PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
GIÁO VIÊN : Hoaøng Sôn Haûi
12&ÔN THI ĐẠI HỌC

TÍCH PHÂN
TÍCH PHÂN
DẠNG I- TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG Đ.N:
PP :
1)Nếu [F(x)]’ = f(x) thì F là 1 nguyên hàm của f(x) .
2)Các nguyên hàm của f(x) có dạng : F(x) + C
Kí hiệu : f(x)dx = F(x) + C
NGUYÊN HÀM
3)Tính chất :
a) kf(x)dx = kf(x)dx
b) [f(x)  g(x)]dx = f(x)dx  g(x)dx .
Ta có: (x2)’=2x=>x2 là 1 nguyên hàm của 2x
Ngoài ra: 2x cũng có nguyên hàm là x2+1;x2-2;…
(x2)’=2x=>nguyên hàm của 2x là x2
(x2+c)’=2x=>nguyên hàm của 2x là x2+c;
Ký hiệu: 2xdx=x2+c
Bài 1 : Tính nguyên hàm của
A = (8x3 -3x2+ 2x – 5)dx
=2x4 – x3 + x2 – 5x + C
Bài 2: tinh
a)ex(3 – 2e-x)dx
= (3ex -2)dx=(3ex- 2x)+c
b) (24x.3x)dx
= (243)xdx = 48xdx =
= 3[4cos3(x/3)- 3cos(x/3)]dx=3cos3(x/3)dx
=3cosxdx= 3sinx + c
d) tg2xdx
d) tg2xdx
= tgx – x + c
= [2(1 –cosx)+ sinx]dx= sinx -2cosx+2)dx
=2x – 2sinx- cosx+ c
=tanx-cotx+c
Bài 3)Tìm nguyên hàm F(x) biết f(x)=sinx.cos2x và F(/4)
Ta có : f= (sin3x – sinx)/2
F(/4)=0-cos(3/4)/6+ cos(/4)/2+c=0
c=
Bài 4: Tìm nguyên hàm
Đặt t =
Đặt t =
Đặt t=
=>t4=1 –x2=>4t3dt = -2xdx
=>xdx = -2t3dt
F=t.(-2t3dt)=-2t4dt =-2t5/5+c
Đặt t =
F=2dt/t2 = -2/t +c
Bài 5: Tính x(x-1)7dx=A
Đặt t = x – 1x = t+1=> dt = dx
A=(t+1)t7dt= (t8+t7)dt
Bài 6: Tìm nguyên hàm
a)f=xsin(x/2)
F(x)=uv - vdu = -2xcos(x/2) + 2cos(x/2)dx
=-2xcos(x/2) + 4sin(x/2) + c
b)f=x2cosx
F(x)=x2sinx - 2xsinxdx
b)f=x2cosx
F=x2sinx – 2xsinxdx
F=x2sinx– 2xsinxdx= x2sinx– 2(-xcosx+2cosxdx)
=x2sinx – 2(-xcosx+2sinx)+c
c)f=x3ln(2x)
c)f=x3ln(2x)
F=(x4/4)ln(2x)– (x3/2)dx = (x4/4) ln(2x) – x4/8 + c
Đặt t =
=>t2= 7 - 3x2=>2tdt= -6xdx
=>3xdx=-tdt
F=(-t2)dt= -t3/3 + c
F(x)=
DẠNG 1 :TÍCH PHÂN BẰNG Đ.N VÀ TÍNH CHẤT
PP:
; F là 1 ng. hàm of f(x)
2)Các tính chất tích phân như TP bất định
TÍCH PHÂN
