NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
1. Bình phương của một tổng: ( A + B )2 = A2 + 2 AB + B2
2. Bình phương của một hiệu: ( A - B )2 = A2 - 2 AB + B2
3. Hiệu hai bình phương: A2 - B2 = ( A - B)( A + B)
4. Lập phương của một tổng:
( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A+ B)
5. Lập phương của một hiệu:
( A - B )3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 = A3 - B3 - 3AB(A - B)
6. Tổng hai lập phương:  A3 + B3 = ( A + B)( A2 - AB + B2 )
7. Hiệu hai lập phương: A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2 )



7 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên
1. Tổng hai bình phương: A2 + B2 = ( A + B )2 - 2 AB
= ( A - B )2 + 2 AB
2. Tổng hai lập phương: A3 + B3 = ( A + B)3 - 3AB ( A + B )
3. Bình phương của tổng 3 số hạng:
(A + B + C )2 = A2 + B2 + C 2 + 2( AB + BC + CA)
Chứng minh:
((A + B) + C)2 = (A+B) 2 + 2(A+B)C + C2
= A2 + 2AB + B2 + 2AC + 2BC + C2
  = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC
 
(A – B + C)2 =
(A – B – C) 2 =
(A + B – C) 2 =
A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC
A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC
A2 + B2 + C2 + 2AB – 2AC – 2BC
hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên
1. Tổng hai bình phương: A2 + B2 = ( A + B )2 - 2 AB
= ( A - B )2 + 2 AB
2. Tổng hai lập phương: A3 + B3 = ( A + B)3 - 3AB ( A + B )
3. Bình phương của tổng 3 số hạng:
(A + B + C )2 = A2 + B2 + C 2 + 2( AB + BC + CA)
4. Lập phương của tổng 3 số hạng:
( A + B + C )3 = A3 + B3 + C3 + 3( A + B )( B + C )(C + A)
TAM GIÁC PASCAN
(a + b)n = anb0 + nan- 1 b1 + …+na1bn-1+ a0bn
Với n = 2 thì: (a + b)2 = a2b0 + 2a1b1 + a0b2 = a2 + 2ab + b2
Với n = 3 thì: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
  (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
 Với n = 4 thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
 Với n = 5 thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Với n = 6 thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6
HẲNG ĐẲNG THỨC HIỆU 2 LẬP PHƯƠNG VÀ n HẰNG ĐẲNG THỨC
 
A2 + B2 = (A + B)2 – 2AB = (A - B)2 + 2AB
A2 – B2 = (A + B)(A – B)
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
A4 + B4 = (A + B)(A3 - A2B + AB2 - B3)
A4 – B4 = (A - B)(A3 + A2B + AB2 + B3)
An + Bn = (A + B) (An-1 – An-2 B + An-3 B2 – An-4B3 +…..+(-1)n-1 B n-1)
An – Bn = (A - B) (An-1 + An-2B + An-3B2 + An-4B3 +….+ Bn-1)
BÀI TẬP CƠ BẢN:
Dạng 1: Biến đổi biểu thức
Bài 1: Thực hiện phép tính:
(-3x + 2 y )2 b) (-x - xy )2
c) x2 - 4 y2 d) ( x + y)2 - (2 - y )2


Giải:  Áp dụng hằng đẳng thức ta có:
(-3x + 2 y )2 = (-3x)2 + 2(-3x)(2y ) + (2y )2 = 9x2 - 12xy + 4y2
b) (-x - xy ) 2 = (-x) 2 - 2(-x)( xy) + ( xy ) 2 = x2 + 2x2y + x2y2
c) x2 - 4 y2 = x2 - (2 y ) 2 = ( x - 2 y )( x + 2y )
d) ( x + y ) 2 - (2 - y ) 2 = (( x + y) - (2 - y ))(( x + y ) + (2 -y ))
= ( x + 2 y - 2)( x + 2)
Bài 2: Thực hiện phép tính:
a) ( x + y )( x2 - xy + y2 ) - (-x + y )(x2 + xy + y2 )
b) 2x3 - 6x2 + 6x - 2
c) x3 + 6x2 + 12x + 8
d) ( x + y)3 - ( x - 2 y )3
Giải: Áp dụng bất đẳng thức ta được:
a) ( x + y )( x2 - xy + y2 ) - (-x + y )(x2 + xy + y2 )
= x3 + y3 + ( x - y )(x2 + xy + y2 ) = x3 + y3 + x3 - y3 = 2x3

b) Ta có: 2x3 - 6x2 + 6x - 2 = 2( x3 - 3x2 + 3x - 1) .= 2( x - 1)3 .
 
c) Ta có: x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3.2x2 + 3.22.x + 23
= ( x + 2)3

d) ( x + y )3 - ( x - 2 y )3
= (x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 ) - (x3 - 3.x2 .2 y + 3.x.(2 y )2 - (2 y )3 )
= x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 - x3 + 6x2 y -12xy2 + 8 y3
= 9x2 y - 9xy2 + 9 y3
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a) (a - b + c + d )(a - b - c - d )
b) ( x + 2 y + 3z )( x - 2 y + 3z )
c) ( x - 1)(x2 + x + 1)( x + 1)( x2 + x + 1)
d) ( x + y )3 - ( x - y )3
e) (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1)
Giải
a) (a - b + c + d )(a - b - c - d )
= [(a - b) + (c + d )].[(a - b) - (c + d )]=[ (a - b)2 - (c + d )2
= a2 - 2ab + b2 - c2 - 2cd - d 2 = a2 + b2 - c2 - d 2 - 2ab - 2cd
b) ( x + 2 y + 3z )( x - 2 y + 3z ) = [( x + 3z ) + 2 y].[( x + 3z ) - 2 y]
= ( x + 2z )2 - (2 y )2 = x2 + 6xz + 9z2 - 4 y2
c) ( x - 1)(x2 + x + 1)( x + 1)( x2 + x + 1) = (x3 - 1)( x3 + 1) = x6 - 1
d) ( x + y )3 - ( x - y )3
= (x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 ) - (x3 - 3x2 y + 3xy2 - y3 )
= x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 - x3 + 3x2 y - 3xy2 + y3
= 6x2 y + 2 y3 = 2 y (3x2 + y2 )
e) (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1)
= (x2 + 3x + 1 - 3x + 1)2 = ( x2 + 2)2
Bài 4: Điền đơn thức thích hợp vào các dấu *
 
a) 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3
 
= (2x)3 + 3.(2x)2.3y + 3.2x.(3y)2 + (3y)3 = (2x + 3y)3
 
= 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = (2x + 3y)3
 
b) 8x3 + 12x2y + * + * = (* + *)3
 
= (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3
 
= 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3
c) x3 – * + * – * = (* – 2y)3
= x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 = (x – 2y)3
a) A = (x + y)2 – (x – y)2
Bài 5: Rút gọn biểu thức:
b) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2
c) C = (x + y)3 - (x – y)3 – 2y3
d) (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2
e) (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 – 1)
f) (a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2
g) (a + b + c)2 + (a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2


 
Bài 6: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hay một hiệu:
 
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức
Bài 1: Cho x + y = 1. Tính giá trị biểu thức sau: A = x3 + 3xy + y3
Giải
 
Áp dụng hằng đẳng thức bậc 3, ta được:
A = x3 + y3 + 3xy = ( x + y )(x2 - xy + y2 ) + 3xy
= ( x + y )(( x + y)2 - 3xy ) + 3xy
 
Theo bài ra x + y = 1, thay vào A ta được:
A = ( x + y )(( x + y )2 - 3xy ) + 3xy = 1.(12 - 3xy ) + 3xy
= 1 - 3xy + 3xy = 1
 Vậy A = 1 .
Bài 2: Cho x - y = 4 và xy = 5 . Tính B = x3 - y3 + ( x - y)2
Giải.
 Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:
B = x3 - y3 + ( x - y )2 = ( x - y )(x2 + xy + y2 ) + ( x - y )2
= ( x - y )(( x - y )2 + 3xy ) + ( x - y )2


Theo bài ra x - y = 4 , xy = 5 thay vào B ta được:

B = ( x - y )(( x - y )2 + 3xy) + ( x - y )2 = 4(42 + 3.5) + 16 = 140
Bài 3: Cho a - b = 7 . Tính giá trị biểu thức :
A = a2 (a + 1) - b2 (b - 1) - 3ab (a - b + 1) + ab
 

Giải
 
Ta có : A = a3 + a2 - b3 + b2 - 3ab (a - b) - 3ab + ab
= a3 - 3ab (a - b) - b3 + a2 + b2 - 2ab
= (a - b)3 + (a - b)2 = 73 + 72 = 392
Bài 4: Biết xy = 11 và x2 y + xy2 + x + y = 2016 .
Hãy tính giá trị : x2 + y2

 
Giải
Ta có:x2 y + xy2 + x + y = 2016
xy ( x + y ) + x = y = 2016
11( x + y ) + ( x + y ) = 2016
12 ( x + y ) = 2016 Þ x + y = 168
 
Mà x2 + y2 = ( x + y )2 - 2xy = 1682 - 2.11 = 28202
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
 
Phương pháp:
* Giá trị lớn nhất của biểu thức A( x) . Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng:
-Q2 ( x) + m  m (với m là hằng số)  GTLN của A( x) = m.

* Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A( x) . Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng
Q2 ( x) + n  n (với n là hằng số)  GTNN của A( x) = n .
Bài 1: Chứng minh rằng x2 - 4x + 10 luôn dương với mọi x

 
Giải
 
Ta có:

x2 - 4x + 10 = x2 - 2.2.x + 4 + 6 = ( x - 2)2 + 6

 
Ta thấy ( x - 2)2 ³ 0 Þ ( x - 2)2 + 6 luôn dương với mọi x .
Bài 2: CMR với mọi giá trị của biến x ta luôn có:
 
a) – x2 + 4x – 5 < 0
 Ta có: – x2 + 4x – 5 = - (x2 – 4x + 5) = - (x2 – 4x + 4 + 1)
= - [(x – 2)2 + 1]
 Mà (x – 2)2 ≥ 0 nên (x – 2)2 + 1 > 0
 Do đó – [(x – 2)2 + 1] < 0 với mọi giá trị của biến x
b) x4 + 3x2 + 3 > 0
Ta có: x4 ≥ 0 ; 3x2 ≥ 0 nên x4 + 3x2 + 3 > 0 , với mọi x
c) (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + 3 > 0
Ta có: (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 4) + 3
= (x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 3 + 1) + 3
  = (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 3) + 1 + 2
= (x2 + 2x + 3)2 + (x2 + 2x + 1) + 5
= (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + 5
 Ta có: (x2 + 2x + 3)2 ≥ 0; (x + 1)2 ≥ 0
 nên (x2 + 2x + 3)2 + (x + 1)2 + 5 > 0 , với mọi x
 
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a) A = -x2 - 2x + 5 b) B = 9x - 3x2 + 4
 
Bài 5:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
a) A = 15 - 8x - x2
b)B = 4x - x2 + 2
c)C = - x2 - y2 + 4x - 4 y + 2
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a) A = 5x2 + 5 y2 + 8xy + 2 y - 2x + 2020
b)M = 5x2 + y2 + z2 - 4x - 2xy - z - 1
a) Ta có :
 
A = 4x2 + 8xy + 4 y2 + x2 - 2x + 1 + y2 + 2 y + 1 + 2018
= 4( x + y )2 + ( x - 1)2 + ( y + 1)2 + 2018  2018
 Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 2018 tại x = 1; y = -1
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) A = (x2 - x + 1)2 b) B = x4 - 2x3 + 2x2 - 2x +1
 
Bài 8 : Chứng minh rằng với mọi x ta có :

a)x ( x - 6) + 10 > 0

b) ( x - 3)( x - 5) + 3 > 0

c)x2 + x + 1 > 0
Bài 1: Cho các số thực x; y thỏa mãn điều kiện x + y = 3; x2 + y2 = 17 . Tính giá trị biểu thức x3 + y3 .
Bài 2: Tìm các giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) A = x 2 – 2x + 5 b) B = x 2 – x + 1
c) C= (x – 1) (x + 2)(x +3)(x+ 6)
d) D = x 2 + 5y2 – 2xy + 4y + 3
Bài 3:Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) A = –x 2 – 4x – 2
b) B = –2x 2 – 3x + 5
c) C = (2 – x )(x + 4)
d) D = –8x 2 + 4xy – y2 + 3
Bài 4: Chứng minh rằng các giá trị của các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến.
A = 25x 2 – 20x + 7 b) B = 9x 2 – 6xy + 2y2 + 1
c) E = x 2 – 2x + y2 - 4y + 6
BÀI TẬP VỀ NHÀ:
Bài 9:
a) Cho a + b = 2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2
b) Cho x + 2 y = 8 .Tìm giá trị lớn nhất của B = xy
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3(x2 + y2 ) biết x2 + y2 = xy + 12