CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Tìm đa thức P sao cho A = B.P, trong đó:
A = 2x - 3x - 3x + 6x - 2
4

3

2

và B = x2 - 2
Nếu A và B là hai số thì ta làm thế nào?

Mình nghĩ mãi mà chưa giải
được bài toán này. Vuông
có cách nào giải không?

Ừ nhỉ! Nếu A và B là hai

Cũng thế thôi các em

số thì chỉ việc lấy A chia

ạ.Trước hết các em

cho B là xong nhưng A và

phải tìm hiểu cách

B lại là hai đa thức.

chia hai đa thức.

BÀI 28: PHÉP CHIA ĐA THỨC
MỘT BIẾN (3 Tiết)

NỘI DUNG BÀI HỌC
01.

02.

03.

Làm quen với

Chia đa thức cho

Chia đa thức cho

phép chia đa thức

đa thức, trường

đa thức, trường

hợp chia hết

hợp chia có dư

1.

Làm quen với phép chia đa thức

Phép chia hết
1. Xét hai đơn thức 6x và -2x , ta thấy 6x = (-2x ) .(-3x). Từ đó,
4

3

4

tương tự như đối với các số, ta cũng có thể viết:
6x4 : (-2x3) hay = - 3x

Đây là một phép chia hết.

3

2. Một cách tổng quát, cho hai đa thức A và B với B0. Nếu có
một đa thức Q sao cho A = B.Q thì ta có phép chia hết:
A : B = Q hay , trong đó:
• A là đa thức bị chia
• B là đa thức chia
• Q là đa thức thương (thương)

Có nghĩa B không phải
là đa thức không.

Khi đó ta còn nói đa thức A chia hết cho đa thức B.

3. Để thực hiện phép chia 6x4 cho (-2x3) ta làm như sau:
• Chia hai hệ số: 6 : (2) = -3
• Chia hai luỹ thừa của biến: x4: x3 = x
• Nhân hai kết quả trên, ta tìm được thương là -3x.
Em có nhận xét gì về cách chia 6x4 cho -2x3?

Đây là phép chia hai lũy thừa cùng cơ số.

Khi nào thì an chia
hết cho
bx ?
About
Company
x

m

HS hoạt động nhóm bốn thực hiện
hoàn thành bài HĐ1, HĐ2.
HĐ1

Em hãy nhắc lại
quy tắc chia hai lũy
thừa cùng cơ số.

Tìm thương của mỗi phép chia hết sau:
2
=
3x
a) 12x : 4x
3

b) (-2x4) : x4 = -2
= x3
5
5
c) 2x : 5x

Khi nào thì an chia
hết cho
bx ?
About
Company
x

HĐ2

m

Giả sử x ≠ 0. Hãy cho biết:

Theo em, kết quả
của phép chia x

2

cho x3 là gì?

a) Với điều kiện nào (của hai số mũ)
thì thương hai luỹ thừa của x cũng

Khi số mũ của số

là một luỹ thừa của x với số mũ

bị chia lớn hơn số

nguyên dương?

mũ của số chia.

b) Thương hai luỹ thừa của x cùng bậc
bằng bao nhiêu?

x :x =1
n

n

KẾT LUẬN

Cho hai đơn thức axm và bxn (m,n; a, b và b 0). Khi đó nếu
m n thì phép chia.
Ta có:

axm : bxn = . xm - n (quy ước: x0 = 1).

HS vận dụng kiến thức chia đơn thức cho đơn thức,
hoàn thành Luyện tập 1 vào vở cá nhân.
Luyện tập 1
a) 3x7 : x4

Thực hiện các phép chia sau:
= (3 : ) x7 - 4 = 6x3

b) (-2x) : x
=
(-2)
x
=
-2
c) 0,25x5 : (-5x2)
= 0,25 : (-5)x5 - 2 = - x3
1-1

2.

Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia hết

Cách đặt tính chia
Để chia đa thức A = 2x4 – 13x3 + 15x2 + 11x – 3 cho đa thức B
= x2 – 4x − 3, ta làm như sau:
Bước 1. Đặt tính chia tương tự chia hai số tự nhiên. Lấy hạng
tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử bậc cao nhất của B:
2x4 : x² = 2x²

Bước 2. Lấy A trừ đi tích B.(2x ), ta được dư thứ nhất là
2

-5x3 + 21x2 + 11x – 3:
-

B .(2x2)

A – B .(2x )
2

2x -13x + 15x + 11x - 3

x2 - 4x - 3

2x4 - 8x3 - 6x2

2x2

4

3

2

2x4 : x2 = 2x2

- 5x3 + 21x2 + 11x - 3
(Dư thứ nhất)

Bước 3. Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia
cho hạng tử bậc cao nhất của B:
(-5x3) : x2= -5x

Bước 4. Lấy A trừ đi tích B.(2x ), ta được dư thứ nhất là
2

-5x3 + 21x2 + 11x – 3:
-

B .(-5x)

2x -13x + 15x + 11x - 3

x2 - 4x - 3

2x4 - 8x3 - 6x2

2x2 - 5x

4

-

3

2

-5x3 + 21x2 + 11x - 3
-5x3 + 20x2 + 15x

(Dư thứ nhất) – B .(-5x)

x - 4x - 3
2

(Dư thứ hai)

-5x3 : x2 = -5x

Bước 5. Làm tương tự như trên, ta được:
-

2x -13x + 15x + 11x - 3

x2 - 4x - 3

2x4 - 8x3 - 6x2

2x2 - 5x + 1

4

-

3

2

-5x3 + 21x2 + 11x - 3
-5x3 + 20x2 + 15x
-

x2 - 4x - 3
x2 - 4x - 3

Ta được thương là
đa thức 2x2 - 5x + 1

0
Kiểm tra lại rằng ta có phép chia hết A : B = 2x2 - 5x + 1,
nghĩa là xảy ra: A = B . (2x2 – 5x + 1)

Khi chia đa thức cho một đơn thức thì ta có thể

Chú ý

không cần đặt tính chia:

VD: (-6x + 7x - 6x ) : 3x
5

4

3

3

= (-6x : 3x ) + (7x : 3x ) + (-6x : 3x )
5

3

4

3

3

= -2x + x - 2
2

Luyện tập 2

Thực hiện phép chia:
a) (-x6 + 5x4 - 2x3) : 0,5x2
b) (9x2 - 4) : (3x + 2)

3

Giải

a) (-x6 + 5x4 - 2x3) : 0,5x2
= (-x : 0,5x ) + (5x : 0,5x ) + (-2x : 0,5x )
6

2

4

2

3

2

= -2x4 + 10x2 - 4x
b) (9x2 - 4) : (3x + 2)
9x2

-4

3x + 6x
2

- 6x - 4
- 6x - 4
 

0

Nếu khuyết hạng tử bậc k
trong đa thức bị chia thì viết

3x + 2

thêm 0 (hay để trống) ở vị trí

3x - 2

khuyết đó cho dễ làm.

Vận dụng
Giải

Em hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu

2x - 3x - 3x + 6x - 2
4

3

2x4

2

- 4x2

2x2 - 3x + 1

-3x3 + x2 + 6x – 2
-3x3

+ 6x
x2
2
x

x2 - 2

- 2
- 2
0

Ghi nhớ: Để có A = BP,
ta cần tìm P = A : B.

3.

Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia có dư

Phép chia có dư

Quan sát phép chia đa thức sau:

5x3 - 3x2 - x + 7
3
5x
 
 
Dư thứ nhất

Dư thứ hai

+ 5x

5x - 3

-3x2 - 6x + 7
2
-3x
 

x2 + 1

-3

- 6x + 10

 

Hãy mô tả lại các bước
đã thực hiện trong
phép chia đa thức D
cho đa thức E.

Bước 1. Đặt tính chia tương tự chia hai số tự nhiên. Lấy hạng
tử bậc cao nhất của D chia cho hạng tử bậc cao nhất của E:
5x3 : x² = 5x.
Bước 2. Lấy D trừ đi tích E.(5x), ta được dư thứ nhất là -3x 2

- 6x + 7:
E .(5x)

-

D – E .(5x)

5x - 3x - x + 7

x2 + 1

5x3

5x

3

2

+ 5x

- 3x2 - 6x + 7
(Dư thứ nhất)

5x3 : x2 = 5x

Bước 3. Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia
cho hạng tử bậc cao nhất của E:
(-5x3) : x2 = -5x
Bước 4. Lấy dư thứ nhất trừ đi đi tích E. (-3) ta được dư
thứ hai là dư cuối (-6x + 10):
-

E .(-3)

