Chào cả lớp!
Chào mừng các em
tới buổi học này.

KHỞI ĐỘNG
Có thể coi ba ngôi nhà của ba anh em trong một khu vườn là ba đỉnh
của một tam giác (không tù). Họ muốn khoan một giếng chung trong
vườn cách đều ba ngôi nhà (H9.36).
Em có thể giúp họ chọn địa điểm
để khoan giếng không?

CHƯƠNG IX. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ
TRONG MỘT TAM GIÁC
BÀI 35: SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC,
BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC

NỘI DUNG BÀI HỌC
1. Sự đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác
2. Sự đồng quy của ba đường cao trong một tam giác

1. Sự đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác
• Đường trung trực của tam giác

Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung
trực của tam giác. Trên hình 9.37, d là đường trung trực ứng với cạnh BC
của tam giác ABC.

?

Mỗi tam giác có mấy đường trung trực?
Trả lời:

Mỗi tam giác có 3 đường trung trực.

Thảo luận
nhóm đôi

• Sự đồng quy của ba đường trung trực
HĐ 1: Vẽ tam giác ABC ( không tù) và ba đường trung trực của các
đoạn BC, CA, AB. Quan sát hình và cho biết ba đường trung
trực đó có cùng đi qua một điểm hay không?
Trả lời:
Ba đường trung trực DP, DQ, DR
cùng cắt nhau tại điểm D.

HĐ 2:
Dùng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy lập luận để
suy ra tính chất nói ở HĐ1 bằng cách trả lời các câu hỏi sau:
Cho O là giao điểm các đường trung trực của hai cạnh BC và CA (H.9.38)
a) Tại sao OB = OC, OC = OA

b) Điểm O có nằm trên đường trung trực của
AB không?

Giải
a) Gọi M là giao điểm của BC với đường trung trực
của BC
OM là đường trung trực của BC, OM⊥ BC
Xét ∆OBM và ∆ OCM ta có:
MB = MC (M là trung điểm của CB)
= 90o ( Vì OM⊥ BC )
OM chung

 ∆OBM = ∆ OCM (c.g.c)
OB = OC (2 cạnh tương ứng)

Giải
Gọi N là giao điểm của AC với đường trung trực
của AC
ON là đường trung trực của AC, ON⊥ AC
CMTT, ta có ∆OAN = ∆ OCN OC = OA
b) Ta có:
OB = OC ; OA = OC (cmt) OB = OA
 O cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng AB.
O thuộc đường trung trực của AB (t/c đường trung trực của đoạn thẳng)

KẾT LUẬN
Định lí 1:
Vì giao điểm O của ba đường trung trực trong tam giác
ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó (OA = OB = OC) nên
có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C.

Ví dụ (SGK – tr78)

Các đường trung trực d, m, n đồng quy tại O
và OA = OB = OC.

NHẬN XÉT
Vì giao điểm O của ba đường trung trực
trong tam giác ABC cách đều ba đỉnh
của tam giác đó (OA = OB = OC) nên có
một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh
A, B, C. (H.9.40)

Ví dụ 1 (SGK – tr78)
Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường trung tuyến AI của tam giác ABC.
a) Chứng minh Al là đường trung trực của cạnh BC.
b) Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC có nằm trên Al không?
Giải
a)
ABC, AB = AC
GT

AI là đường trung tuyến

KL

AI là đường trung trực của cạnh BC.

Giải
Xét AIB và AIC có:
AB = AC (gt)
IB = IC (do AI là trung tuyến)

AIB = AIC (c.c.c)

cạnh AI chung

=

Mà + = 180o (2 góc kề bù) = = 90o
AI là trung trực của cạnh BC.
b) Theo câu a, do điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC nằm trên
đường trung trực của BC.
Điểm đó nằm trên trung tuyến AI

LUYỆN TẬP 1

Chứng minh rằng trong tam giác đều ABC,
trọng tâm G cách đều 3 đỉnh của tam giác đó.
Giải
G là trọng tâm của tam giác ABC
G là giao của 3 đường trung tuyến AN, CM, BP.
Xét ∆ ANB và ∆ ANC, có:
 AN chung
NB = NC (t/c đường trung tuyến)
AB= AC (vì ∆ ABC đều)

∆ ANB = ∆ ANC
(c.c.c)

Giải
  =  (2 góc tương ứng)
AN hay AG là đường phân giác của 
Tương tự BP hay BG là đường phân giác của 
G cách đều 3 cạnh AB, AC, BC mag G là trọng tâm
G là giao điểm của 3 đường trung trực
G cách đều 3 đỉnh A,B,C

VẬN DỤNG 1
Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu
Có thể coi ba ngôi nhà của ba anh em trong một khu vườn là ba đỉnh
của một tam giác (không tù). Họ muốn khoan một giếng chung trong
vườn cách đều ba ngôi nhà (H9.36).
Em có thể giúp họ chọn địa điểm
để khoan giếng không?

