1
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ CÁC ỨNG DỤNG
1.1. Định nghĩa tích phân xác định
1.1.1 Định nghĩa:
Cho HS f(x) xác định và bị chặn trên [a,b].
+ Chia tuỳ ý [a,b] bởi các điểm chia:
a= x 0 < x1 < x 2<.< xk < xk+1 <.< x n = b
+ Trên mỗi đoạn [xk-1, xk] lấy điểm
bất kì và lập tổng :
2
+ Nếu khi sao cho max , Sn dần tới một giới hạn xác định S không phụ thuộc vào cách chia [a, b] và cách chọn điểm trong đoạn [ xk-1; xk] thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên [a,b], ký hiệu là .

Khi đó ta nói f(x) khả tích trên [a,b] .
([a,b] là khoảng lấy tích phân, a là cận dưới , b là cận trên, x là biến số lấy tích phân, f(x) là h�m s? dưới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân).
+ Nếu h�m s? f(x) liên tục trên [a,b] ho?c hàm số f(x) bị chặn và có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a,b] thì nó khả tích trên [a,b].
3
Chia [0;1] thành n đoạn nhỏ bằng nhau và lấy các điểm
là đầu mút phải của mỗi đoạn nhỏ, khi đó ta có :

?xk = , = xk=k. ( k = 1,2,.,n ) và max khi
1.1.2. VD: Tính

Vì f(x) = x2 liên tục trên [0;1] nên nó khả tích trên [0;1], do đó

ta có:
4
Vậy,
Do đó:
5
* Nếu f(x) 0, x?[a;b] thì 0


* Nếu f(x) ? g(x), x?[a;b] thì : ?

* Nếu m ? f(x) ? M,?x?[a;b] (M, m là hằng số) thì :

m(b-a) ? ? M(b-a)
1.2. Các tính chất của tích phân xác định
≥


≥
6
* Giả sử trên [a, b], m  f(x)  M và g(x) khả tích.
+Nếu g(x) không đổi dấu trên [a, b] thì    [m, M] sao cho :
f(x)g(x)dx ≤  g(x)dx.
Hệ quả: g(x) = 1:    [m, M] sao cho f(x)dx =  (b – a)
+Nếu f(x)  C[a, b] thì c [a, b] sao cho:
f(x)g(x)dx = f(c) g(x)dx
Hệ quả: g(x) = 1: c [a, b] sao cho f(x)dx = f(c)(b – a).

*Tích phân trên miền đối xứng của hàm chẵn, hàm lẻ
+Nếu f( – x) = – f(x) thì f(x)dx = 0,

+Nếu f( – x) = f(x) thì f(x)dx = 2 f(x)dx
7
Vì 0  sin2x  1 trên [0; ] nên 1 .
VD: Ước lượng giỏ tr? của TP: I =
Do đó:


hay 1,57  I  1,92
8
1.3.Cách tính tích phân xác định
1.3.1.Các tích phân cơ bản
9
1.3.2Công thức Newton –Leibniz: Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) liên tục trên [a;b] thì:

* VD:

10
1.4.1 Dạng 1: Cho trong đó f(x) liên tục trên [a;b],

thực hiện phép đổi biến x = (t). Nếu:

+ () =a , ( ) = b

+ (t) và ’(t) liên tục trên [; ].

+ f[(t)] liên tục trên [; ]
Khi đó ta có:
1.4. Phép đổi biến trong tích phân xác định
11
* VD: Tính:


Đổi biến x = sint với
Ta có: 0 = sin0; 1 = sin
Vậy
12
NÕu f(x) lµ hµm lÎ

NÕu f(x) lµ hµm ch½n
NÕu f(x) lµ hµm lÎ

NÕu f(x) lµ hµm ch½n
* VD: CMR nếu f(x) liên tục [-a;a] thì:

Thật vậy, ta có:
Trong tích phân thứ nhất ở VP đặt x = - t =>dx = - dt ta có:
Do đó :
Vậy:
13
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng f(x) = g[?(x)] ?`(x) thì để tính





ta đổi biến số ?(x) = t. Nếu ?(x) biến thiên đơn điệu và có đạo hàm ?`(x) liên tục trên [a;b] còn g(t) liên tục trên [? (a); ? (b)] , ta có công thức:

1.4.2.Dạng 2:
14
* VD 1: Tính
Đặt t = sinx, ta có hàm t =sinx biến thiên đơn điệu trên ,
dt = cosxdx
15
* VD 2: Tính
Ta có
Nhưng vì:
Nên:
Đặt t = x – cos , ta có dt = dx và:
16
1.5.Phộp l?y tích phân từng phần
Gi? s? u(x), v(x) là những hàm số có đạo hàm liên tục trên
[a;b], khi đó:
* VD 1: Tính
Ta có u = lnx => du = dx
dv = dx => v = x
17
Đặt u=sinn-1x, dv = sinxdx, ta có du = (n-1)sinn-2xcosxdx, v = - cosx.
Do đó: In = - cosx sin n-1 + (n-1)
= (n-1)In-2- (n-1)In
Thay n = n -2, ta được: In-2 =
* VD 2: Tính In = , n nguyên dương
18
Tiếp tục như vậy , ta có:
I0 nếu n chẵn
I1 nếu n l?
Như vậy,
+ Nếu n chẵn (n = 2m) thì
+ Nếu n lẻ (n =2m+1) thì
19
+ VD: Tính diện tích mặt tròn xoay sinh bởi sự quay quanh trục
Ox của cung y=x3 với
Vì tính đối xứng của đường y=x3, chỉ cần tính 1/2 diện tích mặt
tròn xoay ứng với x biến thiên từ 0 đến .
Ta có:
Đổi biến 1+ 9x4 = t, ta được 36x3dx = dt,
t = 1 khi x= 0, t = khi x = .
Do đó: