Giảng viên: Phạm Thành Giang
Các định nghĩa về ma trận:
1. Định nghĩa 1.1:
Một ma trận A loại (cấp) m x n trên trường K (K - là trường thực R, hoặc phức C) là một bảng chữ nhật gồm m x n phần tử trong K được viết thành m dòng và n cột như sau:

Trong đó là phần tử ở vị trí dòng i, cột j của A. Đôi khi A được viết ngắn gọn là hay
Các ma trận thường được ký hiệu bởi A, B, C và tập hợp tất cả các ma trận loại m x n trên trường K được ký hiệu bởi Mm x n(K)
Ví dụ 1.1:

là ma trận cấp 2 x 3. là ma trận cấp3x2.


Ví dụ 1.2: Viết ma trận cấp 4 x 4 biết:
Nhận xét:
- Ma trận A có thể xác định trực tiếp bằng cách liệt kê các phần tử, cũng có thể được xác định theo công thức tổng quát.
- Ma trận không cấp m x n (ma trận zero), ký hiệu 0mxn là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0.


- Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông cấp n trên K. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên K được ký hiệu là Mn(K)
- Ma trận cấp 1 x n được gọi là ma trận hàng; ma trận cấp m x 1 được gọi là ma trận cột
- Nếu A là ma trận vuông cấp n, thì đường chứa các phần tử a11, a22, a33,…, ann được gọi là đường chéo chính của A.
2. Định nghĩa 1.2:
Cho . Khi đó:
Nếu (nghĩa là tất cả các phần tử bên ngoài đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận đường chéo.
- Ta thường dùng ký hiệu diag(a1, a2,…, an) để chỉ một ma trận đường chéo cấp n có các phần tử trên đường chéo lần lượt là a1, a2, …, an
-Ma trận chéo có (nghĩa là các phần tử trên đường chéo chính đều bằng1) được gọi là ma trận đơn vị. Ký hiệu: In
-Một ma trận đường chéo với tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng nhau được gọi là ma trận vô hướng.
- Nếu (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên dưới đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận tam giác trên.
- Nếu (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên trên đường chéo chính của A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận tam giác dưới.
- Ma trận tam giác trên hay tam giác dưới được gọi chung là ma trận tam giác.
II. Các phép toán trên ma trận:1.
Định nghĩa 2.1 (hai ma trận bằng nhau):
Cho .
Ta nói A = B khi và chỉ khi:
Ví dụ: Với, Thì

Hai ma trận không thể bằng nhau do không cùng cấp.

2. Định nghĩa 2.2 (Ma trận chuyển vị):
Cho .
Ta nói:
là chuyển vị của A (ký hiệu B = AT) nếu:


Ví dụ: Nếu thì
3. Tính chất 2.1:
Cho . Khi đó:
1.
2.
Ghi chú:
Cho .Khi đó, nếu AT = A thì ta nói A là ma trận đối xứng; nếu AT = - A thì ta nói A là ma trận phản xứng.

Vídụ:
là ma trận đối xứng.
là ma trận phản xứng.
Nhận xét: Nếu B là ma trận phản xứng thì các
phần tử trên đường chéo chính của B đều bằng 0.
4. Phép nhân một số với một ma trận:

Cho Ta gọi tích a và A (ký

hiệu aA) là một ma trận



được xác định bởi:



Nếu a = -1 thì ta ký hiệu (-1).A bởi -A và gọi là ma trận đối của A.


5. Cộng hai ma trận:
Cho
Ta gọi tổng của A và B (A + B) là một ma trận



được xác định bởi:



Tổng của A + (-B) được ký hiệu bởi A - B và gọi là
hiệu của ma trận A và B.


6. Tính chất 2.2:
Cho . Ta có:

(ab).A = a.(bA); (aA)T = a.(AT)
7. Ví dụ:
Xác định các giá trị của x, y sao cho:
x =1,y = 4
8. Định lý 2.1:
Cho . Khi đó:
1.Tổng hai ma trận có tính giao hoán: A + B = B + A
2.Tổng hai ma trận có tính kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C
3.Tồn tại ma trận 0mxn sao cho: A + 0 = 0 + A = A
4. Tồn tại ma trận đối của A sao cho: A + (- A) = (- A) + A = 0

5.Phép nhân vô hướng có tính phân phối: α(A+B) = αA + αB ;(α +β)A = αA + βA
6.Chuyển vị của tổng bằng tổng các chuyển vị:(A + B)T = AT + BT
III. Phép nhân hai ma trận:
1. Định nghĩa 3.1: Cho ma trận A = (aik) loại m x n, ma trận B = (bkj) loại n x p.
Tích của hai ma trận A và B là một ma trận C = (cij) loại m x p (ký hiệu: C = A.B), với phần tử hàng thứ i, cột thứ j được xác định bởi:
Nghĩa là: phần tử hàng i, cột j của ma trận C là tổng của phép nhân từng đôi một các phần tử ở hàng i của ma trận A với các phần tử tương ứng ở hàng j của ma trận B.
Sơ đồ thực hiện:
Chú ý: Số cột của ma trận A phải bằng số hàng của ma trận B
2. Ví dụ 1: Cho . Khi đó:
Nhận xét:
Khi A, B là các ma trận vuông cấp n thì AB và BA cùng tồn tại, nhưng nói chung AB ≠ BA. Nghĩa là tích các ma trận vuông không có tính giao hoán. Nếu và AB = BA thì A và B được gọi là giao hoán nhau.
3. Ví dụ 2:
Ta có:
Nhận xét: tích hai ma trận khác không, có thể là một ma trận không 0n