5x3 - 3x2 - x + 7

x2 + 1

5x3

5x - 3

-

+ 5x

-3x2 : x2 = -3

- 3x2 - 6x + 7
- 3x2

D – E .(-3)

-3
- 6x + 10

Dư thứ hai

5x - 3x - x + 7
3

3
5x
 
 

2

+ 5x

5x - 3

-3x2 - 6x + 7
-3x
 

2

x2 + 1

-3

 
Đặt G = -6x + 10

- 6x + 10
• Dư cuối cùng có bậc nhỏ hơn đa thức chia nên quá trình chia
kết thúc.
• Ta được thương là đa thức 5x – 3 và đa thức dư là -6x + 10.

HĐ5

About Company
Hãy kiểm tra lại đẳng thức: D = E - (5x - 3) + G.

Phép chia đa thức D cho đa thức E trong trường
hợp này được gọi là phép chia có dư với đa thức
thương là 5x – 3 và đa thức dư là G.
Giải

E.(5x − 3) + G
= (x + 1)(5x – 3) + (−6x + 10)
2

= 5x3 – 3x2 – x + 7
= D (Đúng)

KẾT LUẬN
Khi chia đa thức A cho đa thức B:
 Đa thức dư R phải bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của B.
 Nếu thương là đa thức Q, dư là R thì ta có đẳng thức
A = B.Q + R

Luyện tập 3
Tìm dư R và thương Q trong phép chia đa thức A = 3x4 - 6x -5
cho đa thức B = x2 + 3x – 1 rồi viết A dưới dạng A = B. Q + R.
Giải

3x4

- 6x - 5

3x4 + 9x3 - 3x2

x2 + 3x – 1
3x - 9x + 30
2

-9x3 + 3x2 - 6x - 5
-9x3 - 27x2 + 9x
30x2 - 15x - 5
30x2 + 90x - 30
-105x + 25
Vậy x2 + 3x - 1 = (x2 + 3x - 1).(3x2 - 9x + 30) + (-105x + 25)

Thảo luận nhóm đôi, thực hiện "Thử thách nhỏ":
Thử thách nhỏ

Ta có

x3 - 3x2 + x – 1 = (x2 - 3x).x + (x - 1)
Đa thức x – 1 là dư vì nó có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

LUYỆN TẬP
Bài 7.31 (SGK-tr43). Thực hiện các phép chia đa thức sau:
a) (-5x3 + 15x2 + 18x) : (-5x)
= (-5x3) : (-5x) + 15x2 : (-5x) + 18x : (-5x)
= x2 - 3x b) (-2x5 – 4x3 + 3x2) : 2x2
= (-2x5 : 2x2) + (-4x3 : 2x2) + (3x3 : 2x2)
= -x3 – 2x +

Bài 7.32 (SGK-tr43). Thực hiện các phép chia đa thức sau bằng cách
đặt tính chia:
a) (6x – 2x – 9x + 3) : (3x – 1);
3

2

b) (4x4 + 14x3 – 21x – 9) : (2x2 – 3)
Giải

6x3 – 2x2 – 9x + 3
6x - 2x  
3

2

3x – 1
2x2 - 3

- 9x + 3
- 9x + 3
0

4x4 + 14x3
4x4

- 21x - 9

- 6x2
14x3+ 6x2 -21x - 9
14x3
+ 21x
6x2
–9
6x2
–9
0

2x2 – 3
2x2 + 7x + 3

Bài 7.33 (SGK-tr43). Thực hiện phép chia (0,5x5 + 3,2x3 – 2x2)
cho 0,25xn trong mỗi trường hợp sau:
a) n = 2

b) n = 3
Giải

b) n = 3

a) n = 2
(0,5x + 3,2x – 2x ) : 0,25x
5

3

2

(0,5x5 + 3,2x3 – 2x2) : 0,25x3

2

5
3
3
3
=
(0,5x
:
0,25x
)
+
(3,2x
:
0,25x
)
= (0,5x : 0,25x ) + (3,2x : 0,25x )
5

2

3

2

+ (–2x : 0,25x )

+ (–2x : 0,25x )

= 2x3 + 12,8x - 8

= 2x2 + 12,8 -

2

2

2

3

Bài 7.34 (SGK-tr43). Trong mỗi trường hợp sau đây,
tìm thương Q(x) và dư R(x) trong phép chia F(x) cho
G(x) rồi biểu diễn F(x) dưới dạng:
F(x) = G(x). Q(x) + R(x)
a) (6x4 – 3x3 + 15x2 + 2x – 1) : 3x2
b) (12x4 + 10x3 – x – 3) : (3x2 + x + 1).

