ÔN KIỂM TRA TẬP TRUNG
GIỮA HỌC KÌ I :05 -06
? Công thức lượng giác.
? Giao tuyến hai điểm chung
? Giao tuyến song song.
? Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
? Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
Bài1 (3.1ĐC):Tính các giá trị lượng giác khác biết :
a) sin x = 4/5 và 0o < x < 90o
b) cosx = - 3/5 và
c) tgx = 3/4 và
d) cotgx = 2/3 và 0o < x < 90o
e) cosx = - 5/13 và 180o < x < 270o
BÀI TẬP TỔNG HỢP
GIẢI
Bài1 (3.1ĐC):Tính các giá trị lượng giác khác biết :
a) sin x = 4/5 và 0o < x < 90o

Các giá trị lượng giác cosx , tgx , cogtx dương hay âm ?
Sin2 x + cos2x = ?
tgx = ? , cogtx = ?
Đề nghị một học sinh lên bảng giải câu này
Ngọn cung x ở cung phần tư thứ mấy ?
Ta có sin2x + cos2x = 1

b) cosx = - 3/5 và
Bài1 (3.1ĐC):Tính các giá trị lượng giác khác biết :
c) tgx = 3/4 và
GIẢI
c) tgx = 3/4 và
Ta có
d) cotgx = 2/3 và 0o < x < 90o
GIẢI
d) cotgx = 2/3 và 0o < x < 90o
e) cosx = - 5/13 và 180o < x < 270o
GIẢI
ÔN CÁC GIÁ TRỊ
LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC
CUNG(GÓC) ĐẶC BIỆT
600
1
Tam giác nửa đều
1
450
Góc tư hình vuông cạnh bằng 1 (tam giác vuông cân)
HA HA thế là khỏe re !
y
x
B(cos900;sin900)
A(cos00;sin00)
A/(cos1800;sin1800)
BÀI TẬP 2:
ĐIỀN VÀO CHỖ TRỐNG (....)CÁC CÂU SAU
Cos =......
BÀI TẬP 3 : Chứng minh các đẳng thức sau
1) sin4x + cos4x = 1 - 2sin2xcos2x
2) sin6x + cos6x = 1 - 3sin2xcos2x
GIẢI
VT =
VT =
VT =
1) sin4x + cos4x = 1 - 2sin2xcos2x
2) sin6x + cos6x = 1 - 3sin2xcos2x
BÀI TẬP 4: Chứng minh rằng
BÀI TẬP 4: Chứng minh rằng
GIẢI

BÀI TẬP 4: Chứng minh rằng
GIẢI
BÀI TẬP 4: Chứng minh rằng
GIẢI
BÀI TẬP 5:
Chứng minh các đẳng thức sau
GIẢI
Nhận xét: bậc của sin,cos là bậc chẵn hay lẻ?
Vậy , ta biến đổi thế nào để có cách giải tốt nhất cho dạng này
Biến đổi cosx về sinx hay ngược lại ,để được 1biểu thức chứa hàm cos hay là hàm sin
Đề nghị một học sinh lên bảng giải
VT=cos4x+ (1 - cos2x) cos2x + 1 - cos2x + tg2x
=1 + tg2x = 1 / cos2x = 1 / [(1+cos2x) / 2]
= 2 / (1+cos2x) = VP
BÀI TẬP 5:
Chứng minh các đẳng thức sau
GIẢI
VT = 2(cos2x)2 - sin4x + sin2x.cos2x +3.sin2x + 1 / sin2x - 1
= 2(1 - sin2x)2 - sin4x + sin2x.( 1 - sin2x) +3.sin2x + 1 / sin2x- 1
=2(1 - 2. sin2x + sin4x) + sin2x - 2sin4x +3.sin2x + 1 / sin2x - 1
= 1 / sin2x = 1 / [( 1- cos2x) / 2] = 2 / ( 1- cos2x) = VP
CÔNG THỨC HA� BẬC
Sin2x = (1 - cos2x) / 2
Cos2x = (1 + cos2x) / 2
1 - cos2x = 2sin2x
1 + cos2x = 2cos2x
BÀI TẬP 6 : Chứng minh các đẳng thức sau
GIẢI
A2 + B2 =(A + B)2 -2AB
BÀI TẬP 6 : Chứng minh các đẳng thức sau
GIẢI
Công thức:
tga - tgb = sin(a - b) / cosa.cosb
Sin 2a =2sina.cosa
CÔNG THỨC CỘNG
CT:CỘNG

Sin( a � b) = sina.cosb � cosa sinb
cos( a � b) = cosa.cosb + sina sinb





BÀI 6:Tính gía trị các biểu thức sau













BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải :
GIẢI
GIẢI
CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
Sin2x = 2sinx cosx
2sinx cosx = sin2x
sinx cosx = 1/ 2 sin2x
Cos2x = cos2x - sin2x
= 2 cos2x - 1
=1 - 2sin2x
Tg2x = 2tgx / (1 - tg2x)


CÔNG THỨC HA� BẬC
Sin2x = (1 - cos2x) / 2
Cos2x = (1 + cos2x) / 2
1 - cos2x = 2sin2x
1 + cos2x = 2cos2x
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
TỔNG =TÍCH
TÍCH = TỔNG
Tổng sang tích
cung cộng chia đôi
cung trừ chia đôi
Tích sang tổng
cung cộng không chia đôi
cung trừ không chia đôi
Và nhớ
cos+cos=2coscos
Cos-cos=-2sinsin
Sin+sin=2sincos
Sin-sin=2cossin
Tổng tích
Cosa + cosb = 2cos[(a+b)/2] cos[(a-b)/2]
Cosa - cosb = - 2sin[(a+b)/2] sin[(a-b)/2]
sina + sinb = 2sin[(a+b)/2] cos[(a-b)/2]
sina - sinb = 2cos[(a+b)/2] sin[(a-b)/2]
Tích tổng
2cosacosb = Cos(a+b) + cos(a-b)
-2sinasinb = Cos(a+b) - cos(a-b)
2sinacosb = sin(a+b) + sin(a-b)
2cosasinb = sin(a+b) - sin(a-b)









Cuối cùng công thức tổng thành tích của tang
tga + tgb =sin(a+b) / cosa.cosb
tga - tgb =sin(a -b) / cosa.cosb
Bài tập 7 Tính các biểu thức sau
Giải
Bài tập 7 Tính các biểu thức sau
Giải
Bài 8 : Biến đổi thành tổng các biểu thức
cos5x.cos3x
2Sin 3x.cos 5x
GIẢI
Bài 9 : Biến đổi thành tích các biểu thức
Cos3x - cos5x
Sin 5x - sin 7x
�[cos2x + cos3x]
�[sin7x + sin 9x]
Giải
cos3x - cos5x = -2sin[(3x + 5x) / 2]. sin[(3x - 5x) / 2]
= -2sin 4x.sin(-x) = 2sin 4x.sinx
2) Sin 5x - sin 7x = 2cos[(5x + 7x) / 2] cos[(5x - 7x) / 2]
= 2cos6x.cos(-x) = 2cos6x.cosx
Bài 9 : Biến đổi thành tích các biểu thức
3) �[cos2x + cos3x]
4) �[sin7x + sin 9x]
GIẢI
3) �[cos2x + cos3x] = (�)2cos[(2x + 3x) / 2] cos[(2x - 3x) / 2]
= cos(5x / 2)cos(- x / 2) = cos(5x / 2)cos(x / 2)
4) �[sin7x + sin 9x] = (�)2sin[(7x + 9x) / 2] cos[(7x - 9x) / 2]
= sin8xcos(- x) = sin8xcosx
Bài 10 Chứng minh
sin 3x = 4.sinx. sin ( 600 - x). sin (600 + x )
A�p dụng : Tính A = sin 100. sin 500. sin 700 .
Giải
Hình học:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một tứ giác có ADkhông song song BC. Gọi M là trung điểm SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
b) Tìm giao điểm N của SD và (MAB).
c) Gọi K là giao điểm của AD và BC. Chứng minh : SK, AN, BM đồng quy .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
.S?(SAC)? (SBD) (1)
AC , BD ? (ABCD)
AC // BD
O? AC?(SAC)
O? BD?(SBD)
Từ (1) và (2) , suy ra SO = (SAC)? (SBD)
 AC BD = O
?O?(SAC)? (SBD) (2)
O
S
A
B
C
D
O
S
A
B
C
D
b) Tìm giao điểm N của SD và (MAB).
Chọn (SBD) ? SD
Tìm (MAB)? (SBD)
.B?( MAB)? (SBD) (3)
.SO,AM? (SAC)
.SO // AM
I?AM
I?SO


