I .HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

 Trong không gian cho 3 trục Ox, Oy, Oz vuông góc
với nhau từng đôi một.
Gọi , , lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox,
Oy, Oz
Hệ 3 trục như vậy gọi là Hệ trục tọa độ Descartes
vuông góc Oxyz trong không gian

 2 2
 Điểm O: gốc tọa độ
 2
i  j k

Ta có:    
(Oxy), (Oyz), (Ozx): là các mặt phẳng tọa độ
i. j  j.k k .i 0
Không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi là không gian Oxyz

 Câu hỏi 1: Trong phòng học có hình ảnh minh họa về hệ toạ độ Oxyz trong
không gian hay không? Nếu có, hãy mô tả gốc toạ độ và các mặt phẳng toạ
độ trong hình ảnh đó.

1

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Có thể lập
một hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh B' và các vectơ lần lượt là các
vectơ không? Giải thích vì sao.
B

B'A', B'C' và B'B đôi một vuông góc với nhau.



BA  BC   BB 1
Từ các điều trên, suy ra có thể lập một hệ toạ
độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh B' và các
  
vectơ lần lượt là các vectơ
BA, BC , BB

A

C
D

B
A

C
D

Các thành phần không thể thiếu của hệ toạ độ đó là các trục toạ độ
và các vectơ đơn vị trên mỗi trục.

1

 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D. Có thể lập một hệ toạ độ
Oxyz có gốc O trùng với đỉnh C và các vectơ lần lượt cùng
  
hướng với các vectơ CB, CD, CC ' không? Giải thích vì sao.

Hệ toạ độ gồm các trục CB, CD, CC' (đôi
một vuông góc tại C).

B
A

Các vectơ đơn vị lần lượt cùng
  
phương với các vectơ CB, CD, CC '.

D

C

B
A


i C
 
j k

D

2

Trong không gian Oxyz, cho điểm M không thuộc các mặt phẳng toạ độ. Vẽ hình
hộp chữ nhật
   có ba đỉnh A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy,
 OADB.CFME



Oz.
OM
OA  OB OC
a) Hai
bằng
xi 
y j nhau
zk , xhay
, y, zkhông?

b)
Giảivectơ
thích vì saovàcó thể viết OM có
z

   
a) OM OA  OB  OC (Áp dụng quy tắc hình hộp).
  
b) Mỗi vectơ OA, OB, OC lần lượt cùng phương

với các vectơ i , j , k .

E

C

M

F

O

x

A


i


k

B y


j
D

II . TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM & CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

 Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x;y;z) duy nhất sao cho:




OM  xi  y j  zk được gọi là tọa độ của M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết
M ( x; y; z) hoặc M ( x; y; z) trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của M
 Hãy tìm tọa độ của các điểm M, N, P biết:

  
OM 2i  3 j  k

 
ON  i  3 j


OP 2i

 Hãy tìm tọa độ của gốc tọa độ O.

2

 Hình 2.38 minh hoạ một hệ toạ độ Oxyz trong không gian cùng với các
hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị. Tìm toạ độ của điểm M.
z

 ABCM.FODE là hình hộp chữ nhật.
Áp dụng quy tắc hình hộp, suy ra:
   
  
OM OF  OD  OB 3i  4 j  3k


j M

A

i

Vì vậy, toạ độ của điểm M là (3; 4; 3).
 Tương tự, hãy tìm toạ độ của điểm N.

C

B

x

F

O


k

y
D

E
Hình 2.38

 Để xác định toạ độ của điểm M trong không gian ta cần biểu diễn
vectơ OM qua các vectơ đơn vị.

3

 Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A'
trùng với gốc O và các đỉnh D', B', A lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz. Giả
sử đỉnh C có toạ độ là (2; 3; 5), tìm toạ độ của các đỉnh D', B', A, B, D,C'
z

   

 
 Ta có: OC OD '  OB '  OA mi  nj  pk

Do đó, C(m; n; p). Mặt khác, đỉnh C(2; 3; 5) nên
m = 2, n = 3, p = 5.
Suy ra D'(2; 0; 0), B'(0; 3; 0) và A(0; 0; 5).
  
 
 Ta có OC ' OD '  OB ' 2i  3 j
Nên C'(2; 3; 0). Tương tự, B 0; 3; 5 , D 2; 0; 5 .

B

A
D


j

i A O

D

x

C

k

y
B

C
Hình 2.40

Hình chiếu vuông góc của M trên:
 Các trục Ox, Oy và Oz có toạ độ lần lượt là (x; 0; 0), (0; y; 0) và (0; 0; z).
 Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz) và (Ozx) có toạ độ lần lượt là (x; y; 0), (0; y, z) và (x; 0; z).

4

 Trong không gian Oxyz, cho điểm M(-1;3;2). Hãy xác định tọa độ các điểm
là hình chiếu vuông góc của M lên các trục tọa độ và lên các mặt phẳng tọa
độ.
Hình chiếu vuông góc của M(-1;3;2) trên:

Trục Ox có tọa độ là (-1;0;0).
Trục Oy có tọa độ là (0;3;0).
Trục Oz có tọa độ là (0;0;2).

