3

Trong Hình 7.2a, nếu một vật thể chuyển động với vectơ
vận tốc bằng và đi qua A thì nó di chuyển trên đường
nào?
Δ1

 Quan sát Hình 7.2a ta thấy giá của vectơ
song song với đường thẳng ∆2
Nên vật thể chuyển động với vận tốc bằng
và đi qua A thì nó di chuyển trên đường ∆2.

Δ2

v

A

Hình 7.2a

 Vectơ khác được gọi là vectơ chỉ phương của đường
thẳng nếu giá của nó song song hoặc trùng với
 Nhận xét :
•

Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng
thì cũng là vectơ chỉ phương của đường
thẳng

Δ

u

•

Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết
một điểm và một vectơ chỉ phương của nó

•

Hai vectơ và vuông góc với nhau nếu là vectơ pháp tuyến của
đường thẳng thì là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và
ngược lại.

Hình 7.2b

4

Trong mặt phẳng toạ độ cho A(3;2) , B(1;-4)
Hãy chỉ ra hai vectơ chỉ phương của đường thẳng AB

 Ta có : ìï A(3; 2)
ï

í
ïïî B(1; - 4)

uuu
r
Þ AB (- 2; - 6)

Đường thẳng AB nhận là một vectơ chỉ phương
Lấy , khi đó cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
AB

LUYỆN TẬP

3

Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng

∆:

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến
Do đó có vectơ chỉ phương là
Ngoài ra có thể chọn một vectơ chỉ phương khác của ∆ là

4

Chuyển động của một vật thể được thể hiện trên mặt phẳng Oxy.
Vật thể khởi hành từ A(2; 1) và chuyển động thẳng đều với vectơ
vận tốc
a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi
qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?
b) Chứng minh rằng, tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành,
vật thể ở vị trí có tọa độ là (2 + 3t; 1 + 4t).

a) Vật thể chuyển động trên đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) và nhận
vectơ vận tốc làm vectơ chỉ phương.
b) Gọi

r
uuur
Þ AM = (2 + 3t - 2;1 + 4t - 1) = (3t ; 4t ) = t (3; 4) = tv

Do đó vectơ và vectơ là 2 vectơ cùng phương hay AM song song
hoặc trùng với giá của .

4

Chuyển động của một vật thể được thể hiện trên mặt phẳng Oxy.
Vật thể khởi hành từ A(2; 1) và chuyển động thẳng đều với vectơ
vận tốc
a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi
qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?
b) Chứng minh rằng, tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành,
vật thể ở vị trí có tọa độ là

Khi đó điểm M thuộc đường thẳng chuyển động của vật thể, tức là đường
thẳng đi qua điểm A và nhận vectơ vận tốc làm vectơ chỉ phương
Vậy tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ
là

• Cho đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương Khi
đó điểm M(x;y) thuộc đường thẳng khi và chỉ khi tồn tại số
thực t sao cho , hay

ìïï x = x0 + at
í
ïïî y = y0 + bt

(2)

Hệ (2) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng

5

Lập phương trình tham số của đường thẳng
điểm A(2;-3) và có vectơ chỉ phương

 Phương trình tham số của đường thẳng là :

ìïï x = 2 + 4t
í
ïïî y =- 3 - t

đi qua

LUYỆN TẬP

4

Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua
điểm M(– 1; 2) và song song với đường thẳng
.

 Đường thẳng d: 3x – 4y – 1 = 0 nhận làm vectơ pháp tuyến nên
đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là
Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d nên đường thẳng ∆ có
một vectơ chỉ phương là
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(– 1; 2) và có vectơ chỉ phương là nên
phương trình tham số của ∆ là

ìïï x = - 1 + 4t
í
ïïî y = 2 + 3t

6

Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai
điểm A(2;3) và B(1;5)

 Ta có : ìïï A(2;3)

í
ïïî B (1;5)

uuu
r
Þ AB = (- 1; 2)

Đường thẳng AB đi qua A(2;3) và có vectơ chỉ phương do đó có
phương trình tham số là :

ìïï x = 2 - t
í
ïïî y = 3 + 2t

LUYỆN TẬP

5

Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát
của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt và cho
trước.

