Chúng ta sẽ biết những kiến thức cơ bản nhất về ĐẠI SỐ TỔ HỢP và LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
Phần thứ nhất bao gồm QUY TẮC CỘNG và QUY TẮC NHÂN, các khái niệm và công thức về HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP và TỔ HỢP. Sau đó là Công thức NHỊ THỨC NIU TƠN.
Phần thứ hai cung cấp những kiến thức mở đâù và các công thức đơn giản của LÝ THUYẾT XÁC SUẤT có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Để đếm số phần tử của các tập hợp hữu hạn, người ta thường sử dụng QUY TẮC CỘNG và QUY TẮC NHÂN.
Một số khái niệm :
Số phần tử của tập hợp hữu hạn A được ký hiêụ là n(A) hay |A|.
Ví dụ : Nếu A = {a ; b ; c } thì n(A) = 3 hay |A| = 3
Ví dụ : Nếu B = {1 ; m ; n; 5 } thì n(B) = 4 hay |B| = 4
Ví dụ : Nếu A={1;2;3;4;5;6;7;8;9} và B = {2 ; 4 ; 6; 8 }
thì n(A) = 9 ; n(B) = 4 và n(A B) = 5
Bài 1: Có 3 quyển sách khác nhau và 5 quyển vở khác nhau.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 quyển trong số các quyển đó?
Bài làm :
Số các chọn 1 quyể�n trong số các quyển đó là : 3 + 5 = 8(cách)
Số các chọn 1 quyển sách là 3
Số các chọn 1 quyển vở là 5
1. QUY TẮC CỘNG
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách thực hiện không trùng với bất cứ cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
Lưu ý:
a- Nếu A, B là các tập hữu hạn và A ? B=? thì n(A?B)=n(A) + n(B)
b-Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành độ�ng.
Bài 2: Có 5 viên bi xám, 2 viên bi trắng, và 4 viên bi đen.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 viên bi trong số các viên bi đó?
Bài làm :
Số cách chọn 1 viên trong các viên bi đó là� : 5+2+4 = 11(cách)
Số cách chọn 1 viên bi xám là 5�
Số cách chọn 1 viên bi trắng là 2
Số cách chọn 1 viên bi den là 4
Bài 3: Hồng có 3 cái áo và 3 đôi giày. Hỏi Hồng có bao nhiêu cách chọn 1 bộ (1áo + 1 đôi giày) ?.
Bài làm :
Số cách chọn 1 áo để mặc là : 3
Ứng với áo được chọn, số cách chọn 1 đôi giày để đi là : 3
Số cách chọn 1 bộ là : 3 . 3 = 9 (cách)
Có 4.2 = 8 cách
A
B
C
Bài 4: Từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng ôtô, tàu thủy, máy bay, xe đạp. Từ tỉnh B đến tỉnh C có thể đi bằng máy bay, tàu thủy. Muốn đi từ A đến C phải đi qua B. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C?
Bài làm :
Số cách chọn phương tiện đi từ A đến B là : 4
Ứng với phương tiện đi đó, số cách chọn phương tiện đi từ B đến C là : 2
Số cách đi từ A đên C là� : 4 . 2 = 8 (cách)
2. QUI TẮC NHÂN
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp.
Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc .
Lưu ý : Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.
Bu?c 1
Bu?c
2
Bu?c 3
Bu?c k
m1
m2
m3
mk
Số cách thực hiện công việc H:
2. QUI TẮC NHÂN
Công việc H
NH =
m1 . m2 .m3……mk
Bài 5 :Bạn Hoàng có hai áo màu khác nhau và có ba kiểu quần khác nhau.Hỏi Hoàng có bao nhiêu cách chọn một bộ quần-áo?
Bài làm:
Giả sử hai áo được ghi chữ a và b ; ba quần được đánh số 1 ; 2 và 3.
Để chọn một bộ quần áo, phải thực hiện liên tiếp hai hành động:
Hành động 1 : Chọn áo ; Có 2 cách chọn ( chọn a hoặc b)
Hành động 2 : Chọn quần ; Có 3 cách chọn ( chọn 1 hoặc 2 hoặc 3)
Vậy, số cách chọn 1 bộ áo-quần là : 2.3 = 6(cách)
Bài 6 : Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường. Từ thành phố B đến thành phố C có 4 con đường. Muốn đi từ A đến C phải đi qua B. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C?
Bài làm:
Số cách đi từ A đến C qua B là : 3 . 4 = 12 (cách)
A
B
C
Bài 7 : Từ các chữ số 1 ; 2 ; 3 ; 4 có thể lập nên bao nhiêu số tự nhiên có 1 chữ số ?
Bài làm:
Số số có l chữ số lập được từ các chữ số đã cho la :� 4
Bài 8 : Từ các chữ số 1 ; 2 ; 3 ; 4 có thể lập nên bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số ?
Bài làm:
Số có hai chữ số có dạng ab với a ?{1;2;3;4} và b ? {1;2;3;4}
Có 4 cách chọn chữ số a. Ứng với chữ số a đã chọn, có 4 cách chọn chữ số b
Theo quy tắc nhân, số số có hai chữ số lập được là : 4 . 4 = 16(số)
Bài 9 : Từ các chữ số 1 ; 2 ; 3 ; 4 có thể lập nên bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau?
Bài làm:
Số có hai chữ số có dạng ab với a ?{1;2;3;4} và b ? {1;2;3;4}{a}
Có 4 cách chọn chữ số a. Ứng với chữ số a đã chọn, có 3 cách chọn chữ số b
Theo quy tắc nhân, số số có hai chữ số lập được là : 4 . 3 = 12(số)
Bài 10 : Từ các chữ số 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 4; 6 có thể lập nên bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100 ?
Bài làm:
Số số lập được bao gôm số có 1 chữ số và số có hai chữ số.
Số số lập được theo yeu cầu của bài là : 6 + 6.6 = 42( số)
Bài tập
Bài 1 : Trong một lớp có 18 bạn nam, 12 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
1> Một bạn phụ trách quỹ lớp?
2>Hai bạn, trong đó có một nam và một nữ?
1> Một bạn phụ trách quỹ lớp:
Theo quy tắc cộng, ta có : 18 + 12 = 30 (cách)
2>Hai bạn, trong đó có một nam và một nữ:
Theo quy tắc nhân, ts có : 18 . 12 = 216 (cách)
Bài 2 : Trên giá sách có 10 quyển sách Tiếng Việt khác nhau ; 8 quyển sách Tiếng Anh khác nhau ; 6 quyển sách Tiếng Pháp khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn :
1> Một quyển sách?
2> Ba quyển sách tiếng khác nhau?
3> Hai quyển sách tiếng khác nhau?
1> Theo quy tắc cộng, ta có : 10 + 8 + 6 = 24 (cách)
2> Theo quy tắc nhân, có : 10.8.6 = 480(cách)
3> Hai quyển sách được chọn có thể là (Việt-Anh) ;
(Anh-Pháp) hoặc (Pháp-Việt)
Theo quy tắc nhân, ta có : 10.8 = 80(cách chọn Viê�t-Anh)
8.6 = 48(cách chọn Anh-Pháp)
và 6.10 = 60(cách chọn Pháp-Việt)
Vậy theo quy tắc cộng, số cách chọn 2 quyển sách tiếng khác nhau là : 80 + 48 + 60 = 188(cách)
Bài 5: Cho tập hợp X ={1,2,3}
a) Có thể lập được bao nhiêu tập con khác rỗng của tập X?
b) Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau lấy từ X?
Bài 6: Từ các chữ số 0;1;2;3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẳn gồm 3 chữ số đôi một khác nhau?.
Hoạt động 2
{1,2,3}
1 ph?n t? : {1} , {2} , {3}
2 ph?n t? : {1,2} , {1,3} ,{2,3}
3ph?n t?: {1,2,3}
Vậy có : 3 + 3 + 1 = 7 t?p con
Bài 5a)
Chọn a
Chọn b
Chọn c
Lập số có 3 chữ số abc
Số cách chọn:
3
2 (b  a)
1 (c  b,  a)
Vậy có : 3.2.1 = 6 số
1
2
3
2
3
3
2
1
3
3
1
1
2
1
2
123;132
213;231
312;321
X={1,2,3}
Bài 5b)
Số tự nhiên có từ 2 chữ số : chữ số đầu  0
Số tự nhiên chẵn: tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
Số tự nhiên lẻ: tận cùng là 1,3,5,7,9.
Bài 6)
Lập số abc
TH1: c=0: a có 3 cách chọn (a  0;  c)
b có 2 cách chọn (b  a;  c)
=> Có N1 =3.2=6 số
TH2: c=2: a có 2 cách chọn (a  0;  c)
b có 2 cách chọn (b  a;  c)
=> Có N2 =2.2=4 số
X={0,1,2,3}
Vậy có N = N1+N2 = 6+4=10 (số)
Có k bước:
B 1: m1 cách thực hiện
B 2: m2 //
…….
B k : mk //
=> Có m1.m2. … mk cách thực hiện công việc H
THỰC HIỆN CÔNG VIỆC H
Theo k phương án:
p/a 1: N1 cách thực hiện
p/a 2: N2 //
…….
p/a k : Nk //
=> Có N1+N2+ … Nk cách thực hiện công việc H
Quy tắc nhân
Quy tắc cộng
Báo cáo số thành viên trong nhóm:
Nam : …………..
Nữ : …... ..
Tổng số : …….
Có bao nhiêu cách chọn 2 bạn trong nhóm làm nhóm trưởng và thư ký? Giải thích?
b) Có bao nhiêu cách chọn 2 bạn trong nhóm làm nhóm trưởng và thư ký trong đó có 1 người là nam, 1 người là nữ? Giải thích?
(Mọi người trong nhóm đều có khả năng làm nhóm trưởng và thư ký như nhau.)


Hoạt động 3
Có bao nhiêu cách trao huy chương vàng, bạc, đồng ?
(Khả năng đạt huy chương của mỗi đội là như nhau.)
V-League (06-07)
14 d?i
Có 14 cách trao huy chương vàng.
Sau khi đã trao huy chương vàng còn 13 đội nên có 13 cách trao huy chương bạc.
Sau khi đã trao huy chương vàng,bạc còn 12 đội nên có 12 cách trao huy chương đồng.

Vậy có 14.13.12 = 2184 (cách)
Có bao nhiêu cách đi từ Tp.HCM ra Hà Nội?
xe
lửa
Phương án 1: đi qua ĐN:
có 3.5=15 (cách)
Phương án 2: đi trực tiếp:
có 2 cách
Vậy có: 15+2 =17(cách)
Hướng dẫn:
cc