Chào mừng các bạn đã tới bài học ngày hôm nay
§2: Phương trình lượng giác cơ bản
*Nội dung bài học:
- Phương trình sin x = a
- Phương trình côsin x = a
- Phương trình cot x = a
- Phương trình cot x = a

1. Phương trình sin x = a
* Xét phương trình sin x = a (1)
Trường hợp |a| > 1 (*)
Trường hợp |a| ≤ 1 (**)
→ Nhận xét:
- Với trường hợp (*) ta thấy phương trình (1) vô nghiệm do |sin x| ≤ 1 với mọi x.
- Với trường hợp (**), vẽ đường tròn như hình sau:
+ Trên trục sin lấy điểm K sao cho OK = a.
+ Từ K kẻ đường vuông góc với trục sin cắt đường tròn lượng giác tại M và M’.
→ Từ đó ta thấy số đo của các cung lượng giác AM và AM’ là tất cả các nghiệm của phương trình (1)
Gọi a là số đo bằng radian của một cung lượng giác AM. Vậy phương trình sin x = a có các nghiệm là:

x = a + k2ℼ, k ꞓ ℤ
x = ℼ - a + k2ℼ, k ꞓ ℤ
* Nếu số thực a thỏa mãn điều kiện -ℼ/2 ≤ a ≤ ℼ/2 và sin a = a thì ta viết a = arcsin a. Khi đó nghiệm của phương trình (1) là:

x = arcsin a + k2ℼ, k ꞓ ℤ
x = ℼ - arcsin a + k2ℼ, k ꞓ ℤ
2. Phương trình côsin x = a
* Xét phương trình côsin x = a (1)
Trường hợp |a| > 1 (*)
Trường hợp |a| ≤ 1 (**)
→ Nhận xét:
- Với trường hợp (*) ta thấy phương trình (1) vô nghiệm do |côsin x| ≤ 1 với mọi x.
- Với trường hợp (**), vẽ đường tròn như hình sau:
+ Trên trục côsin lấy điểm H sao cho OH = a.
+ Từ H kẻ đường vuông góc với trục sin cắt đường tròn lượng giác tại M và M’.
→ Từ đó ta thấy số đo của các cung lượng giác AM và AM’ là tất cả các nghiệm của phương trình (1)
Gọi a là số đo bằng radian của một cung lượng giác AM. Vậy phương trình sin x = a có các nghiệm là:

x = a + k2ℼ, k ꞓ ℤ
x = - a + k2ℼ, k ꞓ ℤ
* Nếu số thực a thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a ≤ ℼ và côsin a = a thì ta viết a = arccos a. Khi đó nghiệm của phương trình (1) là:

x = a + k2ℼ, k ꞓ ℤ
hoặc

x = arccos a + k2ℼ, k ꞓ ℤ
3. Phương trình cot x = a
* Điều kiện của phương trình là x ≠ ℼ/2 + kℼ ( k ꞓ ℤ)
- Căn cứ vào đồ thị hàm số như hình vẽ ta thấy với mỗi số a, đồ thị lại cắt đường thẳng y=a tại các điểm có hoành độ sai khác nhau 1 bội của ℼ.
- Hoành độ của mỗi giao điểm là 1 nghiệm của phương trình cot x = a.
Gọi x1 là hoành độ giao điểm thỏa mãn điều kiện
-ℼ/2 < x1 < ℼ/2.
→ Kí hiệu x1 = arccot a. Khi đó, nghiệm của phương trình cot x = a là:

x = arccot a + kℼ, k ꞓ ℤ
4. Phương trình cot x = a
* Điều kiện của phương trình là x ≠ kℼ ( k ꞓ ℤ)
- Căn cứ vào đồ thị hàm số như hình vẽ ta thấy với mỗi số a, đồ thị lại cắt đường thẳng y=a tại các điểm có hoành độ sai khác nhau 1 bội của ℼ.
- Hoành độ của mỗi giao điểm là 1 nghiệm của phương trình cot x = a.
Gọi x1 là hoành độ giao điểm thỏa mãn điều kiện
0< x1 < ℼ.
→ Kí hiệu x1 = arccot a. Khi đó, nghiệm của phương trình cot x = a là:

x = arccot a + kℼ, k ꞓ ℤ
Bài học kết thúc