Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
3
2 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM
ĐA THỨC BẬC BA

3 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
BÀI TẬP

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
y

Một đơn vị sản xuất hàng tiêu dùng
ước tính chi phí để sản xuất đơn vị
sản phẩm là (triệu đồng). Khi đó, chi
3
phí trung bình cho mỗi đơn vị sản
phẩm là . Hãy giải thích tại sao chi phí
trung bình giảm theo nhưng luôn lớn
hơn 2 triệu đồng/sản phẩm. Điều này
thể hiện trên đồ thị của hàm số trong
Hình 1.27 như thế nào?

𝐶 (𝑥 )
𝑓 ( 𝑥)=
𝑥
2

3

x

O
Hình 1.27

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
HĐ1. Làm quen với việc
khảo sát và vẽ đồ thị hàm
số
Cho hàm số . Thực hiện
lần lượt các yêu cầu sau:
a) Tính và tìm các điểm
tại đó .
b) Xét dấu để tìm các
khoảng
đồng
biến,
khoảng nghịch biến và
cực trị của hàm số.
c) Tính và lập bảng biến
thiên của hàm số.
d) Vẽ đồ thị của hàm số

Lời giải
a

𝑥 −∞

𝑓 '(𝑥)
b)

¿ 0⟺ 𝑥=2
2
−
0

+¿

+∞

3

Hàm số đồng biến trên khoảng
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
Hàm số đạt cực tiểu tại và
c)
2
lim 𝑦 = lim ( 𝑥 − 4 𝑥+ 3 ) =+ ∞

𝑥 → −∞

𝑥 →− ∞

𝑥 →+∞

𝑥 →+ ∞

2
lim 𝑦 = lim ( 𝑥 − 4 𝑥 +3 )= +∞

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
HĐ1. Làm quen với việc
khảo sát và vẽ đồ thị hàm
số
Cho hàm số . Thực hiện
lần lượt các yêu cầu sau:
a) Tính và tìm các điểm
tại đó .
b) Xét dấu để tìm các
khoảng
đồng
biến,
khoảng nghịch biến và
cực trị của hàm số.
c) Tính và lập bảng biến
thiên của hàm số.
d) Vẽ đồ thị của hàm số

Lời giải
y

Trục đối xứng
Đỉnh
Giao với
điểm 3

tại

Giao với
điểm

tại

3
3

O
-1

1 2

3 4
I

x

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Sơ đồ khảo sát hàm số
1. Tìm tập xác định của
hàm
số. sát sự biến thiên của hàm số:
2. Khảo
- Tính đạo hàm . Tìm các điểm tại đó bằng 0 hoặc đạo hàm không
tồn
- Xéttại.
dấu để chỉ ra các khoảng đơn điệu của
hàm
- Tìmsố.
cực trị của hàm số.

3

- Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị
hàm
(nếu
có).thiên của hàm số.
- Lậpsố
bảng
biến
3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
Chú ý. Khi vẽ đồ thị, nên xác định thêm một số điểm đặc biệt của đồ thị,
chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (khi có và việc tìm
không quá phức tạp). Ngoài ra, cần lưu ý đến tính đối xứng của đồ thị (đối

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA
Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
Lời giải
1. Tập xác định của hàm số: .
2. Sự biến thiên:
𝑥=0

Lập BBT của hàm số:

[

𝑦 '=− 3𝑥 +6 𝑥 ¿ 0⟺ 𝑥=2
2

3

- Hàm số đồng biến trên các khoảng và
- Hàm số nghịch biến trên
khoảng
- Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu .
- Hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực đại .
- Giới hạn tại vô
3 4
3
.
cực:
lim 𝑦 = lim 𝑥 − 1+ −
=+ ∞ ;

𝑥 → −∞

𝑥 →− ∞

(

𝑥

𝑥

3

)

𝑥 −∞
0
− 0
𝑦'
+∞
𝑦
−4

+¿

+∞
2
0 −
0
−∞

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA
Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
Lời giải
Lập BBT của hàm số:

𝑥 −∞
0
− 0
𝑦'
+∞
𝑦
−4

+¿

+∞
2
0 −
0
−∞

3. Đồ thị
- Giao điểm của đths số với là điểm .
3

𝑦=0⇔− 𝑥 +3 𝑥

2

[

𝑥=− 1
⟺
− 4=0
𝑥=2

3

y
Do đó giao điểm của đồ thị hàm số vớ
trục hoành là các điểm và .
- Đồ thị hàm số có tâm đối xứng
y
là điểm .
-2 -1

O
-1
-2
-4

1

2

x

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA
Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
Lời giải

-2 -1

O

Chú
ý.
Đồ thị của hàm số bậc ba
1

2

-2
3
-4
Hình 1.27

- Có tâm đối3 xứng là điểm có hoành độ
thoả mãn , hay .
- Không có tiệm
cận.

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA
Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
Lời giải
1. Tập xác định của hàm
Lập BBT của hàm số:
số:
. biến
2. Sự
𝑥 −∞
2
thiên:
𝑦 '=3 𝑥 − 4 𝑥 +2 Do đó với mọi .
3
𝑦
'
- Hàm số đồng biến trên khoảng .
- Hàm số không có cực
3
𝑦
trị.
- Giới hạn tại vô cực:
;
−∞

+¿

(

)

2 2
1
ℑ 𝑦 = lim 𝑥 1 − + 2 − 3 =+ ∞
𝑥 𝑥
𝑥 →+∞
𝑥 →+ ∞
𝑥
3

+∞
+∞

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA
Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
Lời giải
𝑦 =0⇔ 𝑥 3 −2 𝑥 2 +2 𝑥 −1=0⇔ 𝑥=1.
Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với
BBT của hàm số:
trục hoành là điểm .
𝑥 −∞
+∞
2
7
- Đồ
điểm
3 thị hàm số có tâm đối xứng là ;−
𝑦'
y
3 27

+¿

𝑦

+∞

−∞
3. Đồ thị
-(H.1.29):
Giao điểm của đồ thị hàm số với
trục tung là điểm .

(

3

2
3

O

-1 −

7
27
-1

1

-2

2

x

)

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA
Luyện tập 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Lời giải
1. Tập xác định của hàm
số:
. biến
2. Sự
¿0 ∀ 𝑥∈ℝ
𝑦 'thiên:
=−6 𝑥 2+ 6 𝑥 −5
- Hàm số nghịch biến trên khoảng .
- Hàm số không có cực
trị.
- Giới hạn tại vô cực:
;
ℑ

𝑥 →+∞

Lập BBT của hàm số:
3

3
2
𝑦 = lim ( − 2 𝑥 +3 𝑥 − 5 𝑥 ) =+ ∞
𝑥 →+ ∞

𝑥 −∞
𝑦'
+∞
𝑦

−

+∞

−∞

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA
Luyện tập 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Lời giải
Lập BBT của hàm số:

𝑥 −∞
𝑦'
+∞
𝑦

−

3. Đồ thị
-(H.1.29):
GĐ của đths với là điểm .
- GĐ của đths với là điểm

1
𝑦 ' =−12 𝑥+6 ¿ 0⟺ 𝑥= 2
'

+∞

là tâm đối xứng của
-đths
Lấy thêm điểm
3
y 1
3

−∞

21

1

O

-1

-2
-3

29
−
8 -4

(

1 29
⇒ ;−
2 8

2

x

)

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

3 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
a) Hàm số phân
thức

𝑎𝑥+𝑏
𝑦=
(𝑐 ≠ 0 , 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ≠ 0)
𝑐𝑥+𝑑
2

3

𝑎 𝑥 + 𝑏𝑥+ 𝑐
b) Hàm số phân
𝑦=
¿
3
𝑝𝑥 +𝑞
thức
đa thức tử không chia hết cho đa thức
mẫu)

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

𝑎𝑥+𝑏
𝑦=
(𝑐 ≠ 0 , 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ≠ 0)
𝑐𝑥+𝑑

a) Hàm số phân
thức
𝑥+1
Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của𝑥 − 2
hàmgiải
số
Lời
lim 𝑥 +1

𝑦¿
¿ 1 ; 𝑥lim
→ −∞

1. Tập xác định của hàm số: .
2. Sự biến
3
-thiên:
Ta có:

l ℑ 𝑦¿ 𝑥 →+∞

- Hàm số NB trên từng khoảng
và .
- Hàm số không có
lim 𝑥 +1
-cực
Tiệm
trị.cận
lim 𝑦 ¿ 𝑥 →2
−
𝑥→2
𝑥 −2

- Bảng biến thiên:

¿¿

¿− ∞
lim ¿¿ lim𝑥 +1 ¿ ¿+∞
¿
𝑥→2 𝑦¿ 𝑥→2
−

+¿

+¿

𝑥−2

𝑥 →+∞

lim 𝑥 +1

𝑥 →− ∞

3

𝑥 −2

Do đó ĐTHS có TCĐ là ĐT , TCN là ĐT .

𝑥 −∞

𝑓 '(𝑥)

𝑓 (𝑥 )

−

1
3

2
+∞
−∞

−

+∞

1

¿1

Bài 4

a) Hàm số phân
thức

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

𝑎𝑥+𝑏
𝑦=
(𝑐 ≠ 0 , 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ≠ 0)
𝑐𝑥+𝑑

𝑥+1
𝑥−2 y

Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của hàm số
Lời giải
3. Đồ thị
-(H.1.30):
Giao điểm của ĐTHS với là điểm .

6

3

- Giao điểm của ĐTHS với là điểm .
- Đồ thị hàm số nhận giao điểm của
hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
và nhận hai đường phân giác của các
góc tạo bởi hai đường tiệm cận này
làm trục đối xứng.

3

4

𝑦 =1

2
1

-6

-4

-2 O
-2
-4

𝐼
2

4

6

8

x

Bài 4

a) Hàm số phân
thức

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

𝑎𝑥+𝑏
𝑦=
(𝑐 ≠ 0 , 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ≠ 0)
𝑐𝑥+𝑑

y

6

Chú ý.Đồ thị của hàm số phân
𝑎𝑥 +𝑏
thức
𝑦=
( 𝑐 ≠ 0 , 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ≠ 0)

𝑐𝑥+ 𝑑

3

4
3

- Nhận hai đường phân giác của các
góc tạo bởi hai đường tiệm cận này
cácgiao
trụcđiểm
đối xứng.
-làm
Nhận
của tiệm cận đứng

và tiệm cận ngang làm tâm đối xứng;

𝑦 =1

2
1

-6

-4

-2 O
-2
-4

𝐼
2

4

6

8

x

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

𝑎𝑥+𝑏
𝑦=
(𝑐 ≠ 0 , 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ≠ 0)
𝑐𝑥+𝑑

a) Hàm số phân
thức
Luyện tập 2. Giải bài toán ở tình huống mở đầu, coi là hàm số xác
định
với .
Lời
giải
3

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

𝑎𝑥+𝑏
𝑦=
(𝑐 ≠ 0 , 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 ≠ 0)
𝑐𝑥+𝑑

a) Hàm số phân
thức
Vận dụng. Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi
phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam
chất khử trùng (hoà tan).
a) Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau
3
phút. Từ đó tính nồng độ chất khử trùng
(gam/lít) trong bể sau phút.
b) Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số với . Khảo sát sự biến thiên
và vẽ đồ thị của hàm số này.
c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử trùng tăng theo nhưng
không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

𝑎 𝑥 2+ 𝑏𝑥+ 𝑐
b) Hàm số phân
đa ¿
thức tử không chia hết cho đa th
𝑦=
𝑝𝑥 +𝑞 2 mẫu)
thức
𝑥 − 𝑥 −1
𝑦=
Ví dụ 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của
hàm
𝑥−2

số
Lời giải
1. Tập xác định của hàm số:
2. Sự biến thiên:

1
𝑥 − 𝑥 −1
𝑦=
¿ 𝑥+1+
𝑥−2
𝑥−2
𝑥 2 − 4 𝑥 +3
1
¿
𝑦 ' =1 −
2
( 𝑥 − 2¿ 2
( 𝑥 −2¿
2

[

2
𝑥=1
𝑥
−
4
𝑥+
3
⇔
𝑦 '=0⇔
𝑥=3
¿¿

Bảng biến
thiên
𝑥 −∞ 1

+¿

3'