5)Lập bảng dấu phá trị tuyệt đối
đối với hs chứa trị tuyệt đối
Bài 8:Tính
Bài 9:
DẠNG II-PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Đổi cận
Bài 10: Tính tich phân
Đặt t = x2+4=>dt=(x2+4)’dx= 2xdx
=>xdx= dt/2
Đổi cận
Bài 10:
Đặt t = 1–cos3x=>dt = 3sin3xdx
Đặt
Đổi cận
Bài 10:
=>x2= t2 -1=>2xdx=2tdt
Bài 11:
Đặt t = x4 -1=>dt = 4x3dx
=>x3dx= dt/4
Đặt t = x2 -3x+1=>dt=(2x -3)dx
Đặt t = x2 – x + 5=>dt = (2x -1)dx
=3ln(11/5)
Đặt
Đặt t = (3ex+1)=>dt = 3exdx=>exdx=dt/3
Đặt t = (sinx –cosx)=>dt= (cosx +sinx)dx
Đặt t = (1+lnx)=>dt=dx/x
Đặt t = (1+lnx)=>dt=dx/x
Đặt t = 1+sin2x=>dt = 2cos2xdx=>cos2xdx= dt/2
Đặt t = cosx=> dt = -sinxdx
Đặt t = x+3=>x = t – 3 =>dx = dt
Đặt t = lnx=>dt = dx/x
Đặt
=e1/2 - 1
Đặt
Đặt t = tgx=> dt = dx/(cos2x)
Đặt
Bài 12:
Bài 12:
Đặt
Đặt
=>C=
C2:
Đặt u = cost=>du = -sintdt
Đặt x = 2sint=>dx = 2costdt
=>dx=tdt
Đặt
cos2x=1-sin2x
Đặt
Đặt t= lnx=>dt=dx/x
Đặt t = sinu=>dt=cosudu
Đặt t= lnx=>dt=dx/x
Đặt t= ex =>dt=exdx
Đặt t = tgu=>dt=(1+tg2u)du
Đặt t= ex =>dt=exdx
Đặt t= ex =>dt=exdx
Đặt
Đặt
=>2tdt=(-2a2cosxsinx+2b2sinxcosx)dx
=>sinxcosxdx=tdt/(b2-a2)
Đặt t=(3/2)x=>dt=(3/2)xln(3/2) dx
b12
Đặt t= 1+xexxex = t – 1
=>(1+xex)’dx=dt(x+1)exdx=dt
Bài 13: f liên tục trên [a;b]. Cm:
Đặt t = a+b –x=>dt = -dx
Bài 13: f liên tục trên [a;b]. Cm:
Đặt t = a+b –x=>dt = -dx
Áp dụng :
a=0;b=/4=>a+b-x= /4-x;theo cmt
Bài 14:cm
Đặt t= -x=>dt=-dx
Nếu f lẻ=>f(-t)=-f(t)
Bài 14:
Đặt t= -x=>dt=-dx
a)Nếu f lẻ=>f(-t)=-f(t)
b)Nếu f chẵn=>f(-t)=f(t)
Áp dụng: tính
=>f(x) liên tục trên [-1;1]
=>C=0
Áp dụng: tính
=>f(x) liên tục trên [-1;1]
=>f lẻ=>C=0
Txđ: R(vì x4-x2-120;x[-1;1])
=>f liên tục trên [-1;1]
f(x)=…=f(x)=> f chẵn
Đặt t = x2=>dt = 2xdx
Giả sử cần tìm I = f(x)dx và J = g(x)dx
Nếu [nf(x) + mg(x)]dx và [pf(x) + qg(x)]dx
Bằng cách giải hệ ta tìm được I, J .
DẠNG 3 : PP TÍCH PHÂN BẰNG LIÊN KẾT
Bài 15:
Bài 15:
Ta có :
Đặt t= /2-x=>dt = - dx
Vậy: I=J=/4
DẠNG IV-TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Để tính I = f(x)dx ta làm như sau :
+)Chọn u và dv thích hợp sao cho:udv=f(x)dx
+)Tìm du = u’dx ; v = dv

+)I =
Tổng Quát:
Có thể thay u = x bởi u = P(x); P là đa thức
Bài 16:
Bài 17:
=>B=e/2
Bài 18:
Đặt t = 3+2xx=(t -3)/2=>dx=dt/2
TỔNG HỢP
=>12x=a(x2-4)+b(x+1)(x+2)+c(x+1)(x-2)(*)
+)x=-1=>-12=-3aa = 4
+)x=2=>24=12bb=2
+)x=-2=>-24=4cc=-6
C2: (*)(a+b+c)x2+(3b-c)x-4a+b-2c=0x2+12x+0
Đặt x = 2tgt=>dx=2(1+tg2t)dt
Đặt x = 2tgt=>dx=2(1+tg2t)dt
Đặt x+1/2 = 3tgt/2=>dx=3(1+tg2t)dt/2
Đặt t = 3tgu=>dt=3(1+tg2udu)
Đặt u=t+1=>t=u -1=>dt=du
C2: Đặt x = cos2t=>dx=-2sin2tdt
C2: Đặt x = cos2t=>dx=-2sin2tdt
Bài 19:
Đặt t = sinx=>dt=cosxdx
Đặt t = cosx=>dt= -sinxdx
Đặt t =tg(x/2)=>dt=(1/2)[1+tg2(x/2)]dx=>dx=2dt/(1+t2)
Đặt t = sinx=>dt=cosxdx
Đặt t =cosx=>dt= - sinxdx
Bài 20:
t=tgx=>dt=(1/cos2x)dx
Ta có:
t=sinx=>dt = cosxdx
2x-1=3tgt=>2dx = 3(1+tg2t)dt
Bài 21:
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Cho đường cong (C) : y = f(x) và (C’) : y = g(x)
I-Diện Tích Hình Phẳng:
1)Diện Tích H.Thang Giới Hạn Bởi (C)và:Ox;x=a;x=b
S = ab| f(x) | dx
Cho đường cong (C) : y = f(x) và (C’) : y = g(x)
I-Diện Tích Hình Phẳng:
1)Diện Tích H.Thang Giới Hạn Bởi (C)và:Ox;x=a;x=b
S = ab| f(x) | dx
2)Diện Tích Hình Thang Giới Hạn Bởi (C) và: Ox :
S = ab|f(x)|dx

+)Gpt f(x)=0 tìm nghiệm:x=a, x=b (a+) S = ab | f(x) | dx
3)Hình Phẳng Giới Hạn Bởi (C),(C’) Và x=a;x=b:
S = ab|f(x)–g(x)|dx

Để tính S ta thực hiện 1 trong 3 cách như 1)
4)Hình Phẳng Giới Hạn Bởi (C) Và (C’) :
+)Tìm h.độ g/đ: f(x)=g(x), nghiệm x=a;x=b(a< b)
S = ab|f(x)–g(x)|dx

5)Hình phẳng giới hạn bởi hỗn hợp đường :
Chia hình phẳng thành các hình con 1 cách
thích hợp để việc áp dụng 1 cách đơn giản .
1.Tính S g.hạn bởi:
a)(C):y=x2- 4x+3;ox;x=0;x=4
S=04|x2-4x+3|dx
S=01(x2-4x+3)dx- 13(x2-4x+3)dx+34(x2-4x+3)dx
=
b)y=sinx;0x;x=/2;x=3/2
x2-4x+3=0x=1;x=3
Diện Tích H.Thang Giới Hạn Bởi (C)và:Ox;x=a;x=b
S = ab| f(x) | dx
c)(C):y=(x-2)2/(x-1);0x;x=2;x=4
d)y=x4/2-x2-3/2;0x
Pt h.đgđ: x4/2-x2-3/2=0x=3
=ln3-1
e)x=4–y2;0y;y=-2;y=2
f)x=y2-4y và 0y
f)x=y2-4y và 0y
Pt tung độ giao điểm: y2-4y=0y=0;y=4
Bài 2: Tính S
a)y=x2+2x;d:y=x+2
Pt hđgđ:x2+2x=x+2x2+x- 2 = 0x=1;x = - 2
b) ;tcx;x=2;x=4
=>t.cx y = -x+3
c)y=x2-2x và 2 tt tại 0 và A(3;3)
c)y=x2-2x và 2 tt tại 0 và A(3;3)
f’=2x-2
+)tại (0,0), f’(0)=-2
Pttt là: y=f’(x0)(x-x0)+y0
=>(d):y=-2x
+)tại (3,3), f’(3)=4
=>(d’):y=4x-9
Pt hdgd của d và d’:-2x=4x-9x=3/2
A
d)y2 =2x và d:2x –y – 2=0
(P):x=y2/2; d:x=(y+2)/2
Pt tung độ gđ:
Bài 3: S
a)(c): y=sin2x+x và d:y=x;0x
Pt hdgd: sin2x+x=xx=k
b)y2=2x;27y2=8(x-1)3
(c):x=y2/2;
Do pt (c) và (c’) chẵn với y nên
hình phẳng có trục đ.x 0x
=> trước hết ta xét y>0
Pt tung độ gđ:
t=2(t>0)y=22
(c),(c’) lần lượt cắt 0x tại x=0;x=1
c)y2=2x và phần chung với đtròn
(c’):x2+y2=8
Giải hệ toạ độ giao điểm ta có:
x=2;x=-2
Gọi S1 là diện tích hình tròn g.h bởi (c)
phía bên phải 0x;S2 là phần còn lại
Do hình phẳng có 0x là trục đ.x=>ta xét phần y0
Đặt x=22sint=>dx= 22costdt
3.Tính V giới hạn bởi hình phẳng sau quay xq 0x
a)P:y=x2;y=0;x=0;x=1
b)y=x2-2x;y=0
Pt hdgd:x2-2x=0x=0;x=2
c)y=1/cosx;0x;x=0;x=/4
d)y=4/(x-4);0x;x=0;x=2
d)y=4/(x-4);0x;x=0;x=2
e)y=x2;y=2x
Pt hdgd:x2=2xx=0;x=2
V=|V1-V2|=64/15
f)Hình tròn giới hạn x2+(y-1)2=1
f)Hình tròn giới hạn x2+(y-1)2=1
Đặt x-sint=>dx=costdt
3.Tính diện tích giới hạn
a)d:y=x;d’:y=1;P:y=x2/4, miền x0;y1
Pt hđgđ P và d: x2/4=xx=0;x=4
b)x=4-4y2;x=1-y4
Pt tung độ gđ:y4-4y2+3=0
Do 0x là trục đ.x nên:
Pt hđgđ P và d’: x2/4=1x=2(x>0)
Pt hđgđ d và d’: x=1
3.Tính diện tích giới hạn
a)P:y=4-y2;y=-x+2
Pt tungđgđ:4-y2=2-yy2-y-2=0y=-1;y=2
d:x=2-y
b)x=4-4y2;x=1-y4
Pt tung độ gđ:y4-4y2+3=0
Do 0x là trục đ.x nên:
(khoiA02):Tính S hình phẳng giới hạn bởi :y=|x2–4x+3|, y=3
Pt hđộ gđ:|x2–4x+3|=3
x=0; x=4
34)(ĐH B07):Tính thể tích do hình phẳng giới hạn bởi y=xlnx, y=0, x=e quay xq Ox .
35)(CĐ A08): Tính diện tích giới hạn bởi y= -x2 + 4x và y=x.
(ĐH B02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
34)(ĐH B07):Tính thể tích do hình phẳng giới hạn bởi y=xlnx, y=0, x=e quay xq Ox .
35)(CĐ A08): Tính diện tích giới hạn bởi y= -x2 + 4x và y=x.
31)(A02): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :y=|x2–4x+3|, y=3
32)(ĐH B02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y=