MÔN:TOÁN 7

KHỞI ĐỘNG
Tìm đa thức P sao cho A = B.P, trong đó:
A = 2x4 - 3x3 - 3x2 + 6x - 2
và B = x2 - 2

Nếu A và B là hai số thì ta làm thế nào?

Mình nghĩ mãi mà
chưa giải được bài
toán này. Vuông có
cách nào giải
không?

Ừ nhỉ! Nếu A và B
là hai số thì chỉ
việc lấy A chia cho
B là xong nhưng A
và B lại là hai đa
thức.

Cũng thế thôi
các em ạ.Trước
hết các em phải
tìm hiểu cách
chia hai đa
thức.

TIẾT 51-BÀI 28

(TIẾT 1)

NỘI DUNG BÀI HỌC
01.
02.
03.

Làm quen với phép chia đa thức
Chia đa thức cho đa thức, trường hợp
chia hết
Chia đa thức cho đa thức, trường hợp
chia có dư

1. Làm quen với phép chia đa thức
Phép chia hết
1. Xét hai đơn thức 6x4 và -2x3 , ta thấy 6x4 = (-2x3) .(-3x). Từ
đó, tương tự như đối với các số, ta cũng có thể viết:
6x4 : (-2x3) hay = - 3x
Đây là một phép chia hết.

2. Một cách tổng quát, cho hai đa thức A và B với B0.
Nếu có một đa thức Q sao cho A = B.Q thì ta có phép chia
hết:
A : B = Q hay , trong đó:
• A là đa thức bị chia
• B là đa thức chia

Có nghĩa B không
phải là đa thức không.

• Q là đa thức thương (thương)
Khi đó ta còn nói đa thức A chia hết cho đa thức B.

3. Để thực hiện phép chia 6x4 cho (-2x3) ta làm như sau:
• Chia hai hệ số: 6 : (2) = -3
• Chia hai luỹ thừa của biến: x4: x3 = x
• Nhân hai kết quả trên, ta tìm được thương là -3x.
Đây là phép
hai lũy
thừa
cùng cơ số.
Em chia
có nhận
xét gì
về cách
chia 6x4 cho -2x3?
Khi nào thì anx chia hết cho bxm?
Em hãy nhắc lại quy tắc chia hai lũy thừa
cùng cơ số.
HĐ1 Tìm thương của mỗi phép chia hết sau:
a) 12x3 : 4x = 3x2
b) (-2x4) : x4 = -2
3
5
5 = x
c) 2x : 5x

HĐ2 Giả sử x ≠ 0. Hãy cho biết:

a.Với điều kiện nào (của hai
số mũ) thì thương hai luỹ
thừa của x cũng là một luỹ
thừa của x với số mũ
nguyên dương?

Theo em, kết quả
của phép chia x2
cho x3 là gì?

Khi số mũ của số bị
chia lớn hơn số mũ
của số chia.

b.Thương hai luỹ thừa của x cùng
xn : x n = 1
bậc bằng bao nhiêu?
KẾT LUẬN
Cho hai đơn thức axm và bxn (m,n; a, b và b 0). Khi đó
nếu m n thì phép chia.

Ta có: axm : bxn = . xm - n (quy ước: x0 = 1).

Luyện tập 1
a. 3x7 : x4

Thực hiện các phép chia sau:
= (3 : ) x7 - 4 = 6x3

b. (-2x) : x

1-1
=
(-2)
x
=
-2
c. 0,25x5 : (-5x2) = 0,25 : (-5)x5 - 2 = - x3

LUYỆN TẬP

Bài 7.31 (SGK-tr43). Thực hiện các phép chia đa thức sau:
a. (-5x3 + 15x2 + 18x) : (-5x)
= (-5x3) : (-5x) + 15x2 : (-5x) + 18x : (-5x)
= x2 - 3x b. (-2x5 – 4x3 + 3x2) : 2x2
= (-2x5 : 2x2) + (-4x3 : 2x2) + (3x3 : 2x2)
= -x3 – 2x +

TIẾT 55-BÀI 28

(TIẾT 2)