𝑦

𝑦

3

−∞

0 −
1

3
− 0
+∞

2

−∞

5

+¿

+∞
+∞

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

𝑎 𝑥 2+ 𝑏𝑥+ 𝑐
b) Hàm số phân
đa ¿
thức tử không chia hết cho đa th
𝑦=
𝑝𝑥 +𝑞 2 mẫu)
thức
𝑥 − 𝑥 −1
𝑦=
Ví dụ 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của
hàm
𝑥−2

số
Lời giải

- Hàm số đồng biến trên các
khoảng và
- Hàm số nghịch biến trên các
khoảng và
- Hàm số đạt cực đại tại với
- Hàm số đạt cực tiểu tại với

Bảng biến
thiên
𝑥 −∞
1
3'

𝑦

𝑦

3

−∞

+¿

0 −
1

3
− 0
+∞

2

−∞

5

+¿

+∞
+∞

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

𝑎 𝑥 2+ 𝑏𝑥+ 𝑐
b) Hàm số phân
đa ¿
thức tử không chia hết cho đa th
𝑦=
𝑝𝑥 +𝑞 2 mẫu)
thức
𝑥 − 𝑥 −1
𝑦=
Ví dụ 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của
hàm
𝑥−2

số
Lời giải

Bảng biến
thiên
𝑥 −∞
1

Tiệm cận

l ℑ 𝑦¿

2

lim 𝑥 − 𝑥 − 1

𝑥 →− ∞

𝑥 −2

𝑥 →− ∞

2

lim 𝑥 − 𝑥 − 1

l ℑ 𝑦¿ 𝑥 →+∞
𝑥 →+∞

¿−∞

𝑥−2

¿+∞

+¿

3'

𝑦

𝑦
−∞

0 −
1

3

3
− 0
+∞

2

−∞

5

+¿

+∞
+∞

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

𝑎 𝑥 2+ 𝑏𝑥+ 𝑐
b) Hàm số phân
đa ¿
thức tử không chia hết cho đa th
𝑦=
𝑝𝑥 +𝑞 2 mẫu)
thức
𝑥 − 𝑥 −1
𝑦=
Ví dụ 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của
hàm
𝑥−2

số
Lời giải
lim 𝑦¿ lim
−

𝑥→2

¿

lim ¿
+¿

𝑥→2 𝑦¿

𝑥→2

−

𝑥→2

(
+¿

)

1
𝑥 +1+
¿
−
∞
𝑥 −2
lim
¿

(

)

l

lim

ℑ

[ 𝑦 − ( 𝑥 +1 ) ¿
]

𝑥 →+∞

ℑ

[ 𝑦 − ( 𝑥+ 1 ) ¿
]

𝑥 →− ∞

𝑥 →+∞

𝑥 →− ∞

𝑦

3

1

𝑥−2
lim 1
𝑥−2

¿0
¿0

+¿

3'

¿+ ∞

1
𝑥+1 +
¿
𝑥 −2

Do đó ĐTHS có TCĐ là ĐT
l

Bảng biến
thiên
𝑥 −∞
1

𝑦
−∞

0 −
1

3
− 0
+∞

2

−∞

+¿

5

Do đó ĐTHS có TCX là đường thẳng

+∞
+∞

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

𝑎 𝑥 2+ 𝑏𝑥+ 𝑐
b) Hàm số phân
đa ¿
thức tử không chia hết cho đa th
𝑦=
𝑝𝑥 +𝑞 2 mẫu)
thức
𝑥 − 𝑥 −1
𝑦=
Ví dụ 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của
hàm
𝑥−2

số
Lời giải

𝑥 −∞

𝑦'

𝑦
−∞

+¿

1
3
2
− 0
0 −
+∞
1
−∞

3. Đồ thị
- GĐ của ĐTHS với là điểm .
(H.1.30):

