Phương trình tổng quát của đường thẳng
I.Vectơ pháp tuyến, Vectơ chỉ phương:
Vectơ khác , có giá vuông góc với đường thẳng
? gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ?
?
Vectơ khác , có giá song song hay trùng với đường thẳng ?, được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ?

Mỗi đường thẳng có bao nhiu VTPT, VTCP? Chúng liên hệ với nhau như thế nào?
Một đường thẳng có thể có vô số Vectơ
pháp tuyến, và Vevtơ chỉ phương [n=(m;n),a=(a;b)]

Nếu n, a lần lượt là VTPT&VTCP của đường thẳng
? thì k n, k a cũng là lượt là VTPT&VTCP của
đường thằng ?
Cho điểm I và vectơ n = 0. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua I và nhận n là VTPT.
Có duy nhất một và chỉ một đường thẳng đi qua I và nhận n là VTPT.
Nếu cho vectơ chỉ phương:

thì vevtơ pháp tuyến:



II. Phương trình tổng quát đường thẳng.
Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm I(xo;yo) và vectơ n = (A;B) 0. Gọi ? là đường thẳng đi qua I, có vectơ pháp tuyến là n. Tìm điều kiện của x và y để điểm M(x;y) nằm trên ?.

I
M
y
x
O
n
Điểm M nằm trên ? khi và chỉ khi IM n, hay:
IM . n = 0
Ta có :
IM = (x ? xo; y ? yo); n = (A;B)
=> A(x ? xo ) + B(y ? yo) = 0
? Ax ? Axo + By ? Byo = 0
? Ax + By + (? Axo ? Byo) =0 (1)
Đặc (? Axo ? Byo) = C, thế vào ph??ng trình (1)
Ta được:
? Ax + By + C = 0 (2)
Và (2) gọi là phương tình tổng quát của đường thẳng ?.
Tóm lại trong mặt phẳng mọi đường thẳng đều có ph??ng trình tổng quát dạng
Ax + By + C = 0, với
Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
y
x
y
x
y
x
O
O
O
?
?
?
a)
b)
c)
Đường thẳng By + C = 0 song song hoặc trùng với trục Ox (hình a).
Đường thẳng Ax + C = 0 song song hoặc trùng với trục Oy (hình b).
Đường thẳng Ax + By = 0 đi qua góc tọa độ (hình c).
Phương trình đường thẳng theo đọan chắn
y
x
O
A(a;0)
B(0;b)
?
Chứng tỏ rằng phương trình tổng quát của ? tương đương với ph??ng trình

VTCP a = AB (-a;b)=> n = (b;a)
Ph??ng trình tổng quát của ?: b(x ? 0) + a(y ? 0)= 0
? bx + ay = ab
?

?


Đường thẳng có ph??ng trình :


đi qua hai điểm A(a;0) và B(0;b).
Ph??ng trình (1) được gọi là phương trình đường thẳng theo đọan chắn
Ph??ng trình hệ số góc, tung độ góc.
Xét đường thẳng ? có ph??ng trình tổng quát ax + by + c = 0.
Nếu b 0 thì phương trình trên đưa về dạng
y = kx + m
với k= , m= . Khí đó k là hệ số góc của
đường thẳng ? và (2) gọi là phương trình cùa ? theo hệ số góc.
Mỗi đường thẳng sau đây có hệ số góc là bao nhiêu? Hã chỉ ra góc tương ứng với hệ số góc đó:
?1: 2x + 2y ? 1 = 0
?2: x ? y + 5 = 0
III. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ, cho 2 đường thẳng ?1, ?2 có phương trình
?1: a1x + b1y + c1 = 0
?2: a2x + b2y + c2 = 0
a) ?1, ?2 cắt nhau
a1 b1
a2 b2
?1, ?2 song song
a1 b1 b1 c1
a2 b2 và b2 c2

a1 b1 c1 a1
a2 b2 và c2 a2
?1, ?2 trùng nhau
a1 b1 b1 c1 c1 a1
a2 b2 b2 c2 c2 a2
?1, ?2 cắt nhau ?

?1 //?2 ?

?1 ?2 ?