2.Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia hết
Cách đặt tính
chia
Để chia đa thức A = 2x4 – 13x3 + 15x2 + 11x –
3 cho đa thức B = x2 – 4x − 3, ta làm như sau:
Bước 1. Đặt tính chia tương tự chia hai số tự nhiên.
Lấy hạng tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử
bậc cao nhất của B:
2x4 : x² = 2x²
Bước 2. Lấy A trừ đi tích B.(2x2), ta được dư thứ nhất là -5x3
+ 21x2 + 11x – 3:

x2 - 4x - 3
2x4 -13x3 + 15x2 + 11x - 3
B.(2x2) 2x4 - 8x3 - 6x2
2
4
2
2
2x
2x
:
x
=
2x
3
2
5x
+
21x
+ 11x - 3
2
A – B .(2x )
(Dư thứ nhất)
Bước 3. Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia
cho hạng tử bậc cao nhất của B:
(-5x3) : x2= -5x
Bước 4. Lấy A trừ đi tích B.(2x2), ta được dư thứ nhất là 5x3 + 21x2 + 11x – 3:
2
x
- 4x - 3
4
3
2
2x -13x + 15x + 11x - 3
2x4 - 8x3 - 6x2
2x2 - 5x -5x3 : x2 = -5x
B .(-5x) -5x3 + 21x2 + 11x - 3
3
2
(Dư thứ -5x + 20x + 15x
x2 - 4x - 3
nhất) –
B .(-5x)

Bước 5. Làm tương tự như trên, ta được:
2x4 -13x3 + 15x2 + 11x - 3
2x4 - 8x3 - 6x2
-

-5x3 + 21x2 + 11x - 3
-5x3 + 20x2 + 15x

x2 - 4x - 3
2x2 - 5x + 1

2
x
- 4x - 3
Ta được thương là đa
2
x - 4x - 3
thức 2x2 - 5x + 1
0
Kiểm tra lại rằng ta có phép chia hết A:B = 2x2 - 5x + 1,
nghĩa là xảy ra: A = B . (2x2 – 5x + 1)

Khi chia đa thức cho một đơn thức thì ta có thể
Chú ý không cần đặt tính chia:
VD: (-6x5 + 7x4 - 6x3) : 3x3
= (-6x5 : 3x3) + (7x4 : 3x3) + (-6x3 : 3x3)
= -2x2 + x - 2
Luyện tập 2 Thực hiện phép chia:

a) (-x6 + 5x4 - 2x3) : 0,5x2
b) (9x2 - 4) : (3x + 2)
Giải a. (-x6 + 5x4 - 2x3) : 0,5x2
= (-x6 : 0,5x2) + (5x4 : 0,5x2) + (-2x3 : 0,5x2)
= -2x4 + 10x2 - 4x
b. (9x2 - 4) : (3x + 2)

Nếu khuyết hạng tử bậc k
3x + 2
9x2
-4
trong đa thức bị chia thì viết
3x2 + 6x
3x - 2
thêm 0 (hay để trống) ở vị trí
- 6x - 4
khuyết đó cho dễ làm.
- 6x - 4
0
 
Vận dụng Em hãy giải bài toán trong tình
huống mở đầu
Giải
2x4 - 3x3 - 3x2 + 6x - 2
2x4
- 4x2
-3x3 + x2 + 6x – 2
-3x3
+ 6x
x2
- 2
x2
- 2
0

x2 - 2
2x2 - 3x + 1
Ghi nhớ: Để có A = BP, ta
cần tìm P = A : B.

Bài 7.32 (SGK-tr43). Thực hiện các phép chia đa thức sau
bằng cách đặt tính chia:
a. (6x3 – 2x2 – 9x + 3) : (3x – 1);
b. (4x4 + 14x3 – 21x – 9) : (2x2 – 3)
Giải
6x3 – 2x2 – 9x + 3
6x3 - 2x2  
- 9x + 3
- 9x + 3
0

