Chào mừng thầy cô và các bạn học
sinh đến với bài giảng
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Người dạy: Nguyễn Thị Lan

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Phương trình tổng
quát của đường
thẳng

1

Phương trình
tham số của
đường thẳng

2

Luyện tập
4
3

Lập phương trình
đường thẳng

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
Một máy bay cất cánh từ sân bay theo một đường thẳng nghiêng với phương nằm ngang
một góc 20o, vận tốc cất cánh là 200 km/h. Hình 24 minh hoạ hình ảnh đường bay của máy
bay trên màn hình ra đa của bộ phận không lưu. Để xác định vị trí của máy bay tại những
thời điểm quan trọng (chẳng hạn: 30 s, 60 s, 90 s, 120 s), người ta phải lập phương trình
đường thẳng mô tả đường bay.

Làm thế nào để lập
phương trình đường
thẳng trong mặt
phẳng toạ độ?

I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
HĐ1 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng. Vẽ vectơ
( có giá song song (hoặc trùng) với đường thẳng
Kết luận:
Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng
nếu và giá của song song hoặc trùng với .
Nhận xét:
+ Nếu là một vectơ chỉ phương của thì k cũng là một vectơ chỉ
phương của .
+ Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và
một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

2. Phương trình tham số của đường thẳng
HĐ2 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng đi qua điểm ( )
và có vectơ chỉ phương = (a,;b). Xét điểm M(x;y) nằm trên
a) Nhận xét về phương của hai vectơ và
b) Chứng minh có số thực t sao cho =
c) Biểu diễn tọa độ của điểm M qua tọa độ của điểm và tọa độ của
vectơ chỉ phương .
a. Hai vectơ và cùng phương với nhau.
b. Xét điểm M(x; y) . Vì cùng phương với nên có số thực t sao
cho .
c. Do , nên
(I)

2. Phương trình tham số của đường thẳng
Kết luận:
Hệ (a2 + b2 > 0 và t là tham số) được gọi là phương trình
tham số của đường thẳng đi qua M0(x0; y0) và nhận làm
vectơ chỉ phương.

2. Phương trình tham số của đường thẳng
NHẬN

XÉT

Cho đường thẳng có phương trình tham số là:
(a2 + b2 > 0 và t là tham số)

+ Với mỗi giá trị cụ thể của t, ta xác định được một điểm trên đường thẳng .
Ngược lại, với mỗi điểm trên đường thẳng , ta xác định được một giá trị cụ thể
của t.
+ Vectơ là một vectơ chỉ phương của

a)

LUYỆN TẬP 1

Cho đường thẳng có phương trình tham số . Chỉ ra tọa độ của hai điểm thuộc
đường thẳng
b) Điểm nào trong các điểm C(-1;-1), D(1;3) thuộc đường thẳng ?
GIẢI
a. Gọi điểm M M(1 – 2t; -2 + t)
+ Chọn t = 1
+ Chọn t = 0
b. Thay điểm C(-1; -1) vào đường thẳng ta được:
t = 1 Vậy C(-1; -1)
Thay toạ độ điểm D(1; 3) vào đường thẳng ta được:
Vậy D(1; 3)

II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

HĐ3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng . Vẽ vectơ có giá
vuông góc với đường thẳng
Kết luận:
Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của
đường thẳng nếu và giá của vectơ
vuông góc với .
Nhận xét:
+ Nếu là một vectơ pháp tuyến của thì k (k0) cũng là một vectơ pháp tuyến
của đường thẳng đó.
+ Nếu đường thẳng có vectơ chỉ phương là thì vectơ là một vectơ pháp tuyến
của

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng
HĐ4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng đi qua điểm ( ) và có vectơ pháp
tuyến . Xét điểm M(x;y) nằm trên
a) Nhận xét về phương của hai vectơ và
b) Tìm mỗi liên hệ giữa tọa độ của điểm M với tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ
pháp tuyến
a. Phương của hai vectơ và vuông góc với nhau.
b. Ta có: = (x - ; y - ,
Xét điểm M(x; y) . Vì nên
Đặt c = a ta được phương trình ax + by + c = 0 (II).

