CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI
BUỔI HỌC NGÀY HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Trong bóng đá, công nghệ Goal-line được sử dụng để xác định xem bóng đá hoàn
toàn vượt qua vạch vôi hay chưa, từ đó giúp trọng tài đưa ra
quyết định về một bàn thắng có được ghi
hay không. Yếu tố hình học nào cho ta
biết quả bóng đã vượt qua vạch vôi hay
chưa?

CHƯƠNG IV. QUAN HỆ SONG SONG TRONG
KHÔNG GIAN
BÀI 14: PHÉP CHIẾU SONG SONG

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

Phép chiếu song song

2

Tính chất của phép chiếu song song

3

Hình biểu diễn của một hình không gian

1. PHÉP CHIẾU SONG SONG

HĐ 1: Một khung cửa sổ có dạng hình tròn với các chấn song tạo thành hình vuông
ABCD, hai đường chéo của hình vuông cắt nhau tại O. Dưới ánh mặt trời, khung cửa và
các chắn song đổ bóng lên sàn nhà (H.4.56a). Quan sát hình vẽ và trả lời các câu hỏi
sau:
a) Các đường thẳng nối mỗi điểm A, B, C với bóng A', B', C' có đôi một song
song hay không?
b) Làm thế nào để xác định được bóng
đổ trên sàn nhà của mỗi điểm trên
khung cửa sổ?

Giải:

a) Các đường thẳng nối mỗi điểm A, B, C với bóng A', B', C' đôi một song
song với nhau.
b) Để xác định được bóng đổ trên sàn nhà của mỗi điểm trên khung cửa sổ
ta sử dụng phép chiếu song song.

KẾT LUẬN
- Cho mặt phẳng và đường thẳng cắt . Với mỗi điểm trong không gian ta
xác định điểm như sau:
+ Nếu thuộc thì là giao điểm của và .
+ Nếu không thuộc thì là giao điểm của và đường thẳng qua song song
với . Điềm được gọi là hình chiếu song song của điềm trên mặt phẳng theo
phương . Phép đặt tương ứng mỗi điểm với hình chiếu của nó được gọi là
phép chiếu song song lên theo phương .
- Mặt phẳng được gọi là mặt phẳng chiếu, phương được gọi là
chiếu.

phương

CÂU HỎI:
Trong HĐ1, làm thế nào để xác định được bóng của toàn bộ song cửa CD
trên sàn nhà?
Để xác định được bóng của toàn bộ song cửa CD, ta xác định bóng của
từng điểm C và D trên sàn nhà là C' và D'.
Khi đó C'D' chính là bóng của song cửa CD.

KẾT LUẬN
Cho hình H. Tập hợp H' các hình chiếu M' của các điểm M thuộc H qua phép
chiếu song song được gọi là hình chiếu của H qua phép chiếu song song đó.

Chú ý
Nếu một đường thẳng song song với phương chiếu thì hình chiếu
của đường thẳng đó là một điểm.

Ví dụ 1 (SGK – tr96)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'
a) Xác định hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (A'B'C') theo phương CC'
b) Gọi M là một điểm thuộc đoạn thẳng AB. Xác định hình chiếu của M trên mặt phẳng
(A'B'C') theo phương CC') .
Giải
a) VÌ ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên AA' //BB'//CC' Vì A'
thuộc mặt phẳng (A'B'C') nên A là hình chiếu của A trên
mặt phẳng (A'B'C') theo phương CC.

Ví dụ 1 (SGK – tr96)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'
a) Xác định hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (A'B'C') theo phương CC'
b) Gọi M là một điểm thuộc đoạn thẳng AB. Xác định hình chiếu của M trên mặt
phẳng (A'B'C') theo phương CC') .
Giải
b) Trong mặt phẳng (ABB'A') vẽ MM' // AA' với M' thuộc
A'B' thì MM'//CC'.
Vì M thuộc mặt phẳng (A'B'C')nên M' là hình chiếu của M
trên mặt phẳng (A'B'C') theo phương CC'.

LUYỆN TẬP 1
Cho hình hộp ABCD.EFGH (H.4.58). Xác định hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng
(CDHG) theo phương BC và theo phương BG.
Giải
Vì ABCD.EFGH là hình hộp nên AD // BC.
Vì D thuộc mặt phẳng (CDHG) nên D là hình chiếu của
điểm A trên mặt phẳng (CDHG) theo phương BC.
Vì ABCD.EFGH là hình hộp nên các mặt của nó đều là
các hình bình hành.

