Tích phân xác định
Bài toán diện tích hình thang cong:
Cho hàm f(x) liên tục và không âm trên [a,b]. Miền D giới hạn bởi đừơng cong y=f(x), 3 đường thẳng x=a, x=b, y=0 được gọi là hình thang cong
Yêu cầu đặt ra là tính diện tích hình thang
Chia đoạn [a,b] thành n-phần tùy ý bởi các điểm
Tích phân xác định
xk
xk+1
Ta tính diện tích hình thang cong thứ k gần đúng bằng cách lấy điểm Mk tùy ý trong [xk,xk+1]
Mk
f(Mk)
Coi diện tích hình thang cong nhỏ xấp xỉ với diện tích hình chữ nhật cạnh xkxk+1, f(Mk)
Với n- điểm chia ta có n-hình thang cong nhỏ với diện tích được tính xấp xỉ như trên nên diện tích hình thang cong D được tính xấp xỉ với
, tức là bằng
Tích phân xác định
Rõ ràng, công thức xấp xỉ trên càng chính xác nếu số các hình thang cong nhỏ càng nhiều.
Ta cho
Nếu Sn tiến đến một giới hạn hữu hạn mà không phụ thuộc cách chia [a,b] và cách lấy điểm Mk thì giới hạn đó được gọi là diện tích của hình thang cong D
Tích phân xác định
Tích phân xác định
Định nghĩa tích phân xác định: Cho hàm f(x) xác định
trên [a,b]. Chia [a,b] thành n-phần tùy ý bởi các điểm chia (ta gọi là một phân hoạch của đoạn [a,b])
Lấy điểm bất kỳ
, lập tổng tích phân
(Tổng Riemann)
Ta cho
hạn mà không phụ thuộc cách chia [a,b] và cách lấy điểm Mk thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên [a,b] và kí hiệu là
, nếu Sn tiến đến một giới hạn hữu
Khi ấy, ta nói hàm f(x) khả tích trên [a,b]
Tích phân xác định
Ví dụ: Tính tích phân sau bằng định nghĩa
Chia [0,1] thành n phần bằng nhau thì các điểm chia sẽ là
Tích phân xác định
Theo định nghĩa, tích phân I1 cho ta diện tích phần mặt phẳng
giới hạn bởi 2 trục Ox, Oy, đt x=1 và đường cong y=2x
Tích phân xác định
Ta có thể tính bằng cách dùng MatLab
Bước 1: Tính giá trị hàm f tại điểm xk bằng lệnh subs(f,xk)
Bước 2: Tính tổng Sn bằng lệnh S=symsum(f(xk).(xk+1-xk),k,0,n-1): Tính tổng các số hạng dạng f(xk).(xk+1-xk) theo k, với k từ 0 đến n-1
Bước 3: Tính giới hạn của Sn bằng lệnh limit(S,n,inf): tính giới hạn của S theo n, n dần đến ∞ (inf)
Khai báo biến x: syms x
Nhập hàm: f=2^x
Nhập cận lấy tp: a=0, b=1. Sau đó thực hiện các bước sau
Tích phân xác định
Tính chất của tích phân xác định
Định lý 1: Hàm liên tục trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]
Định lý 2: Hàm có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a,b] thì khả tích trên [a,b]
Trong các tính chất dưới đây, đều có f(x), g(x) là các hàm khả tích trên [a,b]
Tích phân xác định
f(x) khả tích trên [a,c], [c,b], [a,b]
Tích phân xác định
Định lý giá trị trung bình: Cho hàm f(x) liên tục trên [a,b], tồn tại điểm c trong [a,b] sao cho
Ta gọi f(c) là giá trị trung bình của hàm f(x) trên [a,b]
M, m là GLNN, GTNN của f(x) trên [a,b]
là hàm tuần hoàn chu kỳ T
Tích phân xác định
Công thức đạo hàm dưới dấu tích phân
Ví dụ: Tính đạo hàm theo x của
Tích phân xác định
Ví dụ: Tính giới hạn
Vì
dạng
, nên ta áp dụng quy tắc L’Hospital
tức là giới hạn trên có
Tích phân xác định
Công thức Newton – Leibnitz:
Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và G(x) là một nguyên hàm của f(x) thì ta có
Ví dụ: Tính tích phân
Tích phân xác định
Phương pháp đổi biến
Nếu
Thì
Tích phân xác định
Ví dụ: Tính
Đặt
Tích phân xác định
Phương pháp tích phân từng phần
Nếu 2 hàm u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a,b] thì
Ví dụ: Tính
Tích phân xác định
Lưu ý 1: Trong MatLab, để tính tích phân bất định hàm f(x), ta có thể dùng lệnh int(f,x) hoặc int(f)
Và để tính tích phân xác định của hàm f trên [a,b] ta dùng lệnh int(f,a,b)
Tuy nhiên, có những hàm ta sẽ không thể dùng lệnh int để tính tp bất định cũng như tp xác định (Hàm f trong ví dụ trên).
Khi đó, ta chỉ có thể tính được trong MatLab các tích phân xác định bằng cách dùng thêm lệnh double : double(int(f,a,b))
Tức là ta chỉ có thể dùng MatLab để tính gần đúng các tích phân xác định như vậy
Tích phân xác định
Để tính gần đúng tích phân xác định, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đơn giản nhất là phương pháp hình thang như sau:
Ta sẽ chia [a,b] thành lần lượt thành 2 phần, 4 phần, 8 phần, …, 2n phần bằng nhau và áp dụng công thức tính trong các trường hợp trên là
Số lần chia sẽ dừng lại sau khi ta đánh giá sai số nhỏ hơn giá trị mà ta đưa ra. Tuy nhiên, phần đánh giá sai số sẽ được làm một cách cụ thể trong môn học Phương pháp tính.
Tích phân xác định
Trong MatLab, ta sẽ lập hàm để tính tích phân xác định của hàm f trên [a,b] với số đọan chia là 2n với tên gọi và cú pháp như sau:
Tên hàm: hinhthang(f,a,b,solan) (solan là n thì số đọan chia là 2n)
Nhập vào : syms x, nhập vào hàm f, cận a, b, số n bằng lệnh input
Tính giá trị đầu: fa = subs(f, a); fb = subs(f, b);
I = (fa + fb)*(b-a)/2; sum=0
Lập vòng lặp để tính tổng và vòng lặp để tính tp I
Tích phân xác định
for n = 2:solan
k=2^(n-2)
h=(b-a)/(2*k)
x = a + h;
sum = 0;
for i = 1:k
fx = subs(f, x);
sum = sum + fx;
x = x + (b-a)/k;
end
I=(I/2)+h*sum
end
Tích phân xác định
Lưu ý 2: Các tích phân không áp dụng được công thức Newton – Leibnitz
Cách tính này sai vì hàm dưới dấu tp không liên tục trên [-e,e]
Để tính đúng tp trên, ta phải chia tp ra làm 2 với điểm chia là điểm gián đọan của hàm: x=0
Hai tp thành phần ta gọi là tp của hàm không bị chặn hay là tp suy rộng lọai 2
Tích phân suy rộng lọai 1
Cho đường cong
Giả sử ta cần tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi đường cong trên và 2 nửa dương 2 trục Ox, Oy
Khi đó, theo phần trên ta có
Tích phân suy rộng lọai 1
Để có diện tích miền D, ta sẽ phải tính tích phân khi x→∞ và khi x→0
Ta gọi những tích phân như vậy là tích phân suy rộng
Có 2 loại tích phân suy rộng: Tích phân với cận vô tận (tp suy rộng loại 1) và tích phân của hàm không bị chặn (tp suy rộng loại 2)
Tích phân suy rộng lọai 1
Định nghĩa tích phân suy rộng lọai 1:
Được gọi là tp suy rộng lọai 1 của hàm f(x) trên [a,+∞)
Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tp hội tụ, tp không hội tụ thì gọi là tp phân kỳ
Tương tự, ta có thêm 2 dạng tp suy rộng lọai 1:
Tích phân suy rộng lọai 1
Ví dụ: Xét tp sau
Nếu α=1:
Tp phân kỳ
Nếu α≠1:
Nếu 1- α>0 :
Nếu 1- α<0 :
Tp phân kỳ
Tp hội tụ
Vậy tích phân I1 hội tụ nếu α>1 và phân kỳ nếu α≤1
Tích phân suy rộng lọai 1
Sử dụng CT Newton – Leibnitz để tính tp suy rộng
Nếu hàm f(x) có nguyên hàm là G(x) trên [a,+∞) thì
Tích phân suy rộng lọai 1
Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi
D
Tích phân suy rộng lọai 1
Ví dụ: Tính dt miền D ghạn bởi
D
Ta có giới hạn dạng vô định ∞ - ∞
Tích phân suy rộng lọai 1
Khảo sát sự HT của tp suy rộng lọai 1 với hàm không âm
Tiêu chuẩn so sánh 1:
Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,+∞) thỏa f(x) ≥ g(x) ở lân cận của ∞. Ta có:
Ta thường so sánh với tp cơ bản
Tích phân suy rộng loại 1
Ví dụ: KS sự HT của
Khi x > e-1 thì ln(1+x)>1, suy ra
Vậy I2 PK
Ví dụ: KS sự HT của
Suy ra tp I3 HT
Tích phân suy rộng loại 1
Tiêu chuẩn so sánh 2:
Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,+∞)
Tích phân suy rộng loại 1
1. Xác định hàm f(x) không âm với mọi x>a
2. Khi x→∞, tìm hàm g(x) tương đương với f(x) hoặc đánh giá f(x) lớn hay nhỏ hơn hàm g(x)
3. Nếu là hàm tương đương thì dùng t/c so sánh 2, nếu là hàm nhỏ hay lớn hơn thì dùng t/c so sánh 1
Tích phân suy rộng loại 1
Ví dụ: KS sự HT của
Khi x→∞ , hàm đã cho không âm và
Đây là trường hợp 2 tp cùng HT hoặc cùng PK
nên tp I4 HT
Tích phân suy rộng loại 1
Ví dụ: KS sự HT của
Vậy tp I5 HT
Tích phân suy rộng loại 1
Ví dụ: KS sự HT của
Ta có
Vậy Tp I6 HT
Ví dụ: KS sự HT của
Khi x→∞ thì 1/x →0 nên ta có thể biến đổi và thay VCB tương đương như khi tính giới hạn
nên TP I7 HT`
Tích phân suy rộng loại 1
Ví dụ: KS sự HT của
Tp này HT nên Tp I8 cũng HT
Tích phân suy rộng loại 1
Tích phân hàm có dấu bất kỳ
Nếu là tp của hàm có dấu bất kỳ, ta sẽ khảo sát tp của hàm không âm sau bằng 1 trong 2 tiêu chuẩn so sánh
Tp trên HT thì Tp cần khảo sát là tp HTTĐ
Tp trên PK thì chưa có kết luận cho tp cần khảo sát
Tích phân suy rộng loại 1
Ví dụ: KS sự HT của
Trước tiên, ta tính tp từng phần
Suy ra J là tp HTTĐ
Mặt khác, sin1 là hằng số hữu hạn nên I9 HT
Tích phân suy rộng loại 1
Ví dụ: Tìm α để tp sau HT
Khi x→∞ thì x3 là VCL, sinx là hàm bị chặn nên
Tích phân suy rộng loại 1
Ví dụ: KS sự HT của
Kết quả này SAI
vì tp mà ta so sánh không chỉ là tp suy rộng lọai 1
Tích phân suy rộng loại 1
Tp J là tp suy rộng lọai 1 vì có cận vô tận, tuy nhiên hàm dưới dấu tp còn là hàm không bị chặn tại đầu dưới x = 0
Ta sẽ tách tp J thành tổng
Tp thứ nhất là tp suy rộng lọai 1 HT, còn tp thứ hai ta sẽ xét tiếp ở phần tp suy rộng lọai 2 (Tp PK)