3x – 1
2x2 - 3

4x4 + 14x3 - 21x - 9
4x4
- 6x2
14x + 6x -21x - 9
14x3
+ 21x
3

2

6x2
6x2

2x2 – 3
2x2 + 7x + 3

–9
–9

0
Bài 7.33 (SGK-tr43). Thực hiện phép chia (0,5x5 + 3,2x3 –
2x2) cho 0,25xn trong mỗi trường hợp sau:
a) n = 2
b) n = 3
Giải

a) n = 2
(0,5x5 + 3,2x3 – 2x2) : 0,25x2
= (0,5x5 : 0,25x2) + (3,2x3 : 0,25x2) + (–2x2 : 0,25x2)
= 2x3 + 12,8x - 8
b) n = 3
(0,5x5 + 3,2x3 – 2x2) : 0,25x3
= (0,5x5 : 0,25x3) + (3,2x3 : 0,25x3) + (–2x2 : 0,25x3)
= 2x2 + 12,8 -

TIẾT 56

BÀI 28

(TIẾT 3)

3.Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia có dư
Phép chia có
Quan sát phép chia đa thức sau:
dư

5x3 - 3x2 - x + 7

x2 + 1

 5x

5x - 3

+ 5x

3

 

Dư thứ nhất -3x2 - 6x + 7
 -3x2

Dư thứ hai

-3
- 6x + 10

 

Hãy mô tả lại các
bước đã thực hiện
trong phép chia đa
thức D cho đa thức
E.

Bước 1. Đặt tính chia tương tự chia hai số tự nhiên. Lấy hạng
tử bậc cao nhất của D chia cho hạng tử bậc cao nhất của E:
5x3 : x² = 5x.
Bước 2. Lấy D trừ đi tích E.(5x), ta được dư thứ nhất là -3x2
- 6x + 7:

E .(5x)
D – E .(5x)

-

5x3 - 3x2 - x + 7

x2 + 1

5x3

5x 5x3 : x2 = 5x

+ 5x

- 3x2 - 6x + 7
(Dư thứ nhất)

Bước 3. Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho
hạng tử bậc cao nhất của E:
(-5x3) : x2 = -5x
Bước 4. Lấy dư thứ nhất trừ đi đi tích E. (-3) ta được dư thứ
hai là dư cuối (-6x + 10):
-

E .(-3)
D – E .(-3)

5x3 - 3x2 - x + 7
5x3
+ 5x
- 3x2 - 6x + 7
- 3x2
-3
- 6x + 10

x2 + 1
5x - 3
-3x2 : x2 = -3
Dư thứ hai

5x3 - 3x2 - x + 7
3
5x
+ 5x
 
 
-3x2 - 6x + 7
-3x2
-3
 

x2 + 1
5x - 3
 

Đặt G = -6x + 10

- 6x + 10
-Dư cuối cùng có bậc nhỏ hơn đa thức chia nên quá trình
chia kết thúc.
-Ta được thương là đa thức 5x – 3 và đa thức dư là -6x + 10.
HĐ5
Hãy kiểm tra lại đẳng thức: D = E - (5x - 3) + G.
Phép chia đa thức D cho đa thức E trong trường hợp này
được gọi là phép chia có dư với đa thức thương là 5x – 3 và
đa thức dư là G.

Giải
E.(5x − 3) + G
= (x2 + 1)(5x – 3) + (−6x + 10)
= 5x3 – 3x2 – x + 7
= D (Đúng)
KẾT LUẬN
Khi chia đa thức A cho đa thức B:
-Đa thức dư R phải bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của B.
-Nếu thương là đa thức Q, dư là R thì ta có đẳng thức
A = B.Q + R

Luyện tập 3
Tìm dư R và thương Q trong phép chia đa thức A = 3x4 - 6x
-5 cho đa thức B = x2 + 3x – 1 rồi viết A dưới dạng A = B.
Q + R.
3x4
- 6x - 5
x2 + 3x – 1
Giải
3x4 + 9x3 - 3x2
2
3x
- 9x + 30
3
2
-9x + 3x - 6x - 5
-9x3 - 27x2 + 9x
30x2 - 15x - 5
30x2 + 90x - 30
-105x

+ 25

Vậy x2 + 3x -1= (x2 + 3x - 1).(3x2 - 9x + 30) + (-105x + 25)

Thử thách nhỏ

Ta có

x3 - 3x2 + x – 1 = (x2 - 3x).x + (x - 1)
Đa thức x – 1 là dư vì nó có bậc nhỏ hơn bậc của đa
thức chia.

