chứng minh : MN  RP và MN  RQ
b) Chứng minh : AB  CD
a. Chứng minh MN  RP, MN  RQ
M
N
P
Q
R
A
B
C
D
Ta có : RP là ĐTB ACD  RP // CD (1)
Từ (1) và (2) suy ra :
MN  RP
MCD cân  MN  CD (2)
Tương tự : RQ là ĐTB ABC  RQ // AB (3) và ABN cân  MN  AB (4)
(3) , (4)  MN  RQ
M
N
P
Q
R
A
B
C
D
b. Chứng minh AB  CD
Ta có : RP // CD và RQ // AB
Ta chứng minh : RP  RQ
Tương tự : PQ  AD
QPD vuông tại P, nên :
Ta có :
Do đó : RP  RQ  AB  CD
Bài tập
Bài 3 . Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi M là trung điểm của BC. Tính góc
Hướng dẫn giải toán
Tính góc
A
B
C
D
M 
N 

MN là ĐTB ABC, nên MN // AB

Áp dụng định lí cosin cho tam giác MND , ta được :
*Cách khác :
Trong tam giác cân MND tại D, gọi H là trung điểm của MN, nên :
Bài 4. Tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c.
a) Chứng minh các đoạn nối trung điểm của các cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó.
b) Tính cosin của góc hợp bởi các đường thẳng AC và BD
Hướng dẫn giải toán
a) Chứng minh : + MN  CD , MN  AB ;
A
B
C
D
M 

N
 P

Q
b
c
a
ABC = BDA (c-c-c)
 MC = MD
 MND cân
 MN  CD
Tương tự : MN  AB
b
c
a
+ PQ  AD , PQ  BC
Ta có :
Hướng dẫn giải toán
A
B
C
D
M 

N
 P

Q
b
c
a
ABC = DCB (c-c-c)
 QA = QD
 QAD cân tại Q
 PQ  AD
Tương tự : PQ  BC
Vậy các đoạn nối trung điểm các cạnh đối vuông góc với các cặp cạnh đối đó.
a) Chứng minh : + PQ  AD , PQ  BC
b
a
c
A
B
C
D
M 

N
 P

Q
b/2
c
a
b) Tính
b
a
c
b/2

Ta có : NP // AC, MP // BD
Nên :
Áp dụng định lí cosin cho tam giác MNP :
MNC vuông tại N
 MN2 = MC2 – NC2
Áp dụng định lí trung tuyến cho ABC , ta được :
Vậy :
Bài 5 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân tại A, M là 1 điểm trên cạnh AD (M khác A và D). Mặt phẳng  qua M và song song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
b) Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x.
Hướng dẫn giải toán
A
S
B
C
D
M


N


P
Q
Hướng dẫn giải toán
A
S
B
C
D
M


N


P
Q
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
Tương tự : AB // ()  ()  (SAB) = MN // AB
SB // ()  ()  (SBC) = NP // SB
Và ()  (SCD) = PQ // CD //AB
Vậy tứ giác MNQ là hình thang