M
I
 SOAM =I
? I?(MAB)? (SBD) (4)
Từ (3) , (4) ta có BI = (MAB)? (SBD)
BI , SD ? (SBD)
BI // SD

N?BI? (MAB)
N?SD
? N = SD ? (MAB). (vì SD? (MAB))
 BI SD = N
N
(SAD)?(SBC) = SK
(MAB)?(SAD) = AN
(MAB)?(SBC) = BM
Mà AN? SK = T
(vì AN , SK ? (SAD) và AN // SK )
O
S
A
B
C
D
M
I
N
? SK, AN, BM đồng quy tại T
c) Gọi K là giao điểm của AD và BC. Chứng minh : SK, AN, BM đồng quy .
T
K
CHÚ Ý :Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy , ta có 4 phương pháp để chứng minh
1
Pp đã trình bày
2
Ba đường thẳng đôi một cắt nhau và không đồng phẳng thì đồng quy
3
(P)?(Q) = d
a?b = I
I? (P)?(Q
? a ,b , d đồng quy tại I
4
a?b = I
AB
? A ,B , I thẳng hàng => AB ,a ,b đồng quy
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
(giao tuyến song song)
Dạng:Hai mặt phẳng có một điểm chung và chúng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng là một đường thẳng đi qua điểm chung và song song với hai đường thẳng trên
Phương pháp: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Trình bày:
A?(?)?(?)
a? (?)
b? (?)
a // b

? (?)?(?) = Ax//a
A
x
?
?
b
a
Bài tập áp dụng:
Bài1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành .Gọi H ,K và P lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA , SB và SD .
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD);
(SAC) và (SBD).
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (PKC)
d) Cho M thuộc cạnh SC ( M ?C, S ) . Tìm giao điểm của mặt phẳng (HKM) và đường thẳng SD
e) Gọi (SAD) ? (SBC) = Sy
Chứng minh : ba đường thẳng Sy , DH và CK đồng quy.
f) Gọi (SAB) ? (SCD) = Sx ,trên SX , Sy lần lượt lấy hai điểm J và L. Chứng tỏ LJ // (ABCD)
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD);
(SAC) và (SBD).
BÀI GIẢI
?Tìm (SAB)?(SCD)
Ta có S?(SAB)?(SCD)
AB//CD
AB? (SAB)
CD? (SCD)
(SAB)?(SCD) = Sx//AB
?Tìm (SAC)?(SBD)
Ta có S?(SAC)?(SBD)
Trong (ABCD), AC?BD=O
?O?AC ? (SAC)
O?BD ? (SBD)
O?(SAC)?(SBD)
? SO = (SAC)?(SBD)


S
A
B
C
D
x
O
BÀI GIẢI
S
A
B
C
D
x
O
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (DKC)
?Tìm (SAB)?(SCD)
Ta có S?(SAB)?(SCD)
AB//CD
AB? (SAB)
CD? (SCD)
(SAB)?(SCD) = Sx//AB
y
BÀI GIẢI
S
A
B
C
D
P
K
x
O
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (PKC)
y
z
?Tìm (ABCD)?(PKC)
Ta có C?(ABCD)?(PKC)
PK//BD (đtb?SBD)
BD? (SBD)
PK? (PKC)
?(SAB)?(SCD) = Cz//BD
BÀI GIẢI
S
A
B
C
D
M
H
K
x
O
y
d) Cho M thuộc cạnh SC ( M ?C, S ) . Tìm giao điểm của mặt phẳng (HKM) và đường thẳng SD
Q
Chọn (SCD)? SD
Tìm (SCD)?(HKM)
Có HK // AB (đtb?SAB)
AB // CD (hbh)
Nên HK // CD
Lại có:M? (HKM)
M ?SC? (SCD)
? M ? (SCD)?(HKM)
HK // CD(cmt)
(SCD)?(HKM) =Mt//CD
Trong mp (SDC), Mt ? SD = Q
?Q?Mt ? (SCD)
Q? SD
SD ? (HKM)
? Q = SD ?(HKM)
I
e) Gọi (SAD) ? (SBC) = Sy
Chứng minh : ba đường thẳng Sy , DH và CK đồng quy.
BÀI GIẢI
S
A
B
C
D
H
K
x
y
T
Cách 1(Mái nhà)
Ta có
HK // CD ? ?mp(HKCD)
(SAD)?(SBC) = Sy
(SAD)?(HKCD) = DH
(HKCD)?(SBC) = CK
Trong mp(SBC),
CK ?Sy = T
? Sy , DH , CK đồng quy tại T