Giải

Do đó, ABCD và CDHG là các hình bình hành.
Từ đó suy ra AB // CD, AB = CD và CD // HG, CD = HG nên AB // HG và AB = HG
Suy ra ABGH là hình bình hành nên AH // BG.
Vì H thuộc mặt phẳng (CDHG) nên H là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng
(CDHG) theo phương BG.

VẬN DỤNG 1
Trong hình ảnh mở đầu, khi một bàn thắng được ghi
thì hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo
phương thẳng đứng có vị trí như thế nào với vạch
vôi?
Giải
Trong hình ảnh mở đầu, khi một bàn thắng được ghi thì hình chiếu của quả bóng
trên mặt đất theo phương thẳng đứng nằm phía trong vạch vôi về phía bên trong
khung thành.

2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU
SONG SONG

HĐ 2: Quan sát Hình 4.56a và trả lời các câu hỏi sau:
a) Hình chiếu O' của điểm O có nằm trên đoạn A'C' hay không?
b) Hình chiếu của hai song cửa AB và CD như thế nào với nhau?
c) Hình chiếu O' của điểm O có phải là trung điểm của đoạn A'C' hay không?

Giải:
a) Hình chiếu O' của điểm O nằm trên đoạn A'C'.
b) Hình chiếu của hai song cửa AB và CD lần
lượt là A'B' và C'D', chúng song song với nhau.
c) Hình chiếu O' của điểm O là trung điểm của
đoạn A'C'.

TÍNH CHẤT
- Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự ba điểm đó. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường
thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
- Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song
song hoặc trùng nhau.
- Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số
độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm
trên một đường thẳng hoặc nằm trên
hai đường thẳng song song.

CÂU HỎI:
Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có phải là hai đường thẳng cắt
nhau hay không?
Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có thể cắt nhau hoặc chéo
nhau.

Ví dụ 2 (SGK – tr97)
Cho hình bình hành ABCD và gọi A'B'C'D' là hình chiếu của ABCD trên mặt phẳng (P) theo
phương d (H.4.60). Chứng minh rằng tứ giác A'B'C'D là hình bình hành.
Giải
Vì ABCD là hình bình hành nên AB song song với CD, do đó
hình chiếu của AB là A'B' song song với hình chiếu của CD là
C'D'. Tương tự A'D' song song với B'C'.
Tứ giác A'B'C'D' có A'B' //C'D' và A'D' // B'C' nên nó là hình
bình hành.

LUYỆN TẬP 2
Chứng minh rằng hình chiếu song song của một hình thang là một hình thang (H.4.61).
Giải
Hình thang ABCD có AB // CD, A'B'C'D' là hình chiếu
song song của ABCD trên mặt phẳng (P) theo phương
d (Hình 4.61).
Vì ABCD là hình thang có AB // CD, do đó hình chiếu
của AB là A'B' song song với hình chiếu của CD là C'D'.
Tứ giác A'B'C'D' có A'B' // C'D' nên nó là hình thang.

Ví dụ 3 (SGK – tr98)
Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Một phép chiếu song song biến tam giác ABC
thành tam giác A'B'C', biến M thành M'. Chứng minh rằng A'M' là đường trung tuyến của
tam giác A'B'C' (H.4.62).
Giải
Vì M là trung điểm của BC nên B, M, C thẳng hàng theo thứ
tự đó và . Do vậy B', M', C' thẳng hàng theo thứ tự đó và ,
tức là M' là trung điểm của B'C'. Vậy A'M' là đường trung
tuyến của tam giác A'B'C'.

LUYỆN TẬP 3
Một phép chiếu song song biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C', biến M thành M'. Chứng
minh rằng phép chiếu đó biến đường trung bình của tam giác ABC thành đường trung bình
của tam giác A'B'C'.

Giải
Tam giác A'B'C' là hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (P) theo phương d.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.
Khi đó MN, NP, MP là các đường trung bình của tam giác ABC.
Gọi M', N', P' lần lượt là hình chiếu của M, N, P trên mặt phẳng (P) theo phương d.
Vì M là trung điểm của AB nên A, M, B thẳng hàng theo thứ tự đó và .
Do vậy thẳng hàng theo thứ tự đó và , tức là M' là trung điểm của .
Chứng minh tương tự ta có N' là trung điểm của B'C' và P' là trung điểm của A'C'.
Vậy M'N', N'P', M'P' là các đường trung bình của tam giác A'B'C'.

3. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH
TRONG KHÔNG GIAN

HĐ 3:
Trong ba hình dưới đây, hình nào thể hiên hình lập phương chính xác hơn?

Trong ba hình đã cho, Hình 4.63a thể hiện hình lập phương
chính xác nhất.

KHÁI NIỆM
Hình biểu diễn của một hình trong không gian là hình chiếu song song
của hình đó trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó
hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

CÂU HỎI:
Quan sát hình ảnh khung cửa số trong Hình 4.56a và cho biết hình biểu diễn của
hình tam giác, hình vuông, hình tròn là hình gì?
- Hình biểu diễn của hình tam giác là hình tam giác;
- Hình biểu diễn của hình vuông là hình bình hành;
- Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip.
- Hình biểu diễn của một số hình phẳng (nằm trong mặt
phẳng không song song với phương chiếu)

KẾT LUẬN
• Hình biểu diễn của Tam giác (tam giác đều, tam giác cân, tam giác
vuông,…) là một tam giác.
• Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi là một hình
bình hành.
• Hình biểu diễn của hình thang ABCD với AB//CD là một hình thang
A'B'C'D' với A'B'//C'D' thỏa mãn
• Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip.

Ví dụ 4 (SGK – tr99)
Vẽ hình biểu diễn của hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có mặt đáy ABCD là hình thang,
AB song song với CD và AB = 2CD.
Giải
Hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có các mặt bên là hình bình hành
nên hình biểu diễn của nó cũng có các mặt bên là hình bình
hành. Hình thang ABCD có hai đáy AB, CD và AB = 2CD nên
hình biểu diễn của ABCD là một hình thang có độ dài một
đáy gấp hai lần độ dài của đáy còn lại. Từ đó, ta vẽ được hình
biểu diễn của hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' như Hình 4.64.

LUYỆN TẬP 4
Vẽ hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Giải
Hình chóp S.ABCD có các mặt bên là các hình
tam giác nên hình biểu diễn của nó cũng có
các mặt bên là hình tam giác, đáy ABCD là
hình bình hành nên hình biểu diễn của đáy
ABCD cũng là một hình bình hành. Từ đó ta vẽ
được hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD
như sau:

VẬN DỤNG 2
Phép chiếu song song có thể được sử dụng để vẽ dạng nổi (hay dạng 3D) của chữ
cái như trong hình dưới đây. Theo phương pháp đó hãy vẽ dạng nổi của một số
chữ cái quen thuộc như L, N, T,…

Giải

Bài 4.30 (SGK – tr.100)
Nếu tam giác A'B'C' là hình chiếu của tam giác ABC qua một phép chiếu song
song thì tam giác ABC có phải là hình chiếu của tam giác A'B'C' qua một phép
chiếu song song hay không? Giải thích vì sao.
Giải
Giả sử tam giác A'B'C' là hình chiếu của tam giác
ABC trên mặt phẳng (P) theo phương chiếu d.
Khi đó AA', BB', CC' đôi một song song với nhau
và đều song song với phương chiếu d. Do vậy,
tam giác ABC là hình chiếu của tam giác
A'B'C' trên mặt phẳng (ABC) theo phương d.

Bài 4.31 (SGK – tr.100)
Phép chiếu song song biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng
phép chiếu đó biến trọng tâm của tam giác ABC thành trọng tâm của tam giác A'B'C'.
Giải
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và G' là hình chiếu
song song của nó.
Gọi M là trung điểm của BC thì A, G, M thẳng hàng theo
thứ tự đó.
Gọi M' là hình chiếu của M.

Bài 4.31 (SGK – tr.100)
Phép chiếu song song biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng
phép chiếu đó biến trọng tâm của tam giác ABC thành trọng tâm của tam giác A'B'C'.
Giải
Khi đó, theo tính chất của phép chiếu song song ta có:
thẳng hàng theo thứ tự đó và (1)
thẳng hàng theo thứ tự đó và (2)
Từ (1)(2) suy ra là trọng tâm của .