Tích phân suy rộng loại 2
Định nghĩa: Cho hàm f(x) xác định và khả tích trong [a,c] với mọi c: a≤cTích phân trên [a,b]
Được gọi là tp suy rộng lọai 2 (tp của hàm không bị chặn) của hàm f(x) trên [a,b]
Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tp là HT, tp không HT thì gọi là tp PK
Tích phân suy rộng loại 2
Nếu trong [a,b] có 1 điểm c mà tại đó hàm f(x) không bị chặn thì
Tức là ta có tổng 2 tp suy rộng lọai 2. Nếu 2 tp thành phần HT thì tổng HT
Ta cũng có công thức:
Trong đó G(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên [a,b]
Tích phân suy rộng loại 2
Ví dụ: Tính
Tích phân suy rộng loại 2
Ví dụ: Khảo sát sự HT của
Nếu α = 1:
Tp PK
Nếu α ≠ 1:
Nếu α>1:
Nếu α<1:
Vậy HT nếu α<1 và PK nếu α≥1
Tích phân suy rộng loại 2
Tiêu chuẩn so sánh 1:
Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,b), không bị chặn tại b và f(x) ≤ g(x) với mọi x thuộc lân cận của b. Ta có:
Để khảo sát sự HT của tp
ta sẽ so sánh f(x)
với
rồi sử dụng kết quả trên
Tích phân suy rộng loại 2
Tiêu chuẩn so sánh 2:
Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,b),
không bị chặn tại b và
Ta có:
2 tp cùng HT hoặc cùng PK
Ta cũng tìm hàm g(x) để so sánh như khi khảo sát tp suy rộng lọai 1 khi x→b-
Tích phân suy rộng loại 2
Ví dụ: Khảo sát sự HT của
Hàm không xác định tại 1 điểm x = 1, tại đó hàm không bị chặn và đó là điểm duy nhất trên đọan lấy tp mà hàm không bị chặn.
Ta sẽ chỉ xét x → 1-,
Tức là:
2 tp cùng HT hoặc cùng PK
Vậy:
Tích phân suy rộng loại 2
Tích phân hàm có dấu bất kỳ - Hội tụ tuyệt đối
Với hàm f(x) khả tích trên [a,b) và không bị chặn tại b
Ví dụ: Khảo sát sự HT của
Xét tại 2 điểm đặc biệt x=0, x=1.
Tức là hàm không bị chặn tại x=0
Tp này HT
Tích phân suy rộng loại 2
Ví dụ: Khảo sát sự HT của
Ta chỉ xét khi x→0:
Tích phân suy rộng loại 2
Ví dụ: Khảo sát sự HT của
Hàm dưới dấu tp không bị chặn tại cả 2 đầu
Như vậy, I6 là tổng của 2 tp HT nên I6 HT
Tích phân suy rộng loại 2
Ví dụ: Khảo sát sự HT của
Tp trên vừa là tp suy rộng lọai 1, vừa là tp suy rộng
loại 2
Như vậy, I7 là tổng của 1 tp HT và 1 tp PK nên I7 PK
Tích phân suy rộng loại 2
Ví dụ: Tính
Đặt
(1)
(2)
Cộng 2 vế (1) và (2):
Tích phân suy rộng loại 2
Vậy:
Tích phân suy rộng loại 2
Ví dụ: Tìm α để tp sau HT
Ta tính khi x→0
Tp I9 HT khi và chỉ khi tp
Vậy I9 HT khi và chỉ khi
Tích phân suy rộng loại 2
Ví dụ: Tìm α để tp sau HT
Tích phân suy rộng - Phụ lục
Tính các tp
Tích phân suy rộng - Phụ lục
Tìm α để các tp sau HT