SỞ GD&ĐT BÌNH ĐỊNH
PHÒNG GD&ĐT TP. QUY NHƠN
TRƯỜNG THCS LÊ HỒNG PHONG

CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI BÀI HỌC HÔM NAY!

Năm học: 2024 - 2025

CÂU HỎI TÌNH HUỐNG

CHƯƠNG V: ĐƯỜNG TRÒN
BÀI 3: TIẾP TUYẾN CỦA
ĐƯỜNG TRÒN

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

2

TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU

1. NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA

ĐƯỜNG TRÒN

Cho đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Gọi H là hình chiếu của tâm O lên đường thẳng a.
a) So sánh khoảng cách OH từ tâm O lên đường thẳng
a và bán kính R.

O
R
a

H

b) Điểm H có thuộc đường tròn (O; R) hay không?
c) Điểm H có phải là tiếp điểm của đường thẳng a và đường tròn (O; R)
hay không?
d) Đường thẳng a có vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm hay không?
a) Vì đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên khoảng cách OH từ
tâm O đến đường thẳng a bằng bán kính R. Vậy OH = R.

Cho đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Gọi H là hình chiếu của tâm O lên đường thẳng a.
a) So sánh khoảng cách OH từ tâm O lên đường thẳng
a và bán kính R.

O
R
a

H

b) Điểm H có thuộc đường tròn (O; R) hay không?
c) Điểm H có phải là tiếp điểm của đường thẳng a và đường tròn (O; R)
hay không?
d) Đường thẳng a có vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm hay không?
b) Vì OH = R nên điểm H  (O; R).

Cho đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Gọi H là hình chiếu của tâm O lên đường thẳng a.
a) So sánh khoảng cách OH từ tâm O lên đường thẳng
a và bán kính R.

O
R
a

H

b) Điểm H có thuộc đường tròn (O; R) hay không?
c) Điểm H có phải là tiếp điểm của đường thẳng a và đường tròn (O; R)
hay không?
d) Đường thẳng a có vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm hay không?
c) Điểm H là điểm chung của đường thẳng a và đường tròn (O; R)
nên H là tiếp điểm của đường thẳng a và đường tròn (O; R).

Cho đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
Gọi H là hình chiếu của tâm O lên đường thẳng a.
a) So sánh khoảng cách OH từ tâm O lên đường thẳng
a và bán kính R.

O
R
a

H

b) Điểm H có thuộc đường tròn (O; R) hay không?
c) Điểm H có phải là tiếp điểm của đường thẳng a và đường tròn (O; R)
hay không?
d) Đường thẳng a có vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm hay không?
d) Đường thẳng a vuông góc với bán kính OH đi qua tiếp điểm H.

NHẬN XÉT

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì
đường thẳng đó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O; 3cm)
thỏa mãn OM = 5 cm. Đường thẳng MN đi qua M và tiếp xúc

O

với đường tròn (O) tại N.

N

a) Tam giác OMN có phải là tam giác vuông không? Vì sao?
b) Tính độ dài đoạn MN
a) Vì đường thẳng MN đi qua M và tiếp xúc với (O) tại N
Giải
nên ON  MN tại N. Suy ra tam giác OMN vuông tại N.
b) Áp dụng định lí Pitago vào V MON , có: OM2 = ON2 + MN2
Suy ra 52 = 32 + MN2 .
Do đó: MN2 = 52 – 32 = 16
Vậy MN = 4 (cm)

M

Cho ba điểm A B C thẳng hàng trong đó b nằm
giữa A và C đường tròn O tiếp xúc với đường thẳng

O

AB và C. Chứng minh: OA2 + BC2 = OB2 + AC2
A

Giải

B

C

Vì đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng AB tại C nên OC ⊥ AC tại C.
Xét ∆OAC vuông tại C, ta có: AO2 = AC2 + CO2 (định lí Pythagore).
Suy ra CO2 = AO2 – AC2.
Xét ∆OBC vuông tại C, ta có: BO2 = BC2 + CO2 (định lí Pythagore).
Suy ra CO2 = BO2 – BC2.
Do đó AO2 – AC2 = BO2 – BC2 hay AO2 + BC2 = BO2 + AC2.

Cho đường thẳng a và đường tròn (O; R) thỏa
mãn đường thẳng a đi qua điểm H thuộc đường tròn

O
R

(O;R) và a vuông góc với OH. Lấy điểm N thuộc đường
thẳng a và N khác H

a

H

N

a) So sánh khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a và bán kính R.
b) Giả sử N là điểm thuộc đường thẳng a và N khác H. So sánh ON và R.
Điểm N có thuộc đường tròn (O; R) hay không?
c) Đường thẳng a có phải là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) hay không?
a) Vì OH ⊥ a tại H nên khoảng cách từ O đến đường thẳng a là OH = R.

Cho đường thẳng a và đường tròn (O; R) thỏa
mãn đường thẳng a đi qua điểm H thuộc đường tròn

O
R

(O;R) và a vuông góc với OH. Lấy điểm N thuộc đường
thẳng a và N khác H

a

H

N

a) So sánh khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a và bán kính R.
b) Giả sử N là điểm thuộc đường thẳng a và N khác H. So sánh ON và R.
Điểm N có thuộc đường tròn (O; R) hay không?
c) Đường thẳng a có phải là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) hay không?
b) Ta có ON, OH lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ O
đến đường thẳng a nên ON > OH hay ON > R.
Do đó điểm N nằm ngoài đường tròn (O; R).

Cho đường thẳng a và đường tròn (O; R) thỏa
mãn đường thẳng a đi qua điểm H thuộc đường tròn

O
R

(O;R) và a vuông góc với OH. Lấy điểm N thuộc đường
thẳng a và N khác H

a

H

N

a) So sánh khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a và bán kính R.
b) Giả sử N là điểm thuộc đường thẳng a và N khác H. So sánh ON và R.
Điểm N có thuộc đường tròn (O; R) hay không?
c) Đường thẳng a có phải là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) hay không?
c) Vì a  OH tại điểm H nên a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại H.

ĐỊNH LÍ

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của một
đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua
điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của
đường tròn.

Cho đường tròn (O) và điểm M thuộc đường tròn. Hãy nêu
cách vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm M
Giải

d

Vẽ đường thẳng d đi qua M và vuông góc với OM.

M

Vì M  (O; OM) và d ⊥ OM tại M
nên đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O)

O

Cho đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài nhau tại điểm I. Gọi d
là tiếp tuyến của (O; R) tại điểm I. Chứng minh d là tiếp tuyến của (O'; R').
d

Giải
O

I
R

R'

O'

Vì đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài nhau
tại I nên O, I, O' thẳng hàng và I nằm giữa O và O'.
Vì đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại I nên d ⊥ OI tại I.
Do đó d ⊥ O'I tại I, mà I  (O'; R') nên d là tiếp tuyến của (O'; R').

Cho đường tròn (O) và điểm I ở ngoài đường tròn. Gọi M là giao
điểm của đường tròn (K) đường kính IO và đường tròn (O). Chứng minh
IM là tiếp tuyến của (O) tại M.
Giải

M
I

K

O

Vì OI là đường kính, KM là bán kính của (K) nên KM = OI.
Xét ∆OIM có KM = OI nên ∆MOI vuông tại M. Suy ra IM ⊥ OM tại M.
Vì M  (O) và IM ⊥ OM tại M nên IM là tiếp tuyến của (O) tại M

NHẬN XÉT

Cho điểm I nằm ngoài (O). Ta có thể vẽ đường
thẳng đi qua I và tiếp xúc với (O) như sau:
- Vẽ trung điểm K của đoạn OI.
- Vẽ (K; OK) cắt (O) tại một giao điểm M.
Khi đó IM là tiếp tuyến cần vẽ

Cho hai đường tròn (O), (O') cắt nhau tại hai điểm
A, B sao cho đường thẳng OA là tiếp tuyến của đường
tròn (O'). Chứng minh đường thẳng O'B là tiếp tuyến (O).
Giải

Vì (O), (O') cắt nhau tại A và B nên

OA = OB và O'A = O'B.
Xét ∆OAO' và ∆OBO' có: OA = OB; O'A = O'B; OO' là cạnh chung
Do đó ∆OAO' = ∆OBO' (c.c.c).


Suy ra OAO
  ' OBO ' (hai góc tương ứng).
0

Lại có, OA là tiếp tuyến của (O') nên OA ⊥ AO' tại A hay OAO ' 90
0

OBO
'

90
Do đó 
hay OB ⊥ BO' tại B nên O'B là tiếp tuyến của (O).

2. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP

TUYẾN CẮT NHAU

M

Cho đường tròn (O; R). Các đường thẳng c, d lần lượt tiếp

A

xúc với đường tròn (O; R) tại A, B và cắt nhau tại M
a) Các MOA và ΔMOB có bằng nhau không?
b) Hai đoạn thẳng MA và MB có bằng nhau không?

B
O

c

c) Tia MO có phải là tia phân giác của góc AMB hay không?
d) Tia OM có phải tia phân giác của góc AOB hay không?

d

a) Các MOA và ΔMOB có bằng nhau không?

M

a) Vì đường thẳng c, d lần lượt tiếp xúc với đường
0


tròn (O; R) tại A, B nên MAO  MBO 90

A

Xét V MOA và V MOB có:
OA = OB = R (A, B (O; R));
OM là cạnh chung.

B
O

c

Do đó V MOA = V MOB (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
b) Hai đoạn thẳng MA và MB có bằng nhau không?
Vì ∆MOA = ∆MOB nên MA = MB (hai cạnh tương ứng).

d

M

c) Tia MO có phải là tia phân giác của góc AMB không?


AMO

BMO
Vì ∆MOA = ∆MOB nên 
(hai góc tương ứng)


Do đó MO là phân giác của AMB

A
O

c

d) Tia OM có phải tia phân giác của góc AOB hay không?


AOM

BOM
d) Vì ∆MOA = ∆MOB nên 
(hai góc tương ứng)


Do đó OM là phân giác của AOB .

B

d

NHẬN XÉT

Góc AOB được gọi là góc tạo bởi hai bán kính đi
qua hai tiếp điểm. Góc AMB được gọi là góc tạo bởi
hai tiếp tuyến.

ĐỊNH LÍ
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau
tại một điểm thì:
+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm;
+ Tia kể từ điểm đó đi qua tâm đường tròn là tia
phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến;
+ Tia kể từ tâm của đường tròn đi qua điểm đó là
tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua
các tiếp điểm.

Một chiếc gương có dạng hình tròn được treo bằng hai sợi dây
không dãn, mỗi sợi dây đều tiếp xúc với gương. Biết tổng độ dài hai dây
0

treo là 6 dm và góc giữa hai sợi dây là 60 . Hỏi bán kính của chiếc gương
là bao nhiêu dm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Giả sử chiếc gương được minh họa bởi đường tròn (O),
hai sợi dây treo là hai tiếp tuyến cắt nhau MA, MB của (O),
0

trong đó MA + MB = 6 dm và AMB 60
Vì MA, MB là các tiếp tuyến của (O) nên
0


MA = MB = 3 dm và OMA OMB 30
Xét V MOA có

3

OA  MA.tan OMA 3.tan 30 3.
1, 73 dm 
3
0

Vậy bán kính của chiếc gương là khoảng 1,73 dm

Cho đường tròn (O;R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Hai đường
0

thẳng c, d qua M lần lượt tiếp xúc với (O) tại A, B. Biết AMB 120.
Chứng minh AB=R.
Giải Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của (O; R)
0


OAM

OBM

90
nên OA = OB = R và
Xét tứ giác OAMB có: 
0




AOB  OAM  OBM  AMB 360
0
0
0
0

 AOB  90  90  120 360
0
0
0
0
0

 AOB 360  90  90  120  60
Vì OAB có OA = OB = R và
 nên OAB là tam giác đều.
Do đó AB = OA = OB = R.

0

AOB 60

Cọp ơi!
Cậu ở đâu thế ?

Tiếp tuyến của đường tròn là:
B. Đường thẳng
vuông góc với
bán kính của
đường tròn
A. Đường thẳng đi
qua một điểm của
đường tròn và vuông
góc với bán kính tại
điểm đó

D. Đường thẳng
cắt đường tròn
và vuông góc với
bán kính
C. Đường thẳng
có hai điểm chung
với đường tròn

Cho tam giác ABC có AB = 6;
AC= 8; BC= 10. Trong các câu
sau, câu nào sai?
B. BC là tiếp
tuyến của (A; 6)
A. AC là tiếp
tuyến của (B; 6)

D. tam giác ABC
vuông tại A
C. AB là tiếp
tuyến của (C; 8)

Cho hai tiếp tuyến của một
đường tròn cắt nhau tại một
điểm. Chọn khẳng định sai?
B. Tia nối từ tâm tới điểm
đó là tia phân giác của góc
tạo bởi hai bán kính.
A. Khoảng cách từ điểm
đó đến hai tiếp điểm là
bằng nhau.

D. Tia nối từ điểm đó tới
tâm là tia phân giác của
góc tạo bởi tiếp tuyến.
C. Tia nối từ điểm đó tới
tâm là tia phân giác của
góc tạo bởi hai bán kính

Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt
nhau tại A. Biết OB = 3cm; OA = 5cm. Vẽ đường
kính CD của (O). Tính BD
B.
BD = 4cm
A.
BD = 2cm

C.
BD = 1,8 cm

D.
BD = 3,6cm

Bài 1/ 109 SGK: Ròng rọc là một loại máy cơ đơn
giản có rãnh và có thể quay quanh một trục, được
sử dụng rộng rãi trong công việc nâng lên và hạ
xuống vật nặng trong cuộc sống. Trong Hình 41a
có một sợi dây không giản vắt qua ròng rọc.
Giả sử ròng rọc được minh họa bởi đường tròn (O),
sợi dây vắt qua ròng rọc được minh họa bởi nửa
đường tròn MtN và hai tiếp tuyến Ma, Nb của đường tròn (O) (Hình 41b).
Chứng minh Ma//Nb.
Giải
Vì Ma,Nb là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên Ma⊥MN và Nb⊥MN.
Suy ra Ma//Nb

Bài 2/ 110 SGK: Cho đường tròn (O) và dây AB. Điểm M nằm ngoài đường
1
^
^

𝑀𝐴𝐵=
𝐴𝑂𝐵
MAO
tròn (O) thỏa mãn điểm B nằm trong
và
.
2
Chứng minh đường thẳng MA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
O

B

M

Giải


180

AOB

Vì ΔOAB cân tại O ( OA = OB) nên BAO 
2
0

180

AOB 1 



 AOB
Lại có MAO OAB  BAM 
2
2
1
1
0
0
90  AOB  AOB 90
2
2
0

A

Vậy đường thẳng MA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 3/ 110 SGK: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Hai
đường thẳng c, d đi qua điểm M lần lượt tiếp xúc với (O) tại A,B. Tia phân giác

MAB

Giải
cắt MO tại I. Chứng minh điểm I cách đều ba đường thẳng MA, MB và AB
Do MA, MB là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c

O

I

A
d

^
nên MO là tia phân giác của 𝐴 𝑀 𝐵

B

M

^
Xét ΔAMB có:AI là tia phân giác của 𝐴 𝑀 𝐵
^
MI là tia phân giác của 𝑀𝐴𝐵(I  MO)
I là giao điểm của 3 đường phân giác ΔAMB. Vậy I
cách đều MA,MB,AB

Bài 4/ 110 SGK:

Giải

Bài 4/ 110 SGK:

5
 6400 6400, 005 km 
Ta có: AO  AB  BO 
1000
Áp dụng định lý Pythagore vào ΔAOC vuông tại C có:
2

2

2

AO  AC  CO
2
2
2
 AC  AO  CO
2

6400, 005  6400
64,000025
 AC 8 km 

2

Bài 5/ 110 SGK: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và các đường thẳng
m,n,p lần lượt tiếp xúc với đường tròn tại A, B, C. Chứng minh:
a) AD + BE = DE.
1
1


b) COD  COA và COE  COB
2
2
c) Tam giác ODE vuông.
OD
.
OE
d)
 R.
DE

E
D

C

p
A
O

m

B

n

Bài 5/ 110 SGK:

E

a) Chứng minh: AD + BE = DE.
Do DC,DA là tiếp tuyến của đường tròn (O)
nên DA = DC.

D

C

p
A
O

Do EC,EB là tiếp tuyến của đường tròn (O)

B

nên CE = BE.
Lại có: DE = DC + CE = DA + EB ( Đpcm)

m

n

Bài 5/ 110 SGK: Chứng minh:
1
1


b) COD  2 COA và COE  COB
2
+ Vì DC,DA tiếp tuyến của đường tròn (O)


nên OD là tia phân giác của COA

1

 COD  COA
2
+Vì EC,EB là tiếp tuyến của đường tròn (O)


nên OE𝑂𝐸 là tia phân giác của COB
1

 COE  COB
2

E
D

C

p
A
O

m

B

n

Bài 5/ 110 SGK: Chứng minh:
c) Tam giác ODE vuông.
0


Ta có: AOC  COB 180 (hai góc kề bù).
0


 2COD  2COE 180





E

0


 2 COD  COE 180





0


 COD  COE 90
0

 DOE 90

D

C

p
A
O

B

Vậy tam giác ODE vuông tại O.
m

n

Bài 5/ 110 SGK: Chứng minh:
OD.OE
 R.
d)
DE
Xét ΔODE vuông tại O, đường cao OC có:

2 SODE  DO.OE CO.DE
 DO.OE  R.DE
DO.OE

 R.
DE

E
D

C

p
A
O

m

B

n

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
+ Ghi nhớ : Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
và tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn.
+ Hoàn thành bài tập: 1; 2; 3; 4; 5 SGK trang 110.
+ Chuẩn bị bài mới: “Bài 4: Góc ở tâm. Góc nội tiếp ”.

CẢM ƠN CÁC EM
ĐÃ LẮNG NGHE BÀI HỌC!