Mp(Oxy) có tọa độ là (-1;3;0).
Mp(Oxz) có tọa độ là (-1;0;2).
Mp(Oyz) có tọa độ là (0;3;2).

Hình chiếu vuông góc của M trên:
 Các trục Ox, Oy và Oz có toạ độ lần lượt là (x; 0; 0), (0; y; 0) và (0; 0; z).
 Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz) và (Ozx) có toạ độ lần lượt là (x; y; 0), (0; y, z) và (x; 0; z).

https://gemini.google.com/share/efc076493866

(-2;-3;3)

(3;5;4)

KTBC





Trong không gian Oxyz, cho điểm M sao cho OM  i  3 j  2k .
Lúc đó:

Tọa độ của M =(-1;3;2)
Hình chiếu vuông góc của M(-1;3;2) trên:
Trục Ox có tọa độ (-1;0;0).
là
Trục Oy có tọa độ là (0;3;0).
Trục Oz có tọa độ là (0;0;2).

Mp(Oxy) có tọa độ là (-1;3;0).
Mp(Oxz) có tọa độ là (-1;0;2).
Mp(Oyz) có tọa độ là (0;3;2).

3

 

 Trong không gian Oxyz, cho vectơ a tuỳ ý. Lấy điểm M sao cho OM a và
   
giải thích vì sao có bộ ba số (x; y, z) sao cho a  xi  yj  zk .

z

Gọi  x; y; z  là toạ độ của điểm M

  
thì OM  xi  yj  zk, suy ra
   
a  xi  yj  zk


a
M


k

Bộ 3 số (x; y, z) đó là duy nhất.

O

x


i


j

y

3) TỌA ĐỘ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN



 Trong không gian Oxyz, cho vectơ a tuỳ ý. Bộ ba số (x; y, z) duy nhất sao cho:

   
vectơ a đối với hệ toạ độ Oxyz.
a  xi  yj  zk được
 gọi là toạ độ của

Khi đó, ta viết a = (x, y, z) hoặc a (x;y;z).

3

Hãy tìm tọa độ của các vectơ sau:

  
a  2i  3 j  k

 
u  i  3 j


n 2 j

z


a
M


k
O

x


i


j

y

 

Nếu OM a thì toạ độ của vectơ


a và toạ độ của điểm M có quan hệ gì?




1) Toạ độ a là toạ độ của M nếu OM a.



Hai vectơ a  x; y; z , b  x '; y '; z '  bằng nhau khi nào?

 x x '
  
2) a b   y  y '.
 z z '


4



Tìm m,n,k để hai vectơ a m; 2n; k  1 và b 3; 4;  5  bằng nhau.

 

Nếu OM a thì toạ độ của vectơ


a và toạ độ của điểm M có quan hệ gì?




1) Toạ độ a là toạ độ của M nếu OM a.



Hai vectơ a  x; y; z , b  x '; y '; z '  bằng nhau khi nào?

 x x '
  
2) a b   y  y '.
 z z '


3) Trong không
gian Oxyz, cho 2 điểm M ( x M ; yM ; zM ) , N ( x N ; yN ; zN ).

Khi đó: MN ( x  x ; y  y ; z  z )
N
M
N
M
N
M

3) Trong không gian
 Oxyz, cho 2 điểm M ( x M ; yM ; zM ) , N ( x N ; yN ; zN ) . Khi đó:

MN ( x N  x M ; yN  yM ; zN  zM )

5

Trong không gian Oxyz,
   cho A(1; 0; 2), B(3; 2; 5), C(7; -3; 9)
a) Tìm toạ độ của AB, BC , CA . 
b) Tìm toạ độ của điểm M để BM CA.
c) Tìm toạ độ của điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

6

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A(1; 0; 2),
B(3; 2; 5), C(7; -3;
 9) và A'(5; 0; 1).
Tìm toạ độ của AA ' và toạ độ của các điểm B', C'
A'

a) (4; 0; -1).

C'
B'

b) Gọi toạ độ của điểm B' là (x; y, z) thì = (x - 3; y - 2; z - 5).
Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên ABB'A' là hình bình hành,
suy ra =
Vậy: B(7; 2; 4). Tương tự ta cũng có C'(11; -3; 8)

C

A
B

TRẮC NGHIỆM NHANH
https://gemini.google.com/share/5d818ee449ed

Trong Ví dụ 5, xác định toạ độ của các điểm D và D' sao cho
ABCD.A'B'C'D' là hình hộp.

5







Vì AD BC 4;  5; 4  nên D 5;  5;6 . Vì DD '  AA ' 4; 0;  1 nên D ' 9;  5;5 .

2

Gọi vectơ biểu diễn độ dịch chuyển
của máy bay trong nửa giờ là AB thì AB

cùng hướng với vectơ đơn vị j và có độ dài bằng quãng đường máy bay di
chuyển trong nửa giờ đó, tức là bằng 890 0, 5 445 km.

Suy ra AB có toạ độ là (0; 445; 0).


HƯỚNG DẪN BÀI TẬP SGK
2.13. Các mệnh đề đúng là a), d).
2.14. Trục Ox là mép trần nhà nằm trên bức tường chứa bức tranh, trục Oy là mép còn lại
của bức tường chứa bức tranh và trục Oz là mép trần nhà còn lại.