Kết quả:
- Ba ngôi nhà không thẳng hàng nên tạo thành 1 tam giác, ta gọi là
tam giác ABC.
- Điểm khoan giếng cách đều 3 ngôi nhà khi và chỉ khi điểm khoan
giếng là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC
Vậy, ta cần vẽ 2 đường trung trực của tam giác ABC, chúng cắt
nhau tại đâu thì đó là điểm cần khoan giếng.

Thử thách nhỏ.
Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn
thẳng, hãy giải thích nếu điểm Q cách đều ba
đỉnh của tam giác ABC thì Q phải là giao điểm
ba đường trung trực của tam giác ABC.
Kết quả:
- Vì Q cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC nên GA= GB = GC
- Vì QA = QB nên Q nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB
(tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Kết quả:
- Vì QA = QC nên Q nằm trên đường trung trực
của đoạn thẳng AC (tính chất đường trung trực
của đoạn thẳng).
- Vì QB = QC nên Q nằm trên đường trung trực
của đoạn thẳng BC (tính chất đường trung trực
của đoạn thẳng).
Vậy Q là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC.

2. Sự đồng quy của ba đường cao trong một tam giác
• Đường cao của tam giác

Trong hình 9.42, đoạn thẳng AI kẻ từ đỉnh A, vuông góc với cạnh đối diện BC là một
đường cao của tam giác ABC. Ta còn nói AI là đường cao xuất phát từ đỉnh A (hay
đường cao ứng với cạnh BC).

?

Mỗi tam giác có mấy đường cao?
Trả lời:

Mỗi tam giác có 3 đường cao.

(Vì từ mỗi đỉnh của tam giác, ta kẻ được 1 đường cao của tam giác nên mỗi
tam giác có 3 đường cao).

Thảo luận
nhóm đôi

• Sự đồng quy của ba đường cao
HĐ 3: Vẽ tam giác ABC và ba đường cao của nó. Quan sát hình và cho biết,
ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm không.
Trả lời:
Ba đường cao AN, BP, CM cùng đi
qua điểm H.

KẾT LUẬN
Định lí 2:
Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm.

Các đường cao AI, BJ, CK
đồng quy tại H.

CHÚ Ý
a) Điểm đồng quy của ba đường cao của một tam giác gọi là trực tâm của tam
giác đó.
b) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC (H.9.44), ta có:
- Khi ABC là tam giác nhọn thì H nằm bên trong tam giác.

CHÚ Ý
- Khi ABC là tam giác vuông tại A thì H trùng với A (kí hiệu là H A)

-

Khi ABC là tam giác tù thì H nằm bên ngoài tam giác.

Ví dụ 2 (SGK – tr80)
Chứng minh trong tam giác đều, trực tâm của nó cách đều ba đỉnh của tam giác
Giải

ABC, AB = AC
GT

AI là đường trung tuyến

KL

AI là đường trung trực của cạnh BC.

Giải
Trong tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao Al.
Xét tam giác vuông ABI và ACI có:
AI chung

ABI = ACI

AB = AC (gt)

(cạnh huyền - cạnh góc vuông).
BI = CI.

Vậy đường cao AI là đường trung trực của cạnh BC.
Vì tam giác đều cũng là tam giác cân tại mỗi đỉnh nên ba đường cao cũng là
ba đường trung trực của nó.
Vậy trực tâm H của tam giác đều cũng là giao điểm của ba đường trung trực
nên nó cách đều ba đỉnh của tam giác.

LUYỆN TẬP 2
a) Chứng minh trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là
đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó
Giải
Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng BC,
cắt BC tại D
Vì ∆ ABC cân (gt) ⇒ AB = AC (t/c tam giác cân)
⇒ A thuộc đường trung trực của cạnh BC (t/c)

Giải
⇒ AD là đường trung trực của BC.
Xét ∆ ADB và ∆ ADC, có:
AB = AC (t/c tam giác cân)
DB = DC (tính chất đường trung trực)
AD chung
∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c)
  (2 góc tương ứng)

Giải
Mà  +  = 180o
  = = 90o
AD vuông góc với BC
AD là đường cao.
(*) AD là đường phân giác của tam giác ABC.
Vậy tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường
cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó.

LUYỆN TẬP 2
b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều
ba cạnh của tam giác.
Giải
Giả sử G là điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác
ABC đều GA = GB = GC
Ta cần chứng minh: GM = GN = GP
(GM, GN, GP là khoảng cách từ G đến AB, BC, AC)

Giải
Xét ∆AGB và ∆ AGC, có:
AG chung
GB = GC (gt)
AB= AC (t/c tam giác đều)

 ∆AGB = ∆AGC
(c.c.c)

  = 
AG là đường phân giác của 
Tương tự ta có: CG là đường phân giác của 
G là giao điểm của 2 đường phân giác AG và CG
G cách đều 3 cạnh AB, AC, BC (t/c sự đồng quy của 3 đường phân giác)

CHÚ Ý
Trong tam giác cân tại A, đường cao xuất
phát từ đỉnh A đồng thời là đường trung
trực, đường phân giác, đường trung tuyến
của tam giác đó.

