Chương

1

PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

KHỞI ĐỘNG

Độ cao h (mét) của một quả bóng
gôn sau khi được đánh t giây được
cho bởi công thức
h = t(20 – 5t).
Khi h = 0 ta thu được phương trình nào?
t(20 – 5t) = 0

Có thể tính được thời gian bay của quả bóng từ khi được đánh đến
khi chạm đất không?

 Bài 1.
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN



1. Phương trình tích
Cho phương trình (x + 3)(2x – 5) = 0

(1)

5
a) Các giá trị x  3, x  có phải là nghiệm của phương trình không? Vì sao?
2
5
Thay x  3 vào phương trình (1) ta được: Thay x  vào phương trình (1) ta được:
2
5
5




( 3  3)  2.( 3)  5)  0 (đúng)
  3   2.  5  0 (đúng)
2
 2

5
Vậy x  3, x  là các nghiệm của phương trình (1).
2

1. Phương trình tích
Cho phương trình (x + 3)(2x – 5) = 0

(1)

5
b) Nếu số x0 khác – 3 và khác thì x0 có phải là nghiệm của phương trình (1)
2
không? Tại sao?
5
Khi x  thì 2 x  5  0
Khi x  3 thì  x  3 0
2
Suy ra  x  32 x  5  0
Suy ra  x  32 x  5  0
5
Vậy nếu số x0 khác – 3 và khác thì x0 không phải là nghiệm của phương trình (1)
2

1. Phương trình tích
Phương trình (x + 3)(2x – 5) = 0

(1)

 được gọi là phương trình tích.

1. Phương trình tích

CÁCH GIẢI
Muốn giải phương trình (a1x + b1)(a2x + b2) = 0, với a1 0 và a2 0 ta làm
như sau:
- Giải hai phương trình bậc nhất a1x + b1 = 0và a2x + b2 = 0.
- Lấy tất cả các nghiệm vừa giải được và kết luận.

1. Phương trình tích
*Ví dụ 1: Giải các phương trình:
a) 3x(x + 7) = 0
Giải
a) Ta có: 3x(x + 7) = 0
3x = 0 hoặc x + 7 = 0
x = 0 hoặc x = –7
Vậy phương trình đã cho có hai
nghiệm là x = 0 và x = –7.

b) (x – 5)(2x – 4) = 0
b) Ta có: (x – 5)(2x – 4) = 0
x – 5 = 0 hoặc 2x – 4 = 0
x = 5 hoặc x = 2
Vậy phương trình đã cho có hai
nghiệm là x = 5 và x = 2.

1. Phương trình tích
*Ví dụ 2: Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:
a) x2 + 7x = 0
b) (3x + 2) 2 – 4x2 = 0
Giải
a) Ta có: x2 + 7x = 0
x(x + 7) = 0
x = 0 hoặc x + 7 = 0
x = 0 hoặc x = –7

b) Ta có: 3x + 2)2 – 4x2 = 0
(3x + 2)2 – (2x)2 = 0
(3x + 2 + 2x)(3x + 2 – 2x) = 0
(5x + 2)(x + 2) = 0
5x + 2 = 0 hoặc x + 2 = 0
Vậy phương trình đã cho có
2 hoặc x = –2.
x 
hai nghiệm là x = 0 và x = –7.
5
Vậy phương trình đã cho có hai
2
nghiệm là x 
và x = – 2.
5

1. Phương trình tích
*Thực hành 1: Giải các phương trình:
a) (x – 7)(5x + 4) = 0
Giải
a) Ta có: (x – 7)(5x + 4) = 0
x – 7 = 0 hoặc 5x + 4 = 0
4
x = 7 hoặc x  5

Vậy phương trình đã cho có hai
4
nghiệm là x = 7 và x  5

2
b) 2 x  9  x 
3


5  0


2

2 x  9  x  5  0
3

2
2x + 9 = 0 hoặc x  5 0
3 15
9
x  hoặc x 
2
2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là:
9
15
x  và x 
2
2

b) Ta có:

1. Phương trình tích
*Thực hành 2: Giải các phương trình:
a) 2x(x + 6) + 5(x + 6) = 0
Giải

b) x(3x + 5) – 6x – 10 = 0

a) Ta có: 2x(x + 6) + 5(x + 6) = 0 b) Ta có: x(3x + 5) – 6x – 10 = 0
x(3x + 5) – 2(3x + 5) = 0
(x + 6)(2x + 5) = 0
(3x + 5)(x – 2) = 0
x + 6 = 0 hoặc 2x + 5 = 0
3x + 5 = 0 hoặc x – 2 = 0
5
5
x = –6 hoặc x  2
x  hoặc x = 2
3
Vậy phương trình đã cho có hai
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là:
5
5
x

nghiệm là x = –6 và
x 
và x = 2
2
3

VẬN DỤNG 1
Độ cao h (mét) của một quả bóng gôn sau khi được đánh t
giây được cho bởi công thức
h = t(20 – 5t).
Có thể tính được thời gian bay của quả bóng từ khi được đánh
đến khi chạm đất không?
Giải
Thay h = 0 vào công thức đã cho ta có phương trình:
t(20 – 5t) = 0
t = 0 hoặc 20 – 5t = 0
t = 0 hoặc t = 4
Do đó t = 0 giây là lúc quả bóng chưa được đánh lên cao, t = 4 giây là thời gian
quả bóng được đánh lên và sau đó chạm đất.
Vậy thời gian bay của quả bóng từ khi được đánh đến khi chạm đất là 4 giây.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất
1
Viết điều kiện xác định của phân thức:
x 2

Điều kiện xác định của phân thức là: x – 2 0 hay x 2.
1
1
 4
Xét phương trình 2 x 
x 2
x 2

(1)

- Phương trình (1) gọi là phương trình chứa ẩn ở mẫu.
- Phương trình (1) có ĐKXĐ là x – 2 0 hay x 2.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất
1
1
2 Xét phương trình 2 x  x  2  4  x  2

(1) và 2x – 4 = 0

(2)

a) Có thể biến đổi như thế nào để chuyển phương trình (1) về phương
trình (2)?
b) x = 2 có là nghiệm của phương trình (2) không? Tại Sao?
c) x = 2 có là nghiệm của phương trình (1) không? Tại sao?
Giải

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất
1
1
 4
2 Xét phương trình 2 x 
x 2
x 2
1
1
a) 2 x 
 4
x 2
x 2
1
1
2x 
 4
0
x 2
x 2
2 x  4 0

(1)

(1) và 2x – 4 = 0

Giải

b) Thay x = 2 vào phương trình (2), ta có:
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (2).

2 . 2 – 4 = 4 – 4 = 0.

1
c) Với x = 2 thì phân thức x  2 không xác định.

Vậy x = 2 không thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình (1).
Do đó x = 2 không là nghiệm của phương trình (1).

(2)

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất
ĐKXĐ
Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn để tất cả các
mẫu thức trong phương trình đều khác 0 gọi là điều kiện xác định của
phương trình.
Ví dụ: Tìm ĐKXĐ của mỗi phương trình sau:
2x  1
a)
1
x 3
Giải

 2x
1
b)

1
2x  5 4  x

a) ĐKXĐ của phương trình là x + 3 0 hay x –3
5
b) Ta có 2x + 5 0 khi x  2và 4 – x 0 khi x 4.
5
Vậy ĐKXĐ của phương trình là x  2 và x 4

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất
*Thực hành 3: Tìm ĐKXĐ của mỗi phương trình sau:
5
 14
a)

x 7 x  5

Giải

a) Điều kiện xác định là x –7 và x 5.
5
b) Điều kiện xác định là x  và x 4.
2

 2x
1
b)

1
2x  5 4  x

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất

x
1

+1
Cho
phương
trình
3
x  2 x 1
a) ĐKXĐ của phương trình đã cho là: x 2 và x –1.
x
1
b) Xét các phép biến đổi như sau:

+1
x  2 x 1
x
x2

(thực hiện phép tính ở vế phải)
x  2 x 1
x( x  1) ( x  2)( x  2)
(quy đồng mẫu ở hai vế)

x 2
x 1
x 2  x  x 2  4 (khử mẫu)
x  4 (trừ hai vế cho x2)
Hãy
giải
thích
cách
thực
hiện
mỗi
phép
biến
đổi
trên.
c) x = –4 thỏa mãn ĐKXĐb)
nên
x
=
–4
là
nghiệm
của
phương
trình
đã
cho.
c) x = –4 có là nghiệm
của phương
trình đãtrình
cho không?
a) Tìm ĐKXĐ
của phương
đã cho.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất
CÁCH GIẢI
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế, rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận đực.
Bước 4: Xét mỗi giá trị tìm được ở bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều
kiện xác định thì đó là nghiệm của phương trình đã cho

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất
*Ví dụ: Giải các phương trình:
x 3 x  2
a)

=2
x 3
x

3
2
2x  5
b)
+
=
x  2 x  1 ( x  2)( x  1)

a) ĐKXĐ: x 3 và x 0.
x 3 x  2

=2
Ta có:

Giải

x 3
x
( x  3) x ( x  2)( x  3) 2x(x-3)

=
x( x  3)
x( x  3)
x( x  3)
( x  3) x  ( x  2)( x  3) 2 x( x  3)

x 2  3x  x 2  2 x  3x  6 2 x 2  6 x
4 x  6
3
x
2 (TMĐK)
3
x 

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất
*Ví dụ: Giải các phương trình:
x 3 x  2
a)

=2
x 3
x

3
2
2x  5
b)
+
=
x  2 x  1 ( x  2)( x  1)

Giải

b) ĐKXĐ: x32 và x2 –1 2 x  5
Ta có: x  2 + x  1 = ( x  2)( x  1)
3( x  1)  2( x  2) 2 x  5
3 x  3  2 x  4 2 x  5
3 x  2 x  2 x 5  3  4
3 x 6
x 2 (không TMĐK)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất
*Thực hành 4: Giải các phương trình:
x 6 3
a)
 =2
x 5 2

2
3
3 x  20
b)

=
x  2 x  3 ( x  3)( x  2)

a) ĐKXĐ: x –5.
x 6 3
 =2
Ta có:

Giải

x 5 2
( x  6).2  3( x  5) 2.2.( x  5)
2 x  12  3 x  15 4 x  20

2 x  3x  4 x 20  12  15
x  7 (TMĐK)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = –7.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất
*Thực hành 4: Giải các phương trình:
x 6 3
a)
 =2
x 5 2

2
3
3 x  20
b)

=
x  2 x  3 ( x  3)( x  2)

b) ĐKXĐ: x 2 và x 3.
2
3

=
Ta có:

Giải

3x  20
x  2 x  3 ( x  3)( x  2)
2( x  3)  3( x  2) 3 x  20
2 x  6  3 x  6 3x  20
2 x  3x  3x  20
 4 x  20 (TMĐK)
x 5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 5.

VẬN DỤNG 2

Hai thành phố A và B cách nhau 120 km. Một ô tô di chuyển từ A đến B, rồi quay trở về A với
tổng thời gian đi và về là 4 giờ 24 phút. Tính tốc độ lúc đi của ô tô, biết tốc độ lúc về lớn hơn
tốc độ lúc đi 20%.
Giải
Gọi x (km/h) là tốc độ lúc đi của ô tô (x > 0).

Thời gian ô tô lúc đi là: 120 (giờ)
x
Vì tốc độ lúc về lớn hơn tốc độ lúc đi 20% nên tốc độ của ô tô lúc về là: 120%x = 1,2x (km/h).

120
(giờ)
Thời gian ô tô lúc về là:
1, 2x
Theo đề bài ta có phương trình: 120  120  22
x 1, 2 x 5
120 100 22


x
x
5
220 22

x
5
x 50 (TMĐK)

Vậy tốc độ của ô tô lúc đi là 50km/h.

LUYỆN TẬP

Giải các phương trình sau:
BÀI 1: a)5 x(2 x  3) 0
b) (2 x  5)(3 x  6) 0
2
 1

c)  x  1  x  3  0 d) (2,5t  7,5)(0, 2t  5) 0
3
 2

Giải
a) Ta có: 5x(2x – 3) = 0
b) Ta có: (2x – 5)(3x + 6) = 0
5x = 0 hoặc 2x – 3 = 0
2x – 5 = 0 hoặc 3x + 6 = 0
3
5
x

x = 0 hoặc
.2
x  hoặc x = –2.
2
5
x

Vậy phương trình đã cho có hai
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
và x = –2.
2
3
nghiệm x = 0 và x  2 .
2
 1

c) Ta có: x  1  x  3  0
3
 2

d) Ta có: (2,5t – 7,5)(0,2t + 5) = 0
2,5t – 7,5 = 0 hoặc 0,2t + 5 = 0
2
x  1 0 hoặc 1 x  3 0
t = 3 hoặc t = –25
3
2
3
hoặc x = –6
Vậy phương trình đã cho có hai
x
2
3
nghiệm t = 3 và t = –25
x

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
và x = –6.
.
2

BÀI 2:

Giải các phương trình sau:
a) 3x(x – 4) + 7(x – 4) = 0
c) x2 – x – (5x – 5) = 0

b) 5x(x + 6) – 2x – 12 = 0
d) (3x – 2)2 – (x + 6)2 = 0.

Giải
a) Ta có: 3x(x – 4) + 7(x – 4) = 0
b) Ta có: 5x(x + 6) – 2x – 12 = 0
(x – 4)(3x + 7) = 0
5x(x + 6) – 2(x + 6) = 0
x – 4 = 0 hoặc 3x + 7 = 0
(x + 6)(5x – 2) = 0
7
x = 4 hoặc x 
x + 6 = 0 hoặc 5x –22 = 0
3
x = –6 hoặc x  5
Vậy phương trình đã cho có hai
2
7
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = –6 và x  5
nghiệm x = 4 và x 
3
d) Ta có: (3x – 2)2 – (x + 6)2 = 0
c) Ta có: x2 – x – (5x – 5) = 0
(3x – 2 + x + 6)(3x – 2 – x – 6) = 0
x(x – 1) – 5(x – 1) = 0
(4x + 4)(2x – 8) = 0
(x – 1)(x – 5) = 0
4x + 4 = 0 hoặc 2x – 8 = 0
x – 1 = 0 hoặc x – 5 = 0
x = – 1 hoặc x = 4.
x = 1 hoặc x = 5.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = – 1 và x = 4.
Vậy phương trình đã cho có hai
nghiệm x = 1 và x = 5.

Giải các phương trình sau:
BÀI 3: x  5
2
3x  5 2
a)
+2=
b)
 3
x 3
x 3
x 1 x
x 3 x 2
x2 x 2
16
c)
+
=2
d)

 2
x 2 x 3
x 2 x2 x  4
Giải
a) ĐKXĐ: x 3.
b) ĐKXĐ: x 0 và x –1 .
3x  5 2
x 5
2
+2=
Ta có:
Ta có: x  1  x 3
x 3
x 3
(3 x  5) x  2( x  1) 3 x( x  1)
x  5  2( x  3) 2
3 x 2  5 x  2 x  2 3 x 2  3 x
x  5  2 x  6 2
4 x  2
3 x 3
1
x 1 (TMĐK)
x 
(TMĐK)
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
là

.

1
x 
2

Giải các phương trình sau:
BÀI 3: x  5
2
3x  5 2
a)
+2=
b)
 3
x 3
x 3
x 1 x
x 3 x 2
x2 x 2
16
c)
+
=2
d)

 2
x 2 x 3
x 2 x2 x  4
Giải
c) ĐKXĐ: x 2 và x 3.
d) ĐKXĐ: x 2 và x –2 .
x 3 x 2
x2 x 2
16
+
=2
Ta có:
Ta
có:

 2
x 2 x 3
x 2 x2 x  4
( x  3)( x  3)  ( x  2)( x  2) 2( x  2)( x  3)
( x  2)( x  2)  ( x  2)( x  2) 16
x 2  9  x 2  4 2( x 2  5 x  6)
x 2  4 x  4  x 2  4 x  4 16
2 x 2  13 2 x 2  10 x  12
10 x 25
5
x  (TMĐK)
2
5
x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
2

8 x 16
x 2 (không TMĐK)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

BÀI 4:

Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60 km. Sau 1 giờ 40 phút, trên cùng quãng
đường đó, một xe máy đi từ A đến B và đến B sớm hơn xe đạp 1 giờ. Tính vận tốc
của mỗi xe, biết rằng tốc độ của xe máy gấp 3 lần tốc độ của xe đạp.
Giải

Gọi x (km/h) là vận tốc của xe đạp (x > 0).
Vận tốc của xe máy là 3x (km/h).
Thời gian xe đạp đi từ A đến B là: 60 (giờ)

x
60 20
Thời gian xe máy đi từ A đến B là: 
(giờ)
3x x
Theo đề bài ta có phương trình: 60  20 1  5
x
x
3
40 8

x 3
40.3
x
15 (TMĐK)
8
Vậy vận tốc của xe đạp là 15km/h.

Vận tốc của xe máy là 45 km/h.

BÀI 5:

Một xí nghiệp dự định chia đều 12 600 000 đồng để thưởng cho các công nhân tham
gia hội thao nhân ngày thành lập xí nghiệp. Khi đến ngày hội thao chỉ có 80% số
công nhân tham gia, vì thế mỗi người tham gia hội thao được nhận thêm 105 000
đồng. Tính số công nhân dự định tham gia lúc đầu.
Giải

Gọi x là số công nhân dự định tham gia lúc đầu (x N*).
Thực tế, số công nhân tham gia hội thao là: 80%x = 0,8x (công nhân)
Dự định, mỗi công nhân được chia số tiền là: 12600000 (đồng)

x
Thực tế, mỗi công nhân được chia số tiền là 12600000 15750000 (đồng)
0,8x
x
Theo đề bài ta có phương trình: 15750000  12600000 105000
x
x
3150000
105000
x
x 3150000 :105000 30 (TMĐK)

Vậy số công nhân dự định tham gia lúc đầu là 30 (công nhân).

Hẹn gặp lại các
em ở tiết học sau!