Phương trình đường thẳng
Nội dung
Bài tập ví dụ
Bài tập về nhà

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 3); B(–2; 1). Tìm điểm M trên đường thẳng x – y + 1 = 0 sao cho tổng các khoảng cách từ M đến các điểm A và B là nhỏ nhất.
Giải
Nhận thấy hai điểm A và B nằm cùng
một phía của nửa mặt phẳng bờ
là đường thẳng (d): x – y + 1 = 0
Gọi A’(x0; y0) là điểm đối xứng với A qua (d).
Bài 1 (tt)



Toạ độ giao điểm của A’B và đường thẳng (d) là nghiệm của hệ PT



Ta chứng tỏ rằng: thỏa mãn điều kiện bài toán.
Thật vậy xét điểm M’ bất kỳ thuộc (d). Do tính đối xứng ta có: M’A = M’A’
M’A + M’B = M’A’ + M’B  A’B = MA’ + MB = MA + MB. Vậy: là điểm cần tìm.
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2; 4); B(3; 1) và đường thẳng d: x + 2y – 2 = 0. Xác định M thuộc (d) sao cho MA – MB  lớn nhất.
Giải
Đặt f(x; y) = x + 2y – 2.
Thay tọa độ các điểm A(2; 4); B(3; 1) vào
f(x; y) ta có: (2 + 8 – 2)(3 + 2 – 2) = 24 > 0
 A; B nằm cùng phía của nửa mặt phẳng bờ là đt (d)
Gọi C = (AB)  (d)
Ta có MA – MB  AB = CA – CB 
Do đó MA – MB lớn nhất khi M  C
Bài 2 (tt)
Ta có đường thẳng AB có phương trình:


Tọa độ giao điểm C của AB là đường thẳng (d) là nghiệm của hệ pt:
Bài 3: Lập phương trình đường thẳng () đi qua Q(2; 3) và cắt các tia Ox, Oy tại hai điểm M; N khác điểm O sao cho OM + ON nhỏ nhất.
Giải
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng  có phương trình: 2x – y – 1 = 0 và E(1; 6); F(–3; –4). Tìm điểm M trên () sao cho có độ dài nhỏ nhất.
Giải
Đặt f(x; y) = 2x – y – 1
Ta có: f(xE; yE). f(xF; yF) = (2.1 – 6 – 1)(–2.3 + 4 – 1) = 15 > 0
Nên E; F nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ ()
Gọi I là trung điểm của EF  I(–1; 1)
Bài 4 (tt)
Bài 5: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm A( 0 ; 5); D(3; 0). Tìm điểm B trên y = 3 và điểm C trên y = 1 sao cho tổng AB + BC + CD có giá trị nhỏ nhất.
Giải
Ta có BC  2
 AB + BC + CD  AB + CD + 2
Do đó AB + BC + CD có giá trị
nhỏ nhất khi AB + CD ngắn nhất và BC = 2.
Ta lấy điểm A’(0; 3) khi BC = 2
 ABCA’ là hình bình hành.
 AB = A’C  AB + CD = A’C + CD  A’D
Bài 5 (tt)
Vậy AB + CD nhỏ nhất bằng A’D khi A’; C; D thẳng hàng mà D(3; 0); A’(0; 3)





 C(2; 1)
Vì CB  y = 3 (BC = 2)  B(2; 3)
Kết luận: 2 điểm cần tìm: B(2; 3); C(2; 1)
Bài tập:
1) Cho hai điểm P(1; 6); Q(– 3; – 4) và đường thẳng : 2x – y – 1 = 0
a. Tìm tọa độ điểm M trên  sao cho MP + MQ nhỏ nhất.
b. Tìm tọa độ điểm N trên  sao cho NP – NQ  lớn nhất.
2) Cho tam giác ABC có A(–2; 0); B(2; 5); C(3; –3) và đường thẳng
: x – 2y – 3 = 0.
a. Xét xem đường thẳng  cắt cạnh nào của tam giác.
b. Tìm điểm M trên  sao cho: nhỏ nhất.
3) Cho hai điểm A(1; 2); B(4; 3) và đường thẳng : x + y – 2 = 0. Tìm điểm M trên  sao cho góc lớn nhất.
4) Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng 2x + 3y = 0 cạnh bên AB nằm trên đường thẳng 5x – 12y = 0.
Viết phương trình đường thẳng AC biết nó đi qua điểm M(2; 6).