LUYỆN TẬP

Bài 9.26 (Tr81) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông.
Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HCA, HAB
Giải
Xét ΔABC có: H là trực tâm của Δ (gt)
AH ⊥ BC tại N, BH ⊥ AC tại P, CH ⊥ AB tại M
Trong ΔAHB, ta có:
       AC ⊥ BH tại P
       BC ⊥ AH tại N
Mà AC BC tại C

C là trực tâm của Δ AHB (t/c
trực tâm)

Giải
Trong ΔHAC, ta có:
       AB ⊥ CH tại M
       CB ⊥ AH tại N

B là trực tâm của ΔHAC

Mà AB CB tại B
Trong ΔHBC, ta có:
       BA ⊥ HC tại M
       CA ⊥ BH tại P
Mà BA CA tại A

A là trực tâm của ΔHBC

LUYỆN TẬP

Bài 9.27 (Tr81) Cho tam giác ABC có  = 100° và trực tâm H. Tìm góc BHC
Giải
Gọi E là chân đường cao từ C xuống AB,
D là chân đường cao từ B xuống AC
HC ⊥ BE tại E, HB ⊥ CD tại D
Ta có  +  = 180° (2 góc kề bù)
100° +  = 180°
 = 80°

Giải
∆ADB là tam giác vuông tại D
 +  = 90°
 =  90°-  80° =  10°
 = 10°
∆BEH là tam giác vuông tại E
 +   = 90°
 =  90°-  10° =  80°
  = 80°

Bài 9.28 (Tr81)

LUYỆN TẬP

Xét điểm O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu O
nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông
Giải
O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC
O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam
giác ABC
OA = OB = OC

Giải
 ∆OAB cân tại O    = 
      ∆OAC cân tại O  = 
Xét ∆ OAB ta có:  +  + =  180°
                        2  + =  180°
                      =  180° -  2 
Tương tự ta có  =  180° -  2 

Giải
O thuộc BC   + =  180°
                   180° -  2  + 180° -  2  = 180°
                  360° - 180° = 2 +  2  
                    

180° 

                    = 90°  
∆ ABC vuông tại A

=   2 ( +    )

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1

Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực trong
∆ABC. Khi đó O là:
A. Điểm cách đều ba cạnh của ∆ABC
B. Điểm cách đều ba đỉnh của ∆ABC
C. Trọng tâm của ∆ABC

Đáp án

Hết1
23456789giờ

D. Tất cả đáp án đều sai.
10s

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 2

Cho ΔABC, hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H.
Em chọn phát biểu đúng:
A. H là trọng tâm của ΔABC
B. H là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC
C. CH là đường cao của ΔABC

Hết1
23456789giờ
D. CH là đường trung trực của ΔABC
Đáp án
10s

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 3

Cho tam giác ABC có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm
E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và
AC tại O. Chọn câu đúng:

Đáp án

A. =

B. =

C. =

D. =
Hết1
23456789giờ

10s

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 4

Cho ΔABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối
của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của
tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chọn câu đúng

Đáp án

A. AI > AK

B. AI < AK

C. AI = 2AK

D. AI = AK
Hết1
23456789giờ

10s

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 5

Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC
tại H. Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = AH.
Kẻ KD⊥AC(D∈BC). Chọn câu đúng
A. AHD=AKD
B. AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK
C. AD là tia phân giác của góc HAK
D. Cả A, B, C đều đúng

Đáp án

Hết1
23456789giờ

10s

Bài 9.29 (Tr81)

VẬN DỤNG

a) Có một chi tiết máy (đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy. (H.9.46). Làm thế
nào để xác định được bán kính của đường viền này?
b) Trên bản đồ, ba khu dân cư được quy hoạch tại điểm A, B, C không thẳng hàng.
Hãy tìm trên bản đồ một điểm M cách đều A, B, C để quy hoạch một trường học

Giải
a) Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài chi tiết máy.
Vẽ đường trung trực cạnh AB và cạnh BC. Hai đường trung trực này cắt nhau
tại O. Khi đó O là tâm cần xác định.
Bán kính đường tròn cần tìm là độ dài đoạn OB (hoặc OA hoặc OC).
Ta có hình vẽ minh họa:

Giải
b)
Vẽ đường trung trực của các đoạn AB, AC, BC
3 đường trung trực này cắt nhau tại M. Khi đó MA = MB = MC
M là điểm cần xác định
Ta có hình minh họa: