Y
O
X
M
M
C
A
B
a
c
b
1. Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn.
Xét đồ thị ACB của hàm số y = f(x) biểu diễn trong hình dưới đây.
Ta giả thiết rằng tại mọi điểm của nó, đồ thị đã cho đều có tiếp tuyến .
Gọi a, b, c tương ứng là hoành độ của các điểm A, B, C .
Y
O
M
M
C
A
B
a
c
b
AC là một cung lồi, khoảng (a;c) được gọi là khoảng lồi của đồ thị.
CB laø moät cung loõm, khoaûng (c;b) ñöôïc goïi laø khoaûng loõm cuûa ñoà thò.
Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn.
Điểm C của đồ thị trong hình vẽ trên là một điểm uốn.
X
2. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn.
Định lí 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên
Khoảng (a;b).
Nếu f``(x) < 0 với mọi x? (a;b) thì đồ thị của hàm số lồi trên
khoảng đó.
2) Neáu f’’(x) > 0 vôùi moïi x  (a;b) thì ñoà thò cuûa haøm soá loõm treân
Khoaûng ñoù .
Định lí 2. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó
của điểm x0 và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó (có thể
trừ tại điểm x0 ). Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua x0 thì
M0 (x0 ; f(x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.
Chứng minh đ/ lí 2
Giả sử f``(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0
x
f``(x)
Đồ thị của
hàm số
x0 - ?
x0
x0 + 

_
+
M0 (x0;f(x0))
lồi
lõm
Vậy điểm M0 (x0;f(x0)) là điểm uốn của đồ thị .
Chú ý: Tại điểm uốn tiếp tuyến phải xuyên qua đồ thị .
Ví dụ 1: Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số
y = x3 - 3x2 - 9x + 2


Giải
Taäp xaùc ñònh: R.
Ta coù: y’ = 3x2 – 6x – 9
y’’ = 6x – 6 ; y’’ = 0  x = 1 .
Baûng xeùt daáu y’’ :
x
y’’
Đồ thị của
hàm số
- 
1
+
_
+
Điểm uốn
C (1;- 9 )
lồi
lõm
0
Ví dụ 2 . Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số
y =
Giải
Tập xác định : R
Ta coù : y’ =
xác định với mọi x ? 0 .
y’’ =
xác định với mọi x ? 0 .
Baûng xeùt daáu y’’ :

x
y``
Đồ thị của
hàm số
- ?
0
+
+
Điểm uốn
C (0; 0 )
lồi
lõm
_
Ví dụ 3 . Tìm các khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số

y =

Giải
Tập xác định : R { 0} .
y’ =
xác định với mọi x ? 0 .

y’’ =
xác định với mọi x ? 0 .

Baûng xeùt daáu y’’ :
x
y``
Đồ thị của
hàm số
- ?
0
+
+
lồi
lõm
_