5

𝑥2− 𝑥 −1
1
−
5
√
𝑦 =0 ⇔
⇔ 𝑥=
𝑥 −2
2

+∞

+¿

3

+∞
3

1+ √ 5
hoặc 𝑥=
2

- GĐ của ĐTHS với là điểm
và
- Đồ thị hàm số nhận giao điểm
của hai đường tiệm cận làm tâm
đối xứng và nhận hai đường phân
giác của các góc tạo bởi hai
đường tiệm cận này làm các trục

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

𝑦

'

+¿

𝑦

1
3
2
− 0
0 −
+∞
1

+¿

+∞

6

+∞

5
4

3

𝐼

3

−∞

3. Đồ thị
T
(H.1.30):

5

−∞

2
-1

T

- GĐ của ĐTHS với là điểm

-2

3

1

𝑥 −∞

y

𝑥+

số
Lời giải

𝑦=

𝑥 − 𝑥 −1
𝑦=
Ví dụ 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của
hàm
𝑥−2

𝑥=2

𝑎 𝑥 2+ 𝑏𝑥+ 𝑐
b) Hàm số phân
đa ¿
thức tử không chia hết cho đa th
𝑦=
𝑝𝑥 +𝑞 2 mẫu)
thức

1

O

-1

1

2 3

x

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

𝑎 𝑥 2+ 𝑏𝑥+ 𝑐
b) Hàm số phân
đa ¿
thức tử không chia hết cho đa th
𝑦=
𝑝𝑥 +𝑞 2 mẫu)
thức
𝑥 + 𝑥 −2
=
Ví dụ 5. Khảo sát và vẽ đồ thị của𝑦hàm
𝑥 +1

số
Lời giải
1. Tập xác định của hàm số:
2. Sự biến thiên:

𝑥 2 + 𝑥 −2
2
𝑦=
𝑥 +1¿ 𝑥 − 𝑥+1
1
'
𝑦 =1+
¿2 0 ∀ 𝑥 ≠ 1
( 𝑥 +1¿
- Hàm số đồng biến trên từng
khoảng và .

- Hàm số không có cực trị.
3

Bảng biến
thiên
𝑥 −∞

𝑦'

𝑦
−∞

+¿

−1
+∞

+¿
3

−∞

+∞
+∞

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

𝑎 𝑥 2+ 𝑏𝑥+ 𝑐
b) Hàm số phân
đa ¿
thức tử không chia hết cho đa th
𝑦=
𝑝𝑥 +𝑞 2 mẫu)
thức
𝑥 + 𝑥 −2
=
Ví dụ 5. Khảo sát và vẽ đồ thị của𝑦hàm
𝑥 +1

số
Lời giải

3

Tiệm cận

l ℑ 𝑦¿

𝑥 →− ∞

𝑥+ 1

𝑥 →− ∞

lim 𝑥 2 + 𝑥 − 2

l ℑ 𝑦¿ 𝑥 →+∞
𝑥 →+∞

3'

2

lim 𝑥 + 𝑥 − 2

𝑥 +1

Bảng biến
thiên
𝑥 −∞

¿−∞
¿+∞

𝑦

𝑦
−∞

+¿

−1
+∞
−∞

+¿

+∞
+∞

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

𝑎 𝑥 2+ 𝑏𝑥+ 𝑐
b) Hàm số phân
đa ¿
thức tử không chia hết cho đa th
𝑦=
𝑝𝑥 +𝑞 2 mẫu)
thức
𝑥 + 𝑥 −2
=
Ví dụ 5. Khảo sát và vẽ đồ thị của𝑦hàm
𝑥 +1

số
Lời giải

l ℑ 𝑦¿ lim
𝑥 →−1

l

−

ℑ

𝑥 → −1

−

¿

+¿
𝑥 →−1 𝑦 ¿ 𝑥 → −1

(

)

2
𝑥−
¿+ ∞
𝑥 +1
lim
¿

+¿

(

) ¿−∞

2
𝑥−
¿
𝑥+1

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm
cận đứng là đường thẳng

Bảng biến
thiên
𝑥 −∞
3'

𝑦

3

𝑦
−∞

+¿

−1
+∞
−∞

+¿

+∞
+∞

Bài 4

𝑎 𝑥 2+ 𝑏𝑥+ 𝑐
b) Hàm số phân
đa ¿
thức tử không chia hết cho đa th
𝑦=
𝑝𝑥 +𝑞 2 mẫu)
thức

l

l

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

𝑥 + 𝑥 −2
=
Ví dụ 5. Khảo sát và vẽ đồ thị của𝑦hàm
𝑥 +1

số
Lời giải

( )
2
]
¿ lim ( −
¿
0
)
𝑥 +1

ℑ [ 𝑦 − 𝑥¿] lim

𝑥 →+∞

ℑ [𝑦 −𝑥

𝑥 →− ∞

𝑥 →+ ∞

2
−
¿
0
𝑥+1

𝑥 → −∞

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm
cận xiên là đường thẳng

Bảng biến
thiên
𝑥 −∞
3'

𝑦

𝑦
−∞

+¿

−1
+∞
−∞

+¿

+∞
+∞

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

𝑎 𝑥 2+ 𝑏𝑥+ 𝑐
b) Hàm số phân
đa ¿
thức tử không chia hết cho đa th
𝑦=
𝑝𝑥 +𝑞 2 mẫu)
thức
𝑥 + 𝑥 −2
=
Ví dụ 5. Khảo sát và vẽ đồ thị của𝑦hàm
𝑥 +1

số
Lời giải

𝑥 −∞

𝑦

'

𝑦
−∞

+¿

−1
+∞

+¿
3

−∞

3. Đồ thị
(H.1.30):
- GĐ của ĐTHS với là điểm .

𝑥 2+ 𝑥 − 2
𝑦 =0 ⇔ 𝑥 +1 =0 hoạc

+∞
3

+∞

- GĐ của ĐTHS với
điểm
và

là

- Đồ thị hàm số nhận giao
điểm của hai đường tiệm cận
làm tâm đối xứng và nhận hai
đường phân giác của góc tạo
bởi hai đường tiệm cận này
làm các trục đối xứng.

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

𝑎 𝑥 2+ 𝑏𝑥+ 𝑐
b) Hàm số phân
đa ¿
thức tử không chia hết cho đa th
𝑦=
𝑝𝑥 +𝑞 2 mẫu)
thức
𝑥 + 𝑥 −2
=
Ví dụ 5. Khảo sát và vẽ đồ thị của𝑦hàm
𝑥 +1

𝑦

'

𝑦

+¿

−1
+∞

+∞
3

+∞

−∞
-T

- GĐ của ĐTHS với là điểm .
- GĐ của ĐTHS với

là và

𝑥
=
3

3
2
1

-2
-6 -5 -4 -3

−∞
-T

+¿

4

𝑦

𝑥 −∞

y

-1

𝑰
𝑥=1

số
Lời giải

O

-1
-2

1 2
-3
-4

3 4 5 6

x

Bài 4

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

𝑎 𝑥 2+ 𝑏𝑥+ 𝑐
b) Hàm số phân
đa ¿
thức tử không chia hết cho đa th
𝑦=
𝑝𝑥 +𝑞
thức
mẫu)
Chú ý. Đồ thị của hàm số phân thức

- Nhận hai đường phân giác của các góc
tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các
trục đối xứng

𝑦

4
3
2
1

-2
-6 -5 -4 -3

-1

𝑰
𝑥=1

3
đa thức tử không chia hết cho đa thức
mẫu
- Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và
tiệm cận xiên làm tâm đối xứng

=

𝑎 𝑥 + 𝑏𝑥+ 𝑐
𝑦=
(𝑎≠ 0 ,𝑝 ≠ 0)
𝑝𝑥 +𝑞

𝑥

y

2

O

-1
-2

1 2
-3
-4

3 4 5 6

x

Bài 3

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

2 ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

− 𝑥2 +3 𝑥 − 1
𝑦=
Luyện tập 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
𝑥 −2

của hàm số
Lời giải

1. Tập xác định của hàm số:
2. Sự biến thiên:

- Hàm số không có cực trị.
3

− 𝑥2 +3 𝑥 − 1
1
𝑦=
𝑥 −2 ¿ − 𝑥 +1+ 𝑥 −2
1
'
𝑦 =−1 −
2¿ 0 ∀ 𝑥 ≠ 2
( 𝑥 − 2¿
- Hàm số nghịch biến trên từng
khoảng và .

