Chương IV:

Giới hạn


a. giới hạn của dãy số

Bài 1

Dãy số có giới hạn 0
Kiểm tra bài cũ:
Em hãy nhắc lại định nghĩa về dãy số

Một hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số)
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0:
Hãy xác định các số hạng u1; u2, u3, u10, u11, u23, u24 của dãy số trên?
)
Hãy biểu diễn dãy số trên dưới dạng khai triển?
Biểu diễn các số hạng của dãy số (un) trên trục số ta thấy :
Khi n tăng dần thì khoảng cách từ điểm un đến điểm 0 thay đổi như thế nào ?
"Khi n tăng thì các điểm biểu diễn chụm lại quanh điểm 0", nghĩa là "khoảng cách |un| từ điểm un đến điểm 0 trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn".
Mọi số hạng của dãy số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn , kể từ số hạng thứ 24 trở đi.
Ta có bảng các giá trị tương ứng
Nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
một số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, kể từ một số hạng nào đó
trở đi. Ta nói: dãy số có giới hạn là 0
Với dãy số trên ta thấy, mọi số hạng của dãy số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn , kể từ số hạng thứ n+1 trở đi.
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0:
a) Định nghĩa
c) Nhận xét:
* Dãy số không đổi (un), với un = 0 có giới hạn 0.
Vì :
mà
2). Một số dãy số có giới hạn 0
a) Bài toán 1:
Cho hai dãy số (un) và (vn) nếu với mọi n
và lim vn = 0. Chứng minh rằng lim un = 0
b) Định lí 1:
Cho hai dãy số (un) và (vn) nếu
Giải:
= 0
Ta có
<
Nên theo định lí 1 ta có:
Giải:
Ta có
Với mọi n.

Nên theo định lí 1 ta có:
0.
=
0

d) Định lý 2: (Thừa nhận )
Nếu thì lim qn = 0

áp dụng: Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a)
b)
VD: Hãy điền vào chỗ trống để được mệnh đề đúng?
=
=
=
=
Giải:
0
Theo định lí 1 ta có:
0.
VD: Chứng minh rằng:

Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Đúng
Đúng
Sai
Sai
Bài học cần nắm được
1). Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
3) Định lí 1:
Bài tập về nhà: 2, 3, 4 trang 130 sgk



Bài 2: Chứng minh rằng hai dãy số (un ) và (vn ) với:


Có giới hạn 0
Bài 3: Chứng minh rằng các dãy số sau đều có giới hạn 0

Bài 4: Cho dãy số (un ) với

a) Chứng minh rằng với mọi n


b) Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng

với mọi n

c) Chứng minh rằng dãy số (un ) có giới hạn 0