e) Gọi (SAD) ? (SBC) = Sy
Chứng minh : ba đường thẳng Sy , DH và CK đồng quy.
BÀI GIẢI
S
A
B
C
D
H
K
x
y
T
Cách 2
Trong mp(SBC),CK ?Sy = T
Trong mp(SAD),DH ?Sy = W
Trong mp(HKCD),CK ?DH = E
MàSy,DH,CK không đồng phẳng
(vì nếu đồng phẳng thì
(SAD) ?(SBC) mâu thuẫn với giả thiết S.ABCD là hình chóp)
Vậy Sy , DH , CK đồng quy tại T
e) Gọi (SAD) ? (SBC) = Sy
Chứng minh : ba đường thẳng Sy , DH và CK đồng quy.
BÀI GIẢI
S
A
B
C
D
H
K
x
y
T
Cách 3
Mp(HKCD) xác định (vì HK // CDcmt)
Trong mp(HKCD) ,CK ?DH = T (a)
(vìHKCD là hình thang đáy lớn là CD )
?T?CK ? (SBC)
T?DH ? (SAD)
? T? (SAD) ? (SBC)
Mà (SAD) ? (SBC) = Sy
T? Sy (b)
Từ (a) , (b) suy ra
ba đường thẳng Sy , DH và CK đồng quy tại T
e) Gọi (SAD) ? (SBC) = Sy
Chứng minh : ba đường thẳng Sy , DH và CK đồng quy.
BÀI GIẢI
S
A
B
C
D
H
K
x
y
T
Cách 4
Mp(HKCD) xác định (vì HK // CDcmt)
Trong mp(SBC) ,CK ?Sy = T (a)
Chứng minh D , H ,T thẳng hàng
(a) ?T? Sy ? (SAD)
T? CK ? (HKCD)
? T? (SAD) ? (HKCD)
Dễ thấy D ? (SAD) ? (HKCD)
Và H? (SAD) ? (HKCD)
Nên : T ,D,H ? (SAD) ? (HKCD)
Suy ra D , H ,T thẳng hàng (b)
Từ (a) , (b) suy ra
ba đường thẳng Sy , DH và CK đồngquy tại T
f) Gọi (SAB) ? (SCD) = Sx ,trên SX , Sy lần lượt lấy hai điểm J và L (L?J). Chứng tỏ LJ // (ABCD)
BÀI GIẢI
S
A
B
C
D
x
y
Ta có :Sx ,Sy ? (Sx,Sy)
Sx // CD (cmt)
Sy // AD (cmt)
Sx ?Sy = S
AD , CD ? (ABCD)
? (Sx,Sy) // (ABCD)
Mà LJ ? (Sx,Sy)
? LJ // (ABCD)
J
L
BÀI 2 : Cho tứ diện ABCD ,gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của AC ,AD và BC.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNB) và (BCD).
Gọi Q là một điểm thuộc cạnh BD sao cho DQ = 2QB,
tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (NQP) và (ACD).
c)Tìm giao điểm của đường thẳng BD và mp(MNP).
d) Gọi K là một điểm thuộc cạnh BC sao cho CK = 2KB.
Chứng tỏ : ba đường thẳng MQ , NK và AB đồng quy.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNB) và (BCD).
GIẢI
A
B
C
D
M
N
P
Q
K
Ta có
B? (MNB) ?(BCD).
MN // CD (đtb ?ACD)
(MNB) ?(BCD) = Bx // CD.
b) Ta có MN // CD (đtb ?ACD)
b) Gọi Q là một điểm thuộc cạnh BD sao cho DQ = 2QB,
tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (NQP) và (ACD).
GIẢI
A
B
C
D
M
N
P
Q
K
Ta có
B? (MNB) ?(BCD).
MN // CD (đtb ?ACD)
(MNB) ?(BCD) = Bx // CD.
b) Ta có MN // CD (đtb ?ACD)
b) Gọi Q là một điểm thuộc cạnh BD sao cho DQ = 2QB,
tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (NQP) và (ACD).
F
c)Tìm giao điểm của đường thẳng BD và mp(MNP).
GIẢI
A
B
C
D
M
N
P
Q
K
F
A
B
C
D
M
N
P