Ở lớp 10, ta đã biết về vectơ trong mặt
phẳng và biết sử dụng vectơ để biểu thị các
đại lượng có hướng và độ lớn trong mặt
phẳng , ví dụ như vận tốc hay lực.
Đối với các đại lượng có hướng trong
không gian, ta có thể sử dụng vectơ để biểu
diễn chúng hay không? Các phép toán
vectơ trong trường hợp này giống và
khác như thế nào với các phép toán
vectơ trong mặt phẳng?

1 . VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN .

Nhận biết vectơ trong không gian .
Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng)
được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ.
a) Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các lực căng ?
b) Các đoạn thẳng này có cùng nằm trong một mặt phẳng không ?

a) Các đoạn thẳng này có hướng lên trên (về phía móc cần
cẩu) và độ dài của các đoạn thẳng thể hiện cho độ lớn của
các lực căng dây và được lấy tỉ lệ với độ lớn của các lực
căng dây.
b) Các đoạn thẳng này không cùng nằm trên một mặt phẳng.

1 . VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN .

1 . VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN .

Hướng đi của tàu hỏa

Hướng đi của thuyền buồn trên biển

1 . VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN .

Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không
gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau :
• Vectơ có điểm đầu là A , điểm cuối là B, ki hệu :
• Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của
vectơ thì vectơ còn được kí hiệu :
• Độ dài của vectơ kí hiệu là , độ dài của vectơ
kí hiệu là
• Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của
một vectơ gọi là giá của vectơ đó (H. 2.4)

a
d

Hình 2.4 . Đường thẳng d
là giá của vectơ a

1 . VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN .

a) Có 3 vectơ là : ,
b) Trong 3 vectơ đó , chỉ có hai vectơ và là có
giá nằm trong mặt phẳng (ABC)
c) Ví tứ diện ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1
nên

1 . VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN .

a) Trong các vectơ đã cho, hai vectơ có giá
nằm trong mp (ABCD)
b) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên
AD = DC = DD'
Tam giác ADD' vuông tại D nên theo định lí
Pythagore ta có
2

2

AD '  AD  DD ' AD 2

1 . VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN .

1

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (H 2.6)
Trong các vectơ , , :
a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD)?
b) Hai vectơ nào có cùng độ dài ?

Tam giác ADC vuông tại D nên theo định lí
Pythagore ta có

AC  AD 2  DC 2  AD 2


Do đó : AD '  AC  AC  AD '
Vậy 2 vectơ có cùng độ dài.

1 . VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN .

Hình thành khái niệm hai vectơ cùng phương, cùng hướng / ngược
hướng , hai vectơ bằng nhau trong không gian.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (H .2.7)
a) So sánh độ dài của hai vectơ và
b) Nhận xét về giá của 2 vectơ và
c) Hai vectơ và có cùng phương không? Có cùng hướng không?
a) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ABCD và
A'B'C'D' là các hình bình hành.


 AB CD  D 'C '  AB  D 'C '

b) Vì ABCD và DCC'D' là các hình bình hành nên
AB//CD, CD//C'D'. Do đó AB//C'D'
Vậy giá của 2 vectơ song song với nhau.
c) Hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

1 . VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN .

•

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song
hoặc trùng nhau.

•

Nếu 2 vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược
hướng.
Hai vectơ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu , nếu chúng có
cùng độ dài và cùng hướng.

•

•

Hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó bằng nhau.

1 . VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN .

Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy
ước sau đối với vectơ trong không gian :
• Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ cho trước, có duy nhất
điểm M sao cho
• Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ : … gọi là
các vectơ-không.
• Ta quy ước vectơ – không có độ dài bằng 0, cùng hướng (và vì vậy
cùng phương) với mọi vectơ. Do đó các vectơ –không đều bằng
nhau và được kí hiệu chung là

1 . VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN .

a) Hai đường thẳng AA' và BC chéo nhau nên 2
vectơ và không cùng phương. Do đó 2 vectơ
và không bằng nhau .
Tứ giác ACC'A' là hình bình hành nên AA'//CC'
Hai vectơ và có cùng độ dài và cùng hướng
nên 2 vectơ đó bằng nhau .
Tương tự và có cùng độ dài nhưng ngược
hướng nên không bằng nhau .

1 . VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN .

2

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' (H. 2.8)
a) Trong 3 vectơ , , , vectơ nào bằng vectơ ? Giải thích vì
sao.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Xác định điểm M' sao cho

b) Gọi M' là trung điểm của B'C'.
Vì tứ giác BCC'B' là hình bình hành nên MM'//BB'
và MM' = BB'
Hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AA'//BB' và AA' = BB',
suy ra MM'//AA' và MM' = AA'
Hai vectơ và có cùng độ dài và cùng hướng nên
Vậy trung điểm cạnh B'C' là điểm M' cần tìm.

3 . TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

- Quy ước nếu hoặc
- Nếu thì hoặc
- Trong không gian, điều kiện cần và đủ để 2 vectơ và cùng
phương là có một số thực k sao cho

3 . TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

Vì lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy
của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình
phương vận tốc máy bay nên :


F1 v 2 900 2 2025
  1 

2
2
2116
F2 v2 920


2025 
 F1 
F 2 (2)
2116


2025 
Từ (1) và (2) , ta có :
F1 
.k F 1
2116

2116
 k
0,96
2025