Bài 7.34 (SGK-tr43). Trong mỗi trường hợp sau đây, tìm
thương Q(x) và dư R(x) trong phép chia F(x) cho G(x) rồi
biểu diễn F(x) dưới dạng:
F(x) = G(x). Q(x) + R(x)
a) (6x4 – 3x3 + 15x2 + 2x – 1) : 3x2
b) (12x4 + 10x3 – x – 3) : (3x2 + x + 1).
Giải
a) (6x4 – 3x3 + 15x2 + 2x – 1) : 3x2
* Cách 1: Phân tích ta thấy (2x – 1) có bậc nhỏ hơn 3x2 nên
(2x – 1) là số dư R(x) của đa thức trên.
(6x4 – 3x3 + 15x2 + 2x – 1) : 3x2
= (6x4 : 3x2) + (–3x3 : 3x2) + (15x2 : 3x2)
= 2x2 – x + 5

* Cách 2: Đặt tính:
6x4 - 3x3 + 15x2 + 2x - 1
6x4

3x2
2x2 - x + 5

- 3x3 + 15x2 + 2x - 1

- 3x3
15x2 + 2x - 1
15x2
2x - 1
Vậy: R(x) = 2x – 1; Q(x) = 2x2 – x + 5
F(x) = 3x2. (2x2 – x + 5) + 2x – 1

b) (12x4 + 10x3 – x – 3) :(3x2 + x + 1).
Đặt tính:
12x4 + 10x3
-x-3
3x2 + x + 1
12x4 + 4x3 + 4x2

4x2 + 2x - 2

6x3 - 4x2 - x - 3
6x3 +2x2 + 2x
-6x2 - 3x - 3
-6x2 - 2x - 2
-x - 1
Vậy: R(x) = -x – 1; Q(x) = 4x2 + 2x - 2
F(x) = (3x2 + x + 1).(4x2 + 2x - 2) - x - 1

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

Với mỗi câu hỏi, trong vòng
10s đội nào bấm chuông
trước được giành quyền trả
lời trước. Trả lời sai sẽ
nhường quyền trả lời cho
các đội còn lại.

Điền vào chỗ trống (x3 + x2 – 12) : (x – 12)
01. = …
A

x+3
B x – 3 

C x2 + 3x + 6
D

x2 – 3x + 6

Phép chia đa thức (4x2 + 5x − 6) cho đa thức
02. (x + 2) được đa thức thương là:
A 4
B 4x + 3
C 3x + 2
D 4x − 3

Phép chia đa thức (6x3 + 5x + 3)
03. cho đa thức (2x2 + 1) được đa
thức dư là:
A 2x - 3
B x-3
C

2x + 3

D0

04.

Phần dư của phép chia đa thức x4 – 2x3 +
x2 – 3x + 1 cho đa thức x2 + 1 có hệ số tự
do là
A

2
B

C

3

4
D

1

Cho hình hộp chữ nhật có thể tích
bằng (−2x3 + 13x2 − 27x + 18) và
2
diện
tích
đáy
bằng
(x
 − 5x + 6) .
05.
Chiều cao của hình hộp chữ nhật
là:
A 3x + 3
B 3x - 3
C 2x + 2
D -2x + 3

VẬN DỤNG
Bài 7.35. Bạn Tâm lúng túng khi muốn tìm thương và dư
trong phép chia đa thức 21x – 4 cho 3x2. Em có thể giúp bạn
Tâm được không?
Giải
Phân tích ta thấy (21x – 4) có bậc nhỏ hơn 3x2 nên (21x – 4)
là số dư của đa phép chia đa thức 21x – 4 cho 3x2.
Vậy phép chia đa thức 21x – 4 cho 3x2 có:
•
Thương là 0.
•
Số dư là (21x – 4).

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

01.

02.

03.

Ôn tập kiến

Hoàn thành bài

Xem và chuẩn bị

thức đã học

tập trong SBT

trước bài sau

CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ
THAM GIA TIẾT HỌC HÔM
NAY!