Ví dụ: Cho tứ diện ABCD như hình vẽ.

A
B
C
D
Trong chương này ta sẽ nói đến các vectơ trong không gian. Các phép toán về vectơ trong mặt phẳng đã biết vẫn đúng trong không gian
Các vectơ có cùng nằm trong một mặt phẳng hay không?

Các vectơ có cùng nằm trong một mặt phẳng hay không?

KHÔNG
Bài 1:Cho hình hộp ABCD.A`B`C`D` với tâm O.
a/ Hãy chỉ ra những vectơ bằng nhau khác vectơ - không và kiểm tra tính đúng đắn của đẳng thức

Công thức trên gọi là quy tắc hình hộp

b/ Chứng minh rằng:

GIẢI

1. Véctơ Trong Không Gian
BÀI 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ
A
B
C
D
A`
B`
C`
D`
O
nên:
Mà
a/
* Nhöõng vectô khaùc vectô-khoâng baèng nhau laø?
Chú ý: Ta có thể tìm thấy kết quả trên nhờ việc nhận xét ACC`A` và ABCD là các hình bình hành nên:

Và

A
B
C
D
A`
B`
C`
D`
b/
nên:
Vì
A
B
C
D
A`
B`
C`
D`
O
Bài 2: Cho tứ diện ABCD với trọng tâm G và các trung điểm các cạnh của nó (hình vẽ). Hãy chỉ ra trên hình vẽ những vectơ khác vectơ - không bằng nhau và kiểm tra xem đẳng thức

Có đúng không?
A
B
C
D
M
K
H
N
G
J
I
GIẢI:

Ta có


Vậy
A
C
D
M
K
H
N
G
J
B
I
* Nhöõng vectô khaùc vectô-khoâng baèng nhau laø?

Bài 3: Cho lăng trụ ABC.A`B`C`. Đặt

1/ Hãy biểu thị mỗi vectơ
qua các vectơ
2/ Gọi G` là trọng tâm tam giác A`B`C`. Biểu thị vectơ qua
A
B
C
A’
B’
C’
GIẢI:
1/

2/ Vì G` là trọng tâm tam giác A`B`C` nên:
A
B
C
A’
B’
C’
G’
Với điểm A
bất kì ta có?
Ví dụ�1: Cho tứ diện ABCD.
1/Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng tỏ rằng:

2/ Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau đây xảy ra:
a/
b/ với mọi điểm P
A
B
C
D
M
N
G
Giải: 1/ Sử dụng quy tắc ba điểm ta có

Do
Và
Nên
Tương tự như trên,ta có

2/ a/ Ta có
Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi
Điều này tương đương với
A
B
C
D
M
N
G
b/ G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi
Điều này có nghĩa là với điểm P bất kì, ta có;

hay
A
B
C
D
M
N
G
Kết quả câu a/
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c`, AC = b, BD = b`, BC = a, AD = a`. Tính góc giữa các vectơ và
A
B
C
D
b
a
b’
a’
c
c’

Giải: Ta có




Từ đó góc xác định bởi
Mà

2. Söï ñoàng phaúng cuûa caùc vectô.
Định nghĩa: Ba vectơ gọi laøđñồng phẳng nếu caùc giaù của chuùng cuøng song song với một mặt phẳng
(giaù của ba vectơ
đñều song song với mp (P) neân ba vectơ đñồng phẳng)
A
B
C
O
P
BÀI 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTƠ
1. Véctơ Trong Không Gian
Nh?n xét:
N?u ta v?

thì ba vecto dđ?ng ph?ng khi và ch? khi b?n dđi?m O,A,B,C cùng n?m trong m?t m?t ph?ng
A
B
C
O
P
Bài toán 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ba vectơ

đồng phẳng
A
B
C
D
M
N
P
Q
Giaûi: Goïi P vaø Q laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC vaø BD.
Khi ñoù MP // QN vaø MP = QN =1/2BC. Vaäy töù giaùc MPNQ laø hình bình haønh.
Nhận xét gì về
4 điểm M, N, P, Q?
Mặt phẳng (MPNQ) chứa đường thẳng MN và song song với các đường thẳngAD và BC. Suy ra ba đường thẳng MN, AD, BC cùng song song với một mặt phẳng. Do đó ba vectơ đồng phẳng
A
B
C
D
M
N
P
Q
A
B
C
A’
B’
C’
Cho hình lăng trụ ABC.A`B`C` như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
a/ đồng phẳng.
b/ đồng phẳng.
c/ đồng phẳng.

D
D
S
XIN CHÚC MỪNG
Qua các bài tập vừa làm, ta thấy các kết quả của vectơ trong hình học phẳng còn đúng không?
Do đó các phép toán về vectơ có vai trò nhất định trong việc giải một số bài toán hình học không gian. Ví dụ:Để chứng minh bốn điểm A,B,C,D thuộc một mặt phẳng ta chứng minh ba vectơ
đồng phẳng.hoặc một số dạng bài tập khác mà ta sẽ học trong phần tiếp theo!
Bài học đến đây xin tạm dừng.Xin cám ơn quý Thầy Cô cùng tất cả các em!
NĂM MỚI KÍNH CHÚC QUÝ THẦY CÔ "AN KHANG - THỊNH VƯỢNG - VẠN SỰ NHƯ Ý".
CHÚC CÁC EM VUI VẺ VÀ HỌC GIỎI!
HAPPY NEW YEAR