Chương III: phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
§1: Ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®­êng th¼ng
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng:
a) Định nghĩa:
Vectơ khác , có giá vuông góc với
đường thẳng được gọi là vectơ pháp tuyến
của đường thẳng
b) Nhận xét:
- Mỗi đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.
Các vectơ pháp tuyến này dều khác và cùng phương.
- Có duy nhất 1 dường thẳng qua I và nhận là vectơ pháp tuyến
c) Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm và vectơ . Gọi là đường thẳng qua I và nhận là véctơ pháp tuyến. Tìm điều kiện của x và y để M(x;y) nằm trên
Giải:
M nằm trên khi và chỉ khi hay (*)
Ta có
nên (*) tương đương với

Đặt ta được phương trình

và được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng

O
y
x
I
M
Tóm lại
Ngược lại: Mỗi phương trình dạng

đều là phương trình tổng quát của một đường thẳng xác định có vectơ pháp tuyến là

Ví dụ 1:
a) là phương trình tổng quát của đường thẳng, có véctơ pháp tuyến là
b) là phương trình tổng quát của đường thẳng, có véctơ pháp tuyến là
c) là phương trình của đường thẳng khi và chỉ khi , có một vectơ pháp tuyến là
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có 3 đỉnh A(-1;-1), B(-1;3), C(2;-4). Viết phương trình tổng quát của đường cao AH
A
B
C
H
Giải:
Đường cao AH là đường thẳng qua A(-1;1) và có vectơ pháp tuyến là

Vậy phương trình tổng quát của đường cao AH là:
3(x+1)-7(y+1) hay 3x-7y-4=0
Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
y
x
y
x
y
x
O
O
O
Đường thẳng by + c= 0 song song
với trục Ox

Đường thẳng ax + c = 0 song song
với trục Oy
Đường thẳng
ax + by = 0
đi qua gốc tọa độ
Bài tập: Cho hai điểm A(a;0) và B(0;b) với
a) Viết PT tổng quát của đường thẳng d qua A và B
b) CMR PT tổng quát của d tương đương với phương trình
y
x
O
B(0;b)
A(a;0)
Giải:
a)Đường thẳng d có véctơ pháp tuyến vuông góc với
Ta có: Lấy thì
Hay là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng d .
Vậy d có phương trình tổng quát là
b(x - a) + a(y - 0) = 0 hay bx + ay - ab = 0
b) bx + ay - ab = 0 bx + ay = ab
do
Ghi nhớ:
Đường thẳng đi qua hai điểm A(a;0) và B(0;b) có phương trình



Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
Ví dụ: Viết PT tổng quát của đường thẳng đi qua A(-1;0) và B(0;2)
Bài làm
Phương trình của đường thẳng AB theo đoạn chắn là


Do đó dạng tổng quát sẽ là: 2x - y + 2 = 0

Chú ý: Xét đường thẳng có phương trình tổng quát là ax+by+c=0
Nếu thì PT trên đưa được về dạng y = kx + m (*)
với và k được gọi là hệ số góc của đường thẳng
(*) được gọi là PT của theo hệ số góc
ý nghĩa hình học của hệ số góc
O
y
x
M
t
k = tan
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng
có phương trình

Số giao điểm của 2 đường thẳng là số nghiệm của hệ gồm 2 PT trên
Trong trường hợp đều khác 0 ta có: