kính chào
Thầy cô giáo
Và các em học sinh
tính lồi, lõm và điểm uốn của
đồ thị hàm số
1. Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn
O
A
B
C
y
x
a
c
b
Cung AC: cung lồi, khoảng (a;c): khoảng lồi
Cung CB: cung lõm, khoảng (c;b): khoảng lõm
Điểm C: điểm uốn
2. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn
Ví dụ: Tính đạo hàm cấp hai và xét dấu đạo cấp hai của hàm số: y = 2x3 - 3x2
Giải:
+ TXĐ : D = R
+ y` = 6x2 - 6x
y`` = 12x - 6, y`` = 0 ? x = 1/ 2 f(1/2)=-1/2
Dấu y``



x
-∞
+∞
1/2
y``
Đồ thị
-
+
0
(1/2;-1/2)
lồi
lõm
Đ.uốn


Định lý 1: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên khoảng (a;b)
1. Nếu f``(x)<0 với mọi x thuộc (a;b) thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó.
2. Nếu f``(x)>0 với mọi x thuộc (a;b) thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.

Định lý 2: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên một lận cận nào đó của điểm x0 và có đạo hàm cấp 2 trong lân cận đó. Nếu đạo hàm cấp 2 đổi dấu khi x đi qua x0 thì điểm M(x0;f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.
Qui tắc Gồm các bước sau:
Tính y``
2. Xét dấu y``
3. Từ bảng xét dấu y``, suy ra tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số
Bài tập 1 Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 3x + 2, đồ thị hàm số:

A. luôn luôn lồi trên R
B. luôn luôn lõm trên R
C. lồi trên khoảng (-?;2), lõm trên khoảng (2;+?)
D. lõm trên khoảng (-?;2), lồi trên khoảng (2;+?)


C
Bài tập 2: Cho hàm số y = 2x3 - 6x2 + 2x, điểm uốn của đồ thị hàm số là:
A. (1;2)
B. (2;1)
C. (-1;2)
D. (1;-2)
Nếu có nhiều điểm thỏa mãn hàm số, phải thử xem hoành độ của điểm nào là nghiệm của PT y``=0.
Bài tập 3: Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số y = x4 - 6x2 + 3
Giải:
+ TXĐ: D=R
+ y`= 4x3 - 12x
y``= 12x2 - 12, y``=0 ? x = 1, x = -1
Dấu y``
x
y``
ĐT
-?
+?
1
-1
0
0
+
-
+
-2
-2
lõm
Lồi
lõm
Đ.uốn
Đ.uốn
Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo và các em học sinh.