Người thực hiện: Nguyễn Khắc Sâm
Những hình ảnh về đường Elip trong khoa học và đời sống
1. ĐỊNH NGHĨA
Trong mặt phẳng cho 2 điểm cố định F1 , F2 với F1F2 = 2c > 0.
Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho MF1 + MF2 = 2a (a là hằng số lớn hơn c) được gọi là một elip.
M ? Elip ? MF1 + MF2 = 2a > 2c
�
�
?
F1
F2
M
2c
2c
�
�
M
M ? Elip ? MF1 + MF2 = 2a > 2c
F1
F2
�F1 và F2 được gọi là các tiêu điểm của elip.
�F1F2 = 2c được gọi là tiêu cự của elip.
�Nếu điểm M nằm trên elip thì các khoảng cách MF1 và MF2 được gọi là các bán kính qua tiêu điểm của điểm M.
2. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP
CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH
�
�
M1
F1
F2
M
?
?
?
?
M3
M2
�
�
�
�
�
x
y
O
�
M ? Elip ? MF1 + MF2 = 2a > 2c
2. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP
Giả sử đã cho elip (E) là tập hợp tất cả các điểm M sao cho MF1 + MF2 = 2a, trong đó F1F2 = 2c
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ :
M ? Elip(E) ? MF1+ MF2 = 2a
? (MF1+ MF2)2 - 4a2 = 0
(MF1-MF2)2- 4a2 ? 0
?
; MF12 + MF22
; MF12 - MF22
?MF1- MF2 ?? F1F2 =2c < 2a
? (MF1- MF2)2 < 4a2
? (MF1- MF2)2- 4a2 ? 0
PHƯƠNG ÁN :
?[(MF1+ MF2)2- 4a2][(MF1-MF2)2- 4a2 ] = 0
MF12 ; MF22
CÁC YẾU TỐ CẦN TÌM :
Cm:
x
y
F1
F2
O
-c
c
?
?
Ta có: F1(-c,0) ; F2(c,0)
Với mọi M(x,y) ta có
MF12 =
Suy ra: MF12 - MF22 =
MF12 + MF22 =
MF22 =
vì: ?MF1- MF2 ?? F1F2 = 2c < 2a
? (MF1- MF2)2 < 4a2
? (MF1- MF2)2- 4a2 ? 0
M
(x+c)2 + y2
(x-c)2 + y2
4cx
2(x2+y2+c2)
? (MF12- MF22)2- 8a2(MF12+ MF22)+16a4 = 0
4cx
2(x2+y2+c2)
.
? [(MF1+MF2)2- 4a2][(MF1-MF2)2- 4a2 ] = 0
? x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(a2 - c2)
Ta có: M(x,y) ? Elip(E) ? MF1+ MF2 = 2a
? (MF1+MF2)2 - 4a2 = 0
?
đặt: b2 = a2- c2 (b > 0)
Phương trình trở thành:
Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của Elip (E) đã cho. ( a, b, c > 0 và a2 = b2 + c2 )
(1)
Chú ý:
1)
Nếu M(x,y)?(E) có phương trình (1) thì MF1+ MF2 = 2a và MF12 - MF22 = 4cx
Do đó MF1 - MF2 =
Suy ra:
MF1 =
MF2 =
2)
Nếu chọn hệ trục tọa độ sao cho: F1(0,-c) ; F2(0,c)
( với a, b, c nói ở trên )
Phương trình trên không được gọi là phương trình chính tắc của elip.
thì Elip sẽ có phương trình:
TÓM TẮT
1) Định nghĩa:
M? Elip ? MF1 + MF2 = 2a (hằng số)
F1, F2 cố định : tiêu điểm
F1F2 = 2c : tiêu cự ;
a > c
2) Phương trình chính tắc (E) :
a , b , c > 0 ; a2 = b2 + c2
3) Nếu M(x,y)?(E):
MF1 =
; MF2 =
3. CÁC VÍ DỤ
1) Trong mpOxy cho (E):
Tìm tiêu cự của (E)
4
2
8
16
ĐS:
a)
b)
c)
d)
2)Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết nó có tiêu cự là 10 và đi qua điểm M(0,2)
ĐS:
a)
b)
c)
d)
3) Trong mp Oxy cho (E):
Cho điểm N thuộc (E) có yN =
Tính NF1 + NF2 với F1 , F2 là các tiêu điểm của (E)
ĐS:
2
6
3
8
a)
b)
c)
d)
EM ĐÃ CHỌN ĐÚNG !
EM ĐÃ CHỌN SAI !