3

Bảng biến
thiên
𝑥 −∞

𝑦'

𝑦

+∞

−

2
+∞
−∞

−

+∞

−∞

Bài 3

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

2 ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

− 𝑥2 +3 𝑥 − 1
𝑦=
Luyện tập 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
𝑥 −2

của hàm số
Lời giải

3

-Tiệm cận
lim − 𝑥 2 +3 𝑥 − 1

l ℑ 𝑦¿ 𝑥 →− ∞
𝑥 →− ∞

𝑥 −2

¿−∞

lim − 𝑥 2+ 3 𝑥 − 1

l ℑ 𝑦 ¿ 𝑥 →+∞
𝑥 →+∞

𝑥 −2

¿−∞

Bảng biến
thiên
𝑥 −∞
3
'

𝑦

𝑦

+∞

+¿

2
+∞
−∞

+¿

+∞

−∞

Bài 3

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

2 ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

− 𝑥2 +3 𝑥 − 1
𝑦=
Luyện tập 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
𝑥 −2

của hàm số
Lời giải

l ℑ ¿ 𝑦lim
𝑥 →2

l

−

𝑥→2

¿

ℑ

−

(

𝑥 →2 𝑦 ¿𝑥 → 2
+¿

)

Bảng biến
thiên
𝑥 −∞

1
3
− 𝑥+1+
¿
−
∞
𝑥 −2
𝑦'
+∞
lim
¿

+¿

(

− 𝑥 +1+

) ¿+ ∞ 𝑦

−

2
+∞

1
¿
𝑥−2

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm
cận đứng là đường thẳng

−∞
3

−

+∞

−∞

l

l

Bài 3

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

2 ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

− 𝑥2 +3 𝑥 − 1
𝑦=
Luyện tập 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
𝑥 −2

của hàm số
Lời giải

( )
1
¿ ]lim (
𝑥 − 2 )¿ 0

ℑ [ 𝑦 + 𝑥 −¿1 ] lim

𝑥 →+∞

ℑ

𝑥 →− ∞

𝑥 →+ ∞

1
𝑥−2 ¿0

[ 𝑦+𝑥− 1

𝑥 → −∞

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm
cận xiên là đường thẳng

Bảng biến
thiên
𝑥 −∞
3
'

𝑦

𝑦

+∞
3

−

2
+∞
−∞

−

+∞

−∞

Bài 3

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

2 ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

− 𝑥2 +3 𝑥 − 1
𝑦=
Luyện tập 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
𝑥 −2

của hàm số
Lời giải
Bảng biến
thiên
𝑥 −∞

𝑦

'

𝑦

+∞

−

2
+∞
−∞

3. Đồ thị
(H.1.30):
- GĐ của ĐTHS với là điểm

− 𝑥 2 +3 𝑥 −1
=0
𝑦 =0⇔
𝑥+1

3

−

hoặc

+∞
3

−∞

- GĐ của ĐTHS với
điểm
và

là

- Đồ thị hàm số nhận giao
điểm của hai đường tiệm cận
làm tâm đối xứng và nhận hai
đường phân giác của góc tạo
bởi hai đường tiệm cận này

Bài 3

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

2 ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

− 𝑥2 +3 𝑥 − 1
𝑦=
Luyện tập 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
𝑥 −2

𝑥 −∞

𝑦

'

𝑦

+∞

−

2

−

+∞
−∞

3
3

−∞

3
2
1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 O
-1
-2
-2,5

1,5
1 2

𝑰

-3

𝑥+
1

-4

3 4 5 6

−

- GĐ của ĐTHS với

là và

4

𝑦=

3. Đồ thị
-T
-T
(H.1.30):
- GĐ của ĐTHS với là điểm .

y

+∞

𝑥=2

của hàm số
Lời giải

x