Toạ độ giao điểm của đường thẳng và là
nghiệm của hệ :
ìï a x + b y + c = 0
Vị trí tương đối
của 2 đường thẳng

1
1
ïí 1
(*)
ïïî a2 x + b2 y + c2 = 0

+

cắt
tại
tương đương hệ (*)
có nghiệm duy nhất
+ song song với tương đương hệ (*)
vô nghiệm
+
trùng với
tương đương hệ (*)
có vô số nghiệm
 Góc giữa hai đường thẳng có các vectơ
pháp tuyến và là

Góc và khoảng cách
giửa 2 đường thẳng

ur uu
r
n1.n2
ur uu
r
a1a2 + b1b2
cos j = cos( n1 ; n2 ) = ur uu
r = 2
a12 + b122 . a2222 + b222
n1 . n2

Khoảng cách từ đến đường thẳng

d (M , D) =

ax00 + by00 + c
a 22 + b 22

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

7.7

a ) D1 :3 2 x + 2 y b) d1 : x -

3 = 0 ; D 2 :6 x + 2 y -

6 =0

3 y + 2 = 0 ; d2 : 3x - 3 y + 2 = 0

c) m1 : x - 2 y +1 = 0 ; m2 :3x + y - 2 = 0
a) Đường thẳng ∆1 có vectơ pháp tuyến
Đường thẳng ∆2 có vectơ pháp tuyến

ur
r
2 uu
Ta có : n1 =
n2
2

nên và cùng phương

Mặt khác điểm vừa thuộc ∆1 vừa thuộc ∆2 nên hai đường thẳng ∆1 và
∆2 trùng nhau.

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

7.7

a ) D1 :3 2 x + 2 y b) d1 : x -

3 = 0 ; D 2 :6 x + 2 y -

6 =0

3 y + 2 = 0 ; d2 : 3x - 3 y + 2 = 0

c) m1 : x - 2 y +1 = 0 ; m2 :3x + y - 2 = 0
b) Đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến
Đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến

uu
r
ur
Ta có : n2 = 3.n1 nên và cùng phương
Mặt khác điểm thuộc d1 nhưng không thuộc d2 nên hai đường thẳng
d1 và d2 song song với nhau.

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

7.7

a ) D1 :3 2 x + 2 y b) d1 : x -

3 = 0 ; D 2 :6 x + 2 y -

6 =0

3 y + 2 = 0 ; d2 : 3x - 3 y + 2 = 0

c) m1 : x - 2 y +1 = 0 ; m2 :3x + y - 2 = 0
ìïï 3 x - 6 y + 3 = 0 (1)
Û í
ïïî 3 x + y - 2 = 0 (2)
5
Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1) ta được : 7 y - 5 = 0 Þ y =
7
5
3
Thay vào (1) ta được : 3 x - 6. + 3 = 0 Þ x =
7
7

c) Xét hệ phương trình ìïï x - 2 y +1 = 0
í
ïïî 3x + y - 2 = 0

æ3 5 ÷
ö
ç
Do đó hệ trên có nghiệm duy nhất çç ; ÷
è7 7 ÷
ø

æ3 5 ÷
ö
ç
Vậy hai đường thẳng m1 và m2 cắt nhau tại điểm có tọa độ ççè ; ÷
ø
7 7÷

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

7.8

a ) D1 : 3 x + y - 4 = 0 ; D 2 : x + 3 y + 3 = 0

ìïï x =- 1 + 2t
ìïï x = 3 + s
b) d1 :í
; d 2 :í
ïîï y = 3 + 4t
ïïî y = 1- 3s

a) Đường thẳng 1 có vectơ pháp tuyến
Đường thẳng 2 có vectơ pháp tuyến
Gọi là góc giữa 1 và 2 . Ta có :
ur uu
r
n1.n2
3.1 +1. 3
ur uu
r
3
cos j = cos( n1; n2 ) = ur uu
=
r =
2
n1 . n2
( 3) 2 +12 . 12 + ( 3 ) 2

Do đó , góc giữa hai đường thẳng và là

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

7.8

a ) D1 : 3 x + y - 4 = 0 ; D 2 : x + 3 y + 3 = 0

ìïï x =- 1 + 2t
ìïï x = 3 + s
b) d1 :í
; d 2 :í
ïîï y = 3 + 4t
ïïî y = 1- 3s

b) Đường thẳng 1 có vectơ chỉ phương
Đường thẳng 2 có vectơ chỉ phương

ur
Þ n1 = (4; - 2)
uu
r
Þ n2 = (3;1)

Gọi là góc giữa 1 và 2 . Ta có :
ur uu
r
n1.n2
ur uu
r
4.3 - 2.1
2
cos j = cos(n1 ; n2 ) = ur uu
=
r = 2
2
2
2
2
4 + (- 2) . 3 +1
n1 . n2

Do đó , góc giữa hai đường thẳng và là

7.9

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; – 2) và đường
thẳng ∆: x + y – 4 = 0.
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆.
b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và
song song với ∆.

a) Ta có khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là:
ax0 + by0 + c
1.0 +1.(- 2) - 4
d ( A, D ) =
=
=3 2
a2 +b2
122 +122
uur
b) Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là nD = (1;1)
uu
r uur
Do a // ∆, nên vectơ pháp tuyến của a là na = nD = (1;1)
Đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và có vtpt có phương trình
đường thẳng là :

Û x + y +1 = 0

7.9

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; – 2) và đường
thẳng ∆: x + y – 4 = 0.
c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và
vuông góc với ∆.

c) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là
Do b ⊥ ∆, nên vectơ pháp tuyến của b là
Đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và có vtpt là do đó phương trình
đường thẳng b là :

Û x - y +3 = 0

7.10

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3;
2) và C(– 2; – 1).
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
A

a) Độ dài đường cao chính là khoảng cách từ
điểm A đến đường thẳng BC.

uuu
r
Ta có : BC = (- 5; - 3)

B

r uuu
r
Chọn vtcp của đường thẳng BC là u = BC = (- 5; - 3)
r
Þ n = (3; - 5)

H

Đường thẳng BC đi qua điểm B(3; 2) và có vtpt có phương trình

3( x - 3) - 5( y - 2) = 0
3 x - 5 y +1 = 0

C

7.10

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3;
2) và C(– 2; – 1).
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
A

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.
3.1- 5.0 +1 2 34
d ( A, BC ) =
=
17
32 + 52

uuu
r
b) Ta có : BC = BC = (- 5) 2 + (- 3) 2 = 34
Diện tích tam giác ABC là:

1
1 2 34
S = h.BC = .
. 34 = 2
2
2 17

B

H

C

7.11
Ta có:

Chứng minh rằng hai đường thẳng
và vuông góc với nhau khi và chỉ khi .

có vectơ pháp tuyến
có vectơ pháp tuyến

Hai đường thẳng d và d' vuông góc với nhau khi

r ur
Û n.n ' = 0

Û a.a '+ (- 1).(- 1) = 0

Û a.a ' =- 1