Giải

a) (6x – 3x + 15x + 2x – 1) : 3x
4

3

2

2

* Cách 1: Phân tích ta thấy (2x – 1) có bậc nhỏ hơn 3x 2
nên (2x – 1) là số dư R(x) của đa thức trên.
(6x4 – 3x3 + 15x2 + 2x – 1) : 3x2
= (6x4 : 3x2) + (–3x3 : 3x2) + (15x2 : 3x2)
= 2x2 – x + 5

* Cách 2: Đặt tính:
6x - 3x + 15x + 2x - 1
4

3

2

6x4
- 3x3 + 15x2 + 2x - 1

3x

2

2x2 - x + 5

- 3x3
15x2 + 2x - 1
15x2
2x - 1
Vậy: R(x) = 2x – 1; Q(x) = 2x2 – x + 5
F(x) = 3x2. (2x2 – x + 5) + 2x – 1

b) (12x4 + 10x3 – x – 3) :(3x2 + x + 1).

Đặt tính:

12x + 10x
4

-x-3

3

12x4 + 4x3 + 4x2

3x2 + x + 1
4x2 + 2x - 2

6x3 - 4x2 - x - 3
6x3 +2x2 + 2x
-6x2 - 3x - 3
-6x2 - 2x - 2
-x - 1

Vậy: R(x) = -x – 1; Q(x) = 4x2 + 2x - 2
F(x) = (3x2 + x + 1).(4x2 + 2x - 2) - x - 1

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

Với mỗi câu hỏi, trong vòng 10s đội
nào bấm chuông trước được giành
quyền trả lời trước. Trả lời sai sẽ
nhường quyền trả lời cho các đội còn
lại.

1

Điền vào chỗ trống (x3 + x2 – 12) : (x – 2) = …
A. x + 3      

1
9
3
0
7
2
10
5
4
6
8

B. x – 3      
C. x2 + 3x + 6
D. x  – 3x + 6
2

ĐÁP ÁN

C
Answer

2

Phép chia đa thức (4x2 + 5x − 6) cho đa thức
(x + 2) được đa thức thương là:

1
9
3
0
7
2
10
5
4
6
8

A. 4x − 3

B. 4

C. 4x + 3

D. 3x + 2

ĐÁP ÁN

A
Answer

3

Phép chia đa thức (6x3 + 5x + 3) cho đa thức
(2x2 + 1) được đa thức dư là:

1
9
3
0
7
2
10
5
4
6
8

A. 2x - 3

B. 2x + 3

C. x - 3

D. 0

ĐÁP ÁN

B
Answer

4

Phần dư của phép chia đa thức x4 – 2x3 + x2 – 3x + 1
cho đa thức x2 + 1 có hệ số tự do là

1
9
3
0
7
2
10
5
4
6
8

A. 2            

B. 3            

C. 1            

D. 4

ĐÁP ÁN

C
Answer

5

Cho hình hộp chữ nhật có thể tích bằng (−2x  +
3

13x2 − 27x + 18) và diện tích đáy bằng (x2 − 5x + 6) .
Chiều cao của hình hộp chữ nhật là:
1
9
3
0
7
2
10
5
4
6
8

A. 3x + 3

B. 3x - 3

C. 2x + 2

D. -2x + 3

ĐÁP ÁN

D
Answer

VẬN DỤNG
Bài 7.35. Bạn Tâm lúng túng khi muốn tìm thương và dư trong phép
chia đa thức 21x – 4 cho 3x2. Em có thể giúp bạn Tâm được không?
Giải

Phân tích ta thấy (21x – 4) có bậc nhỏ hơn 3x 2 nên
(21x – 4) là số dư của đa phép chia đa thức 21x – 4
cho 3x .
2

Vậy phép chia đa thức 21x – 4 cho 3x2 có:
•

Thương là 0.

•

Số dư là (21x – 4).

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

01.

02.

03.

Ôn tập kiến thức

Hoàn thành bài tập

Xem và chuẩn bị

đã học

trong SBT

trước bài sau

CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ
THAM GIA TIẾT HỌC HÔM NAY!