CHƯƠNG III :PHéP DờI HìNH Và PHéP ĐồNG DạNG
t1. PhÐp ®èi xøng trôc
t2. PhÐp ®èi xøng t©m
t3. PhÐp tÞnh tiÕn
t4. PhÐp dêi h×nh
t5. PhÐp vÞ tù
t6. PhÐp ®ång d¹ng
t1. PHÐP §èI XøNG TRôC
1.Định nghĩa
* Bài toán mở đầu:Trong mặt phẳng cho điểm M và đường thẳng d .Gọi M` là điểm đối xứng với
M qua d và I là trung điểm của MM`. Chứng minh rằng:


Do I là trung điểm của MM`
nên MI = M`I và
?
Ta cũng có MM` = 2MI và
cùng chiều ?

M
M`
d
I

*Định nghĩa1: Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M` đối xứng với M qua đường thẳng d gọi là phép đối xứng trục.
Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng.
Phép đối xứng trục có trục là đường thẳng d được ký hiệu là Đd .
Điểm M` được gọi là ảnh của M qua phép đối xứng Đd .
*Nhận xét: - Nếu Đd(M) = M` thì Đd(M`) = M;
- Nếu M? d thì Đd(M) = M;
- Nếu Đd (M) = M` với M ? M` thì trục đối xứng d là đường trung trực của đoạn MM`


*Định nghĩa 2: Cho phép đối xứng trục Đd và
cho một hình H nào đó . Với mọi điểm M ? H
ta có M` là ảnh của M qua phép đối xứng Đd.
Hình H` gồm những điểm M` như thế được gọi là hình đối xứng với hình H qua đường thẳng d, hay hình H` là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục Đd.
d
H
H`
M
M`
2.Các tính chất của phép đối xứng trục:
*Định lý : Nếu phép đối xứng trục Đd biến hai điểm bất kỳ M và N thành hai điểm M` và N` thì MN = M`N`. Nói một cách khác: Phép đối xứng trục không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
M
M`
N
N`
I
J
d
Chứng minh: Giả sử d là trục đối xứng. Gọi I và J là trung điểm các đoạn thẳng MM` và NN`. Khi đó I và J đều nằm trên d. Ta có:





Tương tự ta có:



từ đó suy ra MN2 = M`N`2 hay MN = M`N`.
*Hệ quả1: Phép đối xứng trục biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của 3 điểm thẳng hàng đó.




Chứng minh: Giả sử A,B,C là 3 điểm thẳng hàng trong đó B ở giữa A và C, tức là AB + BC = AC.
Gọi A`, B`, C` lần lượt là ảnh của 3 điểm A, B, C qua phép đối xứng trục. Khi đó theo định lý trên ta có AB = A`B`, BC = B`C`, AC = A`C`.
Suy ra A`B` + B`C` = A`C`. Điều này chứng tỏ 3 điểm A`, B`, C` thẳng hàng và B` nằm giữa A`, C`.


d
Hệ quả 2: Phép đối xứng trục:
a) Biến một đường thẳng thành một đường thẳng.
b) Biến một tia thành một tia.
c) Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó.
d) Biến một góc thành góc có số đo bằng nó.
e) Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn thành nó.
Chứng minh: Các khẳng định này được suy từ hệ quả1, sau đây ta chứng minh khẳng định d):
Giả sử xOy là một góc cho trước và phép đối xứng trục Đd biến 2 tia Ox, Oy thành 2 tia O`x` và O`y`.

O
O`
Như vậy Đd biến góc xOy
thành góc x`O`y`.
Trên Ox lấy điểm A, trên Oy
lấy điểm B (A, B không trùng
với O) và gọi A`, B` là ảnh của
chúng qua phép Đd .
Khi đó A` ? O`x`, B` ? O`y` và OA = O`A`, OB = O`B`,
AB = A`B`.
Suy ra ?AOB = ?A`O`B` ? Góc xOy = góc x`O`y`.
B
B`
A`
A
y
x`
y`
x
d

Bài toán 1: Cho 2 điểm A,B và đường thẳng d. Hãy dựng tam giác có 2 đỉnh là 2 điểm đã cho và d là đường phân giác của góc thuộc đỉnh thứ 3.

Bài giải:
- Phân tích: Xét trường hợp A, B cùng phía so với d. Giả sử ?ABC là tam giác đã dựng. Xét phép đối xứng trục Đd biến A thành A`, B thành B`. Gọi D là giao điểm của AB và d. Khi đó ?DAA`, ?DBB` là các tam giác cân.
Vì ?ABC nhận d là đường
phân giác nên C? d và là
giao điểm của d và BA`.

A
A`
C
B
B`
d
D
- Cách dựng: Dựng ảnh A` của A qua phép đối xứng Đd. Gọi C là giao điểm của A`B và d. Khi đó ?ABC là tam giác cần dựng.
- Chứng minh:
Từ cách dựng suy ra d là trung trực của đoạn AA`.
Mà C ? d nên ?ACA` cân tại C.
? d là phân giác của góc ACA`.
? d là đường phân giác ngoài của ?ABC.
- Biện luận: Bài toán chỉ có nghiệm khi A`B cắt d hoặc A` và B trùng nhau.

A
A`
C
B
d

Bài toán 2: Cho 2 đường thẳng d, d` vuông góc với nhau tại điểm O và một điểm M bất kì. Gọi M` là ảnh của M qua phép đối xứng Đd , gọi M`` là ảnh của M` qua phép đối xứng Đd`. Chứng minh rằng MM`` đối xứng nhau qua O.
Bài giải:
Gọi I là giao điểm của MM` và d, J là giao điểm của M`M`` và d`. Khi đó theo tính chất của phép đối xứng ta có:

Tương tự ta có:

M
M`
M``
O
I
J
d`
d

?
? O là trung điểm của MM``
? M`` đối xứng với M qua O.
*Bài tập về nhà:
- Các bài tập trong SGK trang 71
- Bài 1: Cho 2 đường thẳng c, d cắt nhau và 2 điểm A, B không thuộc 2 đường thẳng đó. Hãy dựng điểm C trên c, D trên d sao cho ABCD là hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy.
- Bài 2: Phép đối xứng trục Đd biến thành
. Chứng minh rằng - vuông góc với trục đối xứng.