ELIP
ĐỊNH NGHĨA:

Trong mặt phẳng cho hai điểm phân biệt F1 và F2, đặt F1F2 =2c và hằng số dương 2a sao cho 2a>2c
Tập hợp tất cả các điểm M trong mặt phẳng sao cho M F1 + MF2=2a được gọi là một Elip
* F1; F2 gọi là tiêu điểm
* 2c gọi là tiêu cự
* M F1 và MF2 (M Elip) gọi là bán kính qua tiêu ứng với M
Ta có:
M Elip  M F1 +MF2=2a
F1 .
. F2
. M

. M1
. M
M2 .
* Nhận xét
Lấy M (E)
* M1là điểm đối xứng với M qua F1F2
M1F1 + M1F2 = MF1+ MF2 =2a
 M1  (E)
* M2 là điểm đối xứng của M qua đường trung trực d của F1F2
 M2  (E)
 (E) nhận F1F2 làm trục đối xứng
 (E) nhận d làm trục đối xứng , và giao điểm của d và F1F2 làm tâm đối xứng
II. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELÍP
Chọn hệ tọa độ sao cho F1(-c , 0) , F2(c , 0)
1. Bán kính qua tiêu
F1M + F2M =2a
F1M 2 - F2M 2 = 4cx

F1M + F2M = 2a
F1M - F2M =

Ta có:
M(x,y) (E)
 F1M + F2M =
2a
= (x + c , y)
= (x - c , y)
 F1M 2 = (x + c)2 + y2
 F2 M 2 = (x – c)2 + y2

(b2 = a2 – c2 , b > 0)
Phương trình trên gọi là phương trình chính tắc của elip (E)
Lưu ý : a > b > 0 và a > c > 0
2 . Phương trình chính tắc của elíp
Chứng minh:
M(x,y) (E), ta có :
F1M 2 = (x + c)2 + y2
 (a + cx / a) = (x + c)2 + y2
 a4 + c2 x2 = a2 x2 + c2a2 + y2a2
 a4 – c2a2 = a2 x2 – c2 x2 + y2a2

x2(a2 - c2)
+ a2 y2 =
a2(a2 - c2)

(b2 = a2 - c2)
3. Nếu chọn hệ tọa độ sao cho F1(0 , -c) và F2(0 , c)
(b2 = a2 - c2 , b > 0)
Bán kính qua tiêu
F1M =
F2M =
Thì phương trình của elip là:
III. HÌNH DẠNG ELIP
Xét elip có phương trình chính tắc:
(a>b>0)
1. Tính đối xứng
Phương trình của elip có bậc chẵn đối với x và y nên lip có 2 trục đối xứng là Ox và Oy và do đó nó có tâm đối xứng là gốc tọa độ
Tổng quát: Elip có 2 trục đối xứng:
-Trục đối xứng thứ 1 đi qua 2 tiêu điểm
- Trục đối xứng thứ 2 là trung trực của F1F2
2. Tương giao của elip với các trục đối xứng
a/Với trục Ox :

Ú
Ox cắt elip tại 2 điểm A1(-a,0) và A2(a,0)
b/ Với trục Oy

Ú
Oy cắt elip tại 2 điểm B1(0,-b) và B2(0,b)
Ta gọi:
* A1A2 là trục lớn ; 2a : độ dài trục lớn
* B1B2 là trục nhỏ ; 2b : độ dài trục nhỏ
* A1, A2, B1,B2 là 4 đỉnh của elip
Nhận xét:
Tiêu điểm của elip nằm trên trục lớn
3 Hình chữ nhật cơ sở
Ta có:

Suy ra elip nằm hoàn toàn trong hình chữ nhật mà ta gọi là hình chữ nhật cơ sở
4/ Tâm sai của elip
Định nghĩa: tâm sai của elip là tỷ sổ giữa tiêu cự và độ dài trục lớn
Ký hiệu: e
Ta có:
Nhận xét:
0< e <1
VD:Tìm độ dài các trục ,tiêu cự ,tiêu điểm, các đỉnh của các elip cho bởi phương trình sau
a / (E1) : 9x2 + 25y2 = 225
Giải:
(E1) : 9x2 + 25y2 = 225

Ta có:
a2 = 25
 c = 4
b2 =9
 b = 3
c2 = a2 – b2 = 16
 a = 5
Độ dài trục lớn: 2a =10
Độ dài trục nhỏ: 2b =6
Tiêu cự : 2c = 8
Tiêu điểm :F1(-4,0), F2(4,0)
Các đỉnh:A1(-5,0), A2(5,0), B1(0,-3), B2(0,3)
b/ (E2):
Giải:
Ta có:
a2 = 100
 c = 8
b2 =36
 b = 6
c2 = a2 – b2 = 64
 a = 10
Độ dài trục lớn: 2a =20
Độ dài trục nhỏ: 2b =12
Tiêu cự : 2c = 16
Tiêu điểm :F1(0,-8), F2(0,8)
Các đỉnh:A1(0,-10), A2(0,10)
B1(-6,0), B2(6,0)
Ta có:
< F1F2
= 2c
< 2a