LUYỆN TẬP

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Qua phép chiếu song song, tính chất nào của hai đường thẳng không
được bảo toàn?
A. Chéo nhau
C. Song song

B. Đồng qui
D. Thẳng hàng

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 2. Cho tam giác ABC ở trong mp(α) và phương l. Biết hình chiếu (theo
phương l) của tam giác ABC lên mp( P ) không song song (α) là một đoạn thẳng
nằm trên giao tuyến. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (α) // (P)
C. (α) // l hoặc (α) ⊃ l

B. (α) ≡ (P)
D. Cả A, B, C đều sai

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 3. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai
đường thẳng:
A. Song song

B. Trùng nhau

C. Song song hoặc trùng nhau

D. Cắt nhau

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 4. Cho điểm M ∉ (α) và phương l không song song với (α). Hình chiếu của M
lên (α) qua phép chiếu song song theo phương l là:
A. Đường nối M với giao điểm của l với (α)
B. Giao điểm của l với (α)
C. Hình chiếu vuông góc của M lên l
D. Điểm M

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 5. Hình chiếu của một đường thẳng qua phép chiếu song song theo
phương song song với đường thẳng đó trên mặt phẳng chiếu là:
A. Một đường thẳng

B. Một điểm

C. Một mặt phẳng

D. Một đoạn thẳng

Bài 4.29 (SGK – tr.100)
Những mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là đúng?
a) Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
b) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành
hai đường thẳng cắt nhau.
c) Phép chiếu song song biến tam giác đều thành tam giác cân.
d) Phép chiếu song song biến hình vuông thành hình bình hành.

Bài 4.32 (SGK – tr.100)

Hình 4.65 có thể là hình biểu diễn của một hình lục
giác đều hay không? Vì sao?

Giải

+) Xét hình lục giác đều MNPQRS có tâm O.

Giải
- Tứ giác OSMN là hình thoi;
- Các điểm P, Q, R lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm S, M, N qua tâm O.
Từ đó suy ra các vẽ hình biểu diễn của hình lục giác đều MNPQRS như sau:
- Vẽ hình bình hành O'S'M'N' biểu diễn cho hình thoi OSMN;
- Lấy các điểm P', Q', R' lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm S', M', N' qua O',
ta được hình biểu diễn M'N'P'Q'R'S' của hình lục giác đều MNPQRS.

+) Gọi I là giao điểm các đường chéo AD, BE và CF trong hình lục giác ABCDEF ở Hình 4.65.

Khi đó nếu ABCDEF là hình biểu diễn của hình lục giác đều thì phải thỏa mãn hai
điều kiện:
- Tứ giác IFAB là hình bình hành (1);
- D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C qua I (2).
Từ hình vẽ ta thấy điều kiện (2) thỏa mãn những điều kiện (1) không thỏa mãn.
Vậy Hình 4.65 không thể là hình biểu diễn của một hình lục giác đều.

VẬN DỤNG

Bài 4.33 (SGK – tr.100)
Vẽ hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB song song
với CD và AB = 2cm, CD = 6cm.
Giải
Vì AB = 2 cm, CD = 6 cm nên CD = 3AB.
Hình chóp S.ABCD có các mặt bên là hình tam giác nên hình biểu diễn của nó
cũng có các mặt bên là hình tam giác, đáy ABCD là hình thang có hai đáy AB, CD
(do AB // CD) và CD = 3AB nên hình biểu diễn của ABCD là một hình thang có độ
dài một đáy gấp ba lần độ dài của đáy còn lại.

Giải
Từ đó, ta vẽ được hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD như sau:

Bài 4.34 (SGK – tr.100)
Trong hình bên, AB và CD là bóng của hai thanh chắn của một
chiếc thang dưới ánh mặt trời. Hãy giải thích tại sao AB song song
với CD.
Giải
AB và CD là bóng của hai thanh chắn của một chiếc thang
dưới ánh mặt trời. Khi đó AB và CD là hình chiếu song song
của hai thanh chắn của một chiếc thang lên tường (do mặt trời
chiếu xuống tường các tia sáng song song). Mà hai thanh chắn
của một chiếc thang thì song song với nhau, do đó theo tính
chất của phép chiếu song song ta suy ra AB song song với CD.