uuu
r
 Ta có : AB = ( x2 - x1 ; y2 - y1 )
Đường thẳng AB đi qua và có vectơ chỉ phương do đó có
phương trình tham số là :
ìï x = x + ( x - x )t
1
2
1
ïí
ïïî y = y1 + ( y2 - y1 )t

r
Khi đó vectơ pháp tuyến là : n = (- ( y2 - y1 ); x2 - x1 ) = ( y1 - y2 ; x2 - x1 )

Phương trình tổng quát là : ( y1 - y2 ) x - x1 ) + ( x2 - x1 )( y - y1 ) = 0
Û ( y1 - y2 ) x + ( x2 - x1 ) y + x1 y2 - x2 y1 = 0

Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C (Anders Celsius, 1701 –
1744) và đơn vị độ F (Daniel Fahrenheit, 1686 – 1736) được xác
định bởi hai mốc sau:
Nước đóng băng ở 0 °C, 32 °F;
Nước sôi ở 100 °C, 212 °F.
Trong quy đổi đó, nếu a °C tương ứng với b °F thì trên mặt phẳng
tọa độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và
B(100; 212). Hỏi 0 °F, 100 °F tương ứng với bao nhiêu độ C?
 Ta lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 32) và B(100; 212).
uuu
r
Ta có : AB = (100 - 0; 212 - 32) = (100;180)
Chọn là một vectơ chỉ phương của AB thì đường thẳng AB có
vectơ pháp tuyến là
Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng AB là :

9( x - 0) - 5( y - 32) = 0

Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C (Anders Celsius, 1701 –
1744) và đơn vị độ F (Daniel Fahrenheit, 1686 – 1736) được xác
định bởi hai mốc sau:
Nước đóng băng ở 0 °C, 32 °F;
Nước sôi ở 100 °C, 212 °F.
Trong quy đổi đó, nếu a °C tương ứng với b °F thì trên mặt phẳng
tọa độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và
B(100; 212). Hỏi 0 °F, 100 °F tương ứng với bao nhiêu độ C?

Û 9 x - 5 y +160 = 0
Để tìm 0 °F, 100 °F tương ứng với bao nhiêu độ C nghĩa là ta tìm hoành độ
của các điểm thuộc đường thẳng AB có tung độ lần lượt là 0 và 100.
Tại 0 °F, nghĩa là y = 0 thì
Tại 100 °F, nghĩa là y = 100 thì

160 0
Û x =( C)
9
340 0
Û x=
( C)
9

Phương trình
Tổng quát

 Vectơ khác được gọi là vectơ pháp
tuyến của đường thẳng nếu giá của nó
vuông góc với
Phương trình tổng quát của
Trong đó vectơ pháp tuyến có toạ độ

Phương trình
Tham số

 Vectơ khác được gọi là vectơ chỉ
phương của đường thẳng nếu giá của
nó song song hoặc trùng với
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ
phương Có phương trình tham số là
ìïï x = x00 + at
í
ïïî y = y00 + bt

7.1

Trong mặt phẳng tọa độ, cho
a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ 1 đi qua A
và có vectơ pháp tuyến
b) Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ 2 đi qua B
và có vectơ chỉ phương
c) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB.

a) Đường thẳng ∆1 đi qua A(1; 3) và có vectơ pháp tuyến do đó phương
trình tổng quát của ∆1 là

2( x - 1) +1( y - 3) = 0
Û 2x + y - 5 = 0

b) Đường thẳng ∆2 đi qua B(– 2; 1) và có vectơ chỉ phương do đó phương
ìïï x = - 2 + 3t
trình tham số của ∆2 là

í
ïïî y = 1 + 2t

7.1

c. Ta có :

Trong mặt phẳng tọa độ, cho
a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ 1 đi qua A
và có vectơ pháp tuyến
b) Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ 2 đi qua B
và có vectơ chỉ phương
c) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB.

ìïï A(1;3)
í
ïïî B (- 2;1)

uuu
r
Þ AB = (- 3; - 2)

Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 3) và nhận làm vectơ chỉ phương nên
phương trình tham số của đường thẳng AB là :

ìïï x = 1- 3t
í
ïïî y = 3 - 2t

7.2

Lập phương trình đường thẳng tổng quát của các trục tọa
độ.

 Các vectơ đơn vị của trục Ox và Oy lần lượt là và
Hai trục tọa độ vuông góc với nhau nên vectơ chỉ phương của trục này là
vectơ pháp tuyến của trục kia.
Trục Ox đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và nhận vectơ làm vectơ pháp
tuyến nên phương trình tổng quát của Ox là :

0( x - 0) +1( y - 0) = 0

Û y =0

Trục Oy đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và nhận vectơ làm vectơ pháp
tuyến nên phương trình tổng quát của Oy là :

1( x - 0) + 0( y - 0) = 0

Û x =0

Cho hai đường thẳng

7.3
a. Ta có :

ìïï x = 1 + 2t
D 1 :í
; D 2 :2 x + 3 y - 5 = 0
ïïî y = 3 + 5t

a) Lập phương trình tổng quát của ∆1.
b) lập phương trình tham số của ∆2.

ìïï x = 1 + 2t
D 1 :í
ïïî y = 3 + 5t

Do đó đường thẳng ∆­1 đi qua điểm A(1; 3) và
có một vectơ chỉ phương là

Suy ra một vectơ pháp tuyến của là
Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆1 là

5( x - 1) - 2( y - 3) = 0
Û 5 x - 2 y +1 = 0

Cho hai đường thẳng

7.3

ìïï x = 1 + 2t
D 1 :í
; D 2 :2 x + 3 y - 5 = 0
ïïî y = 3 + 5t

a) Lập phương trình tổng quát của ∆1.
b) lập phương trình tham số của ∆2.

b) Đường thẳng ∆2 có phương trình tổng quát là 2x + 3y – 5 = 0 nên ∆2 có một
vectơ pháp tuyến là
Suy ra một vectơ chỉ phương của là
Chọn điểm B(1;1) thuộc ∆2 .Khi đó đường thẳng ∆2 đi qua điểm B(1; 1) và
nhận làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số là :

ìïï x = 1 + 3t
í
ïïî y = 1- 2t

7.4

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3;
0) và C(– 2; – 1).
a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A.
b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.

a. Ta có : ìïï A(1; 2)

í
ïïî B (3;0)

A

uuu
r
Þ AB = (- 5; - 1)

Gọi đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC
là đường thẳng ∆, do đó ∆ ⊥ BC.

B

H

C

Suy ra đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến
Vậy phương trình đường thẳng ∆ là :

- 5( x - 1) - 1( y - 2) = 0
Û 5x + y - 7 = 0

7.4

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3;
0) và C(– 2; – 1).
a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A.
b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.
A

b) Gọi M là trung điểm của AC, khi đó tọa độ của
điểm M là
1+ 2 2 - 1
- 1 1

M =(

2

;

2

) =(

M

; )
2 2

Đường trung tuyến kẻ từ B chính là đường thẳng BM.

uuur
1
1
- 7 1
Ta có : BM = (- - 3; - 0) = (
; )
2
2 2
r
uuur 2
Chọn u = 2 BM = (- 7;1)

B

Đường trung tuyến BM đi qua B(3; 0) và có một vectơ chỉ phương do đó
ìïï x = 3 - 7t
phương trình tham số của đường thẳng BM là

í
ïïî y = t

C

7.5

Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0),
B(0; b) với ab ≠ 0 (H.7.3) có phương trình là :
x y
+ =1
a b
y

a. Ta có : ìïï A(a;0)

í
ïïî B (0; b)

uuu
r
Þ AB = (- a; b)

Suy ra đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là
nên có vectơ pháp tuyến là
Phương trình tổng quát của đường thẳng AB đi qua
A(a; 0) và nhận làm vectơ pháp tuyến là :

b( x - a ) + a ( y - 0) = 0
Û bx + ay - ab = 0 (1)

B

b

A
a

O

Hình 7.3

x

7.5

Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0),
B(0; b) với ab ≠ 0 (H.7.3) có phương trình là :
x y
+ =1
a b
y

Do ab ≠ 0 nên ta chia cả hai vế của (1) cho ab, ta được:

bx ay ab
0
Û
+ =
ab ab ab ab
x y
Û + =1
a b

B

b

A
a

O

Hình 7.3

x