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng
+ Với đường thẳng đã xác định, điểm M thuộc đường thẳng thì toạ độ điểm M thoả mãn
phương trình (II).
Ngược lại, nếu điểm M(x; y) trong mặt phẳng toạ độ thoả mãn phương trình (II) thì M(x;
y) .
Kết luận: Phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) được gọi là
phương trình tổng quát của đường thẳng
Nhận xét:
+ Đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
+ =0.
+ Mỗi phương trình (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng
trong mặt phẳng toạ độ nhận một vectơ pháp tuyến là .

Luyện tập 2
Cho đường thẳng có phương trình tổng quát là x – y + 1 = 0.
a) Chỉ ra tọa độ của một vectơ pháp tuyến và một vectơ chỉ phương của .
GIẢI

b) Chỉ ra tọa độ của hai điểm thuộc
a) Toạ độ của một vectơ pháp tuyến của là: .
Toạ độ vectơ chỉ phương của là: .
b) + Chọn x = 0, thay vào phương trình đường thẳng ta được: 1 – y + 1 = 0 .
Vậy điểm A(0; 1) thuộc đường thẳng .
+ Chọn x = 1, thay vào phương trình đường thẳng ta được: 0 – y + 1 = 0 .
Vậy điểm B(0; 1) thuộc đường thẳng

Nội dung

Yêu cầu cần đạt
(1)Nhận biết được phương trình tổng quát của
mặt phẳng.

Phương trình
mặt phẳng

(2)Thiết lập được phương trình tổng quát của
mặt phẳng trong hệ trục toạ độ Oxyz theo
một trong ba cách cơ bản: qua một điểm và
biết vectơ pháp tuyến; qua một điểm và biết
cặp vectơ chỉ phương (suy ra vectơ pháp
tuyến nhờ vào việc tìm vectơ vuông góc với
cặp vectơ chỉ phương); qua ba điểm không
thẳng hàng.

Nội dung

Phương trình
mặt phẳng

Yêu cầu cần đạt
(3) Thiết lập được điều kiện để hai mặt phẳng
song song, vuông góc với nhau.
(4) Tính được khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng bằng phương pháp toạ độ.
(5) Vận dụng được kiến thức về phương trình
mặt phẳng để giải một số bài toán liên quan
đến thực tiễn.

Nội dung

Phương trình
đường thẳng
trong không
gian

Yêu cầu cần đạt
(1)Nhận biết được phương trình chính tắc, phương
trình tham số, vectơ chỉ phương của đường thẳng
trong không gian.
(2)Thiết lập được phương trình của đường thẳng trong
hệ trục toạ độ theo một trong hai cách cơ bản: qua
một điểm và biết một vectơ chỉ phương, qua hai
điểm.
(3)Xác định được điều kiện để hai đường thẳng chéo
nhau, cắt nhau, song song hoặc vuông góc với nhau.

Nội dung

Phương trình
đường thẳng
trong không
gian

Yêu cầu cần đạt
(4) Thiết lập được công thức tính góc giữa hai
đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng,
giữa hai mặt phẳng.
(5) Vận dụng được kiến thức về phương trình
đường thẳng trong không gian để giải một số bài
toán liên quan đến thực tiễn.

Nội dung

Phương
trình
mặt cầu

Yêu cầu cần đạt
(1)Nhận biết được phương trình mặt cầu.
(2)Xác định được tâm, bán kính của mặt cầu khi
biết phương trình của nó.
(3)Thiết lập được phương trình của mặt cầu khi biết
tâm và bán kính.
(4)Vận dụng được kiến thức về phương trình mặt
cầu để giải một số bài toán liên quan đến thực
tiễn.

IV. HƯỚNG DẪN DẠY HỌC
01

Dạy học khái niệm hệ trục
toạ độ trong không gian

1. MỤC TIÊU
01

Nhận biết được hệ
trục toạ độ trong
không gian

02

Phân biệt được khái
niệm về hệ trục toạ
độ trong không gian
với hệ trục tọa độ
trong mặt phẳng

2. Hoạt động hình thành kiến thức mới
Bước 1: Gợi động cơ học tập:
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

- GV yêu cầu HS nhắc lại khái niệm về mặt - HS suy nghĩ trả lời câu
hỏi của GV.
phẳng tọa độ.
- GV đặt câu hỏi: Ta có thể xác định được
một điểm trên mặt phẳng toạ độ (trên mặt
phẳng tờ giấy), nhưng trong trường hợp có
điểm không nằm trên tờ giấy nữa, mà nằm
ngoài tờ giấy (trong không gian) thì liệu
chúng ta có xác định được điểm đó không?

