Phương trình đường thẳng
Nội dung
Bài tập ví dụ
Bài tập về nhà

Bài 1: Cho đường thẳng (dm): (m – 2) x + (m – 1)y + 2m – 1 = 0 và hai điểm A(2; 3); B (1; 0).
a) Chứng minh rằng (dm) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
b) Xác định m để (dm) cắt đoạn thẳng AB.
c) Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (dm) là lớn nhất.
Giải
a) Xét điểm M(x0; y0) và phương trình (với ẩn m):
(m – 2)x0 + (m – 1)y0 + 2m – 1 = 0
 (x0 + y0 + 2)m – 2x0 – y0 –1 = 0 (1)
M là điểm cố định mà họ đường thẳng (dm) đi qua
Bài 1(tt)
b) Đặt f(x; y) = (m – 2)x + (m – 1)y + 2m –1
(dm) cắt đoạn thẳng AB  A, B nằm ở 2 phía của đt (dm)



c) Dựng AH (dm). Ta có AH  AM với mọi m.
Vậy AH lớn nhất bằng AM  H  M hay AM  (dm)


Vậy với thì khoảng cách từ A đến (dm) là lớn nhất.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình các đường thẳng AB, BC lần lượt là x + 2y – 1 = 0 và 3x – y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng đường thẳng AC đi qua điểm M(1; –3).
Giải
Cách 1: Đường thẳng qua M song song với AB có dạng:
x + 2y + c = 0
Vì M(1; –3)  1 + 2. (–3) + c = 0  c = 5
Gọi N là giao điểm của đt x + 2y + 5 = 0 với BC
 N có tọa độ là nghiệm của hệ:

Bài 2 (tt) – Cách 1 (tt)
Bài 2 (tt) – Cách 1 (tt)
Bài 2 (tt) – Cách 2
Đường thẳng AB có véc tơ pháp tuyến , đường thẳng BC có véc tơ pháp tuyến . Đường thẳng AC qua M nên có pt:

Tam giác ABC cân tại đỉnh A nên ta có:






Trường hợp này bị loại vì khi đó đường thẳng AC song song với đường thẳng AB.

Bài 2 (tt) – Cách 3
Cách 3: Hệ số góc của đường thẳng AB là , hệ số góc của đường thẳng BC là k2 = 3 nhận thấy đường thẳng x = 1 không là đường thẳng AC. Gọi k là hệ số góc của đường thẳng AC. Khi đó ta có:
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxy cho hai đường thẳng có phương trình:(d1): 2x – y + 5 = 0; (d2): 3x + 6y – 1 = 0
Hãy lập phương trình đường thẳng đi qua P(2; –1) sao cho đường thẳng này cùng với hai đường thẳng (d1), (d2) tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao của (d1) và (d2).
Giải
Đường phân giác của các cặp góc tạo bởi (d1) và (d2) có pt:




Đường thẳng đi qua P(2; –1) cùng với hai đường thẳng (d1); (d2) tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao của (d1) và (d2) khi đường thẳng đó vuông góc với phân giác của góc tạo bởi (d1) và (d2).
Bài 3 (tt)
TH1: vuông góc với 3x – 9y + 16 = 0
 9x + 3y + c = 0 vì P(2; –1) thuộc đt này
 9.2 + 3.(–1) + c = 0  c = –15
Vậy một đường thẳng cần tìm là 3x + y – 5 = 0
TH2: vuông góc với 9x + 3y + 14 = 0
 nó có dạng: 3x – 9y + c = 0. Vì P(2; –1) thuộc đt này
 3. 2 – 9(–1) + c = 0  c = –15
Vậy x – 3y – 5 = 0 là đường thẳng cần tìm.
Ta có hai đường thẳng thỏa mãn điều kiện bài toán là:
3x + y – 5 = 0 và x – 3y – 5 = 0
Bài 4: Cho điểm A(1; 1). Tìm điểm B trên y = 3 và C trên trục hoành để tam giác ABC đều.
Giải
Cách 1:
Kẻ AH  y = 3. Dựng tam giác đều AHK
Khi đó HAB = KAC (vì AH = AK; AB = AC và

Vậy CK  AK từ đó suy ra cách xác định
điểm C và B của tam giác đều ABC.
Ta có A(1; 1)  H(1; 3)
Vì K nằm trên trung trực của AH  K thuộc đường thẳng y = 2
 K(x0; 2). Vậy AHK đều  AK = AH  AK2 = AH2

Bài 4 (tt)








Bài 4 (tt)





Vậy B là giao điểm của (d) và đường thẳng y = 3 có tọa độ
Bài 4 (tt)
Chú ý: Ta cũng có thể giải bài toán bằng cách gọi B(b; 3); C(c; 0)
từ AB = BC = CA. Ta có hệ:
Bài tập
1) Tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x – 3y – 1 = 0. Cạnh bên AB có phương trình x – y – 5 = 0 đường thẳng chứa cạnh AC đi qua M(– 4; 1). Tìm tọa độ đỉnh C.
2) Lập phương trình các cạnh của hình vuông có đỉnh A(– 4; 5) và một đường chéo có phương trình là 7x – y + 8 = 0.
3) Cho hai đường thẳng (d1): 2x – y + 1 = 0; (d2): x + 2y – 7 = 0. Lập pt đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ và tạo với (d1); (d2) tam giác cân có đỉnh là giao điểm A của (d1) và (d2). Tính diện tích tam giác đó.
4) Cho điểm A(3; 1). Tìm điểm B trên y = 5 và điểm C trên y = 2 sao cho tam giác ABC đều.