Bước 2: Phát biểu định nghĩa:
- GV yêu cầu HS đọc khái niệm hệ toạ độ trong SGK trang 62.
 Hệ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc.
Ox: trục hoành
Oy: trục tung
Oz: trục cao
 (Oxy); (Oxz); (Oyz): các mặt phẳng toạ độ.
 Điểm O được gọi là gốc toạ độ.
 được gọi là vecto đơn vị nằm trên các trục Ox,
Oy, Oz và đôi một vuông góc
Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là
không gian Oxyz.

Bước 3: Đưa ra ví dụ minh hoạ:
GV đưa ra ví dụ, yêu cầu HS trả lời: Trong không gian Oxyz, cho một

?

điểm M. Hãy phân tích vecto theo ba vecto không đồng phẳng đã cho trên
z
các trục Ox, Oy, Oz.
z
M

HS suy nghĩ và đưa ra câu trả lời:
k
O

= 
K
x

i
x

H
y

j
E

y

3. HOẠT ĐỘNG CỦNG CỐ
3.1. Hoạt động ngôn ngữ:
- GV yêu cầu HS phát biểu khái niệm hệ toạ
độ trong không gian theo cách hiểu của mình.
- GV yêu cầu HS chỉ ra được đặc trưng so với
trong mặt phẳng toạ độ.

3.2. Hoạt động nhận dạng và thể hiện: GV đưa ra cho HS
bài tập
Bài tập: Trong các hệ trục toạ độ sau đây, đâu là hệ trục toạ độ
trong không gian?

02

Dạy học định lí:
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto
và được xác định bởi công thức:

I. MỤC TIÊU
Sau khi học xong định lí, HS đạt được yêu
cầu sau:
- Trình bày được định lí tích vô hướng của
hai vecto trong không gian.
-

Vận dụng được định lí tích vô hướng
của hai vecto trong không gian vào giải
bài tập.

II. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Bước 1: Gợi động cơ học
tập:

GV: Ở lớp 10, chúng ta đã được học về biểu thức toạ độ của tích
vô hướng trong mặt phẳng là
Vậy thì biểu thức toạ độ của tích vô hướng trong không gian có
tương tự như trong mặt phẳng không ?

Bước 2: Dự đoán và phát biểu định lí:
HS đưa ra dự đoán: Biểu thức toạ độ của tích vô hướng trong không gian có
tương tự như trong mặt phẳng, đó là:
Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto và được xác định
bởi công thức:

Bước 3: Chứng minh định lí:
GV yêu cầu và hướng dẫn HS tìm cách chứng minh , sau khi phân tích được
2 veco và theo 3 vecto đơn vị :

HS tiếp tục nhân với

Bước 3: Chứng minh định lí:
Người học sẽ hiểu được mình cần phải khai triển ra và tìm cách
triệt tiêu bằng cách vận dụng kiến thức đã được học từ phần
trước là:
và
Khi đó người học đã có thể giải được một cách dễ dàng.
GV: Như vậy thông qua các bước chứng minh trên, HS
hãy trả lời câu hỏi được đưa ra lúc đầu: Vậy thì biểu thức
toạ độ của tích vô hướng trong không gian có tương tự như
trong mặt phẳng không ?

III. HOẠT ĐỘNG CỦNG CỐ
1. Hoạt động ngôn ngữ:
- GV yêu cầu HS phát biểu lại định lí bằng kí hiệu Toán học.
2. Hoạt động nhận dạng và thể hiện:
- GV giao các bài tập liên quan đến biểu thức toạ độ của 2 vecto trong
không gian:
Bài 1: Với 2 vecto và , khi đó ta có công thức tính tích vô hướng như sau:
đúng hay sai?
Bài 2: Với hệ toạ độ Oxyz trong không gian, cho ; ; . Hãy tính

03

Dạy học giải bài tập:
“Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Một
đường thẳng đi qua A cắt BD' tại M và CB' tại N. Tính độ dài
đoạn thẳng MN.”

I. MỤC TIÊU
Giải được bài tập và vận dụng
giải được các bài tập tương
tự.

II. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Bước 1: Tìm hiểu đề bài:
- GV yêu cầu HS đọc đề, vẽ hình và tìm hiểu đề bài được giao.
GT

Hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có
cạnh bằng 1.
d đi qua A, d BD'= M , d CB'=N

KL

MN = ?

Bước 2: Xây dựng lời giải:
- GV yêu cầu HS suy nghĩ tìm lời giải cho bài tập và hướng dẫn, gợi ý cho HS
(nếu cần):
Muốn tính độ dài đoạn thẳng MN bằng phương pháp tọa độ, hãy chọn
một hệ tọa độ nào đó rồi từ giả thiết hãy tính tọa độ của các điểm M và
N. Nên chọn A làm gốc tọa độ để phép tính được đơn giản và hệ tọa độ
được chọn như trên hình vẽ. Để xác định tọa độ của M, N, trước hết
hãy tìm tọa độ của các điểm B, D', C, B', A rồi sử dụng giả thiết B, M,
D' thẳng hàng, C, N, B' thẳng hàng và A, M, N thẳng hàng.

Bước 3: Trình bày lời giải:
- HS đưa ra lời giải chi tiết cho bài toán như sau:
= = hay y2 = 1

Ta lần lượt có:
B( 0 , 1 , 0), D'(1 , 0 , 1), M(x1 , y1 , z1)
= (1 , -1 , 1), = (x1 , y1-1 , z1)

z2 = 1 - x 2

(3)

Đường thẳng MN đi qua gốc tọa độ A nên ta có:

Hai vecto , cộng tuyến nên
= = hay x1 = y1 - 1 = z1

(2)

(1)

= =
Từ các hệ thức (2), (3), (4) suy ra:

Tương tự:
C( 1 , 1 , 0), B'(0 , 1 , 1), N(x2 , y2 , z2)
CB = (-1 , 0 , 1), = (x2 -1 , y2 -1 , z2)

(4)

x1 = z1 = , y1 = , x2 = z2 =, y2 = 1
M, N
MN = =

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải:
GV yêu cầu HS làm bài tập sau:

Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh
bằng 5. Một đường thẳng đi qua A cắt BD' tại K và
CB' tại H. Tính độ dài đoạn thẳng KH.

04

Một số lưu ý

Cần làm cho học sinh thấy rằng những vấn đề nghiên cứu về mặt
phẳng trong không gian bằng phương pháp tọa độ: phương trình tổng
quát, vectơ pháp tuyến, cặp vecto chỉ phương, vị trí tương đối của hai
mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, góc giữa hai mặt
phẳng là những vấn đề tương tự như đã xét đối với đường thẳng trong
mặt phẳng. Việc dạy học hình học không gian bằng phương pháp tọa
độ ở lớp 12 cần liên hệ chặt chẽ với những kiến thức hình học phẳng
lớp 11.
Cần tập cho học sinh quen làm việc với những dạng xác
định khác nhau của những yếu tố hình học, cần luyện tập
để nhận biết được trong trường hợp nào cần dùng loại
phương trình nào, công thức nào.

Thông qua những bài toán cụ thể, cần luyện dần cho học
sinh nắm được quy trình giải một bài toán bằng phương
pháp tọa độ mà các khâu quan trọng là:
 Chọn hệ tọa độ thích hợp.
 Phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ tọa độ.
 Dùng các kiến thức về tọa độ để giải bài toán
 Phiên dịch kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ
hình học.
Cần tận dụng tốt tất cả các cơ hội có thể có được trong từng
bài tập để rèn luyện cho HS khả năng phiên dịch từ ngôn
ngữ hình học thông thường sang tọa độ và ngược lại.

Cần hướng HS lưu ý đến ứng dụng của phương pháp
tọa độ trong việc nghiên cứu các sự kiện hình học,
ứng dụng của tích vô hướng, tích có hướng của hai
vecto, biểu thức tọa độ của chúng và các điều kiện
cộng tuyến của hai vecto, điều kiện đồng phẳng của
ba vecto, biểu thị bằng những công thức tọa độ…từ
đó có thể vận dụng tốt khi sử dụng phương pháp tọa
độ để giải các bài toán hình học không gian.

Thank for
listening!!!