MẶT CẦU
Bài 2
(Đầy đủ)
Trong mặt phẳng (P) cho 2 điểm A,B cố định, M di động,
Tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn đường kính AB.
Nhắc lại định nghĩa đường tròn trong mặt phẳng?
A
B
M
O
Mở rộng trong không gian, Tập hợp tất cả các điểm M thỏa yêu cầu nêu trên cho ta hình gì?
Ta đã biết về mặt tròn xoay. Hình nào tròn xoay cho ra mặt cầu?
Hình ảnh trái đất
Hình ảnh mặt trăng
Hình ảnh trái bóng
Một số vật có hình ảnh là mặt cầu thường gặp
I. MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU
1. Mặt cầu
Mặt cầu tâm O bán kính r, kí hiệu là S(O;r).
Vậy: S(O;r) = { M / OM = r}
- Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một đường kính của mặt cầu và AB = 2r.
O
A
B
C
* Định nghĩa: Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O một khoảng không đổi bằng r (r > 0) gọi là mặt cầu tâm O bán kính r.
Nếu C,D S(O,r) thì đoạn thẳng CD gọi là một dây cung.
D
M
Cho mặt cầu S(O;r) và điểm A,B,C.
Nhận xét vị trí tương đối của các điểm A,B,C đối với mặt cầu?
2. Điểm trong và điểm ngoài của mặt cầu. Khối cầu
r
O
A
B
C
Nhận xét:
A nằm trên mặt cầu S(O;R)
B nằm trong mặt cầu S(O;R)
C nằm ngoài mặt cầu S(O;R)
OA = r
OB < r
OC > r
O
A
B
C
2. Điểm trong và điểm ngoài của mặt cầu. Khối cầu
A.
A.
- Nêu OA = r
- Nêu OA > r
- Nêu OA < r
Cho mặt cầu S(O;r) và điểm A bất kì.
A.
Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O;r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu dú được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kớnh r
thì A nằm trên mặt cầu.
thì A nằm ngoài mặt cầu.
thì A nằm trong mặt cầu.
Ví dụ: quả bóng đá, quả bóng chuyền...
Ví dụ: viên bi, trái đất…
Mặt cầu bên trong rỗng
Khối cầu bên trong đặt
Mặt cầu
Khối cầu (Hình cầu)
3. Biểu diễn mặt cầu
- Để biểu diễn một mặt cầu trên mặt phẳng ta thường dùng một đường tròn.
- Để tăng tớnh trực quan người ta thường vẽ thêm hình biểu diễn của một số đường tròn nằm trên mặt cầu dú.
B
Kinh tuyến
Xích đạo
4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu
Điểm cực Bắc
Điểm cực Nam
Vĩ tuyến
Trục
Cho mặt cầu S(O ; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên mp( P ). Khi đó h = OH là khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P).
Hãy cho biết giữa mặt cầu và mặt phẳng có thể có những vị trí tương đối nào xảy ra ?
II. GIAO ĐIỂM CỦA MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG
(1). Mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung
(2). Mặt phẳng và mặt cầu tiếp xúc với nhau tại 1 điểm.
(3). Mặt phẳng cắt mặt cầu theo 1 đường tròn.
P
O
H
.
Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu.
Nếu M là một điểm thuộc (P) thì OM OH. Thì OM > r.
P
O
H
.
Vậy mọi điểm M trên mặt phẳng đều nằm ngoài mặt cầu . Do đó mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung.
1. Trường hợp h > r
Mp(P) và mặt cầu có điểm chung duy nhất H.
Khi đó ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại H.
Mp(P) là tiếp diện của mặt cầu tại điểm H. Điểm H gọi là điểm tiếp xúc (hoặc tiếp điểm) của (P) và mặt cầu.
P
.
O
H
.
.
M
r
2. Trường hợp h = r
Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O ; r) tại điểm H thuộc (S) là mp(P) vuông góc với bán kính OH tại H.
P
.
O
H
.
R
P
.
O
.
H
.
M
r’
r
Mp(P) cắt mặt cầu S(O ; r) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp(P) có tâm là H và có bán kính:
r’ = r2 - h2
3. Trường hợp h < r
Khi h = 0 thì tâm của mặt cầu thuộc mặt phẳng (P) Ta có giao tuyến của (P) và mặt cầu là đường tròn tâm O bán kính r. Đường tròn này gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.
.
Mặt phẳng (P) đi qua tâm O của mặt cầu gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu đó.
r
M
O
ĐẶC BIỆT
P
.
O
H
.
R
.
O
.
H
.
M
r
α
Câu hỏi:
Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O;r) và mặt phẳng (α) biết rằng khoảng cách từ tâm O đến (α) bằng
Giải:
(α) cắt mặt cầu theo đường tròn
tâm H bán kính là đoạn MH
Tính bán kính MH = ?
MH² =
OM² - OH² =
Vậy đường tròn cần tìm có tâm H và bán kính bằng
Cho mặt cầu S(O ; r) và đường thẳng Δ.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên Δ và
d = OH là khoảng cách từ O tới Δ.
Hãy cho biết giữa mặt cầu và đường thẳng có thể có những vị trí tương đối nào xảy ra ?
III. GIAO CỦA MẶT CẦU VỚI ĐƯỜNG THẲNG. TIẾP TUYẾN CỦA MẶT CẦU
(1). Đường thẳng không cắt mặt cầu.
(2). Đường thẳng và mặt cầu tiếp xúc với nhau tại 1 điểm.
(3). Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
1.Nếu d > r thì Δ không cắt mặt cầu S(O;r).
B
A
O
r
d
C
M
2.Nếu d = r thì Δ cắt mặt cầu tại một điểm duy nhất. Đường thẳng Δ và mặt cầu S(O ; r) có điểm chung duy nhất là H. Khi đó, ta nói đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H (Δ là tiếp tuyến của mặt cầu tại H). Điểm H gọi là điểm tiếp xúc (hoặc tiếp điểm) của Δ và mặt cầu.
B
A
O
r
d
M
C
B
A
O
(∆)
h
3.Nếu d < r thì Δ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt M, N.
r
d
M
N
.
.
Đặc biệt: khi d = 0 thì đt Δ đi qua tâm O và cắt mặt cầu tại hai điểm A, B. Khi đó AB là đường kính của mặt cầu.
Nhận xét:
O
H
Cho mặt cầu S(o,r) và điểm H thuộc (S).
+ Tập hợp các tiếp tuyến của mặt cầu tại H là mặt phẳng tiếp diện với mặt cầu tại H
+ Có vô số tiếp tuyến của mặt cầu tại H.
+ Có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đi qua A và tiếp xúc mặt cầu tại H.
O
A
H
+ Tập hợp các tiếp tuyến của mặt cầu đi qua A và tiếp xúc mặt cầu tại H là mặt nón tròn xoay đỉnh A. Ta nói mặt cầu tiếp xú mặt nón.
I
+ Mặt cầu tiếp xúc với mặt nón theo giao tuyến là đường tròn bán kính r’=IH.
Cho mặt cầu S(O,r), điểm A nằm ngoài (S).
Nhận xét 2.
Mặt cầu nội tiếp hình trụ
Chú ý:
a. Mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ khi mặt cầu tiếp xúc với mặt xung quanh và hai đáy hình trụ,
b. Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của đa diện thuộc mặt cầu
O
I’
A’1
A’2
A’4
A3
A1
I
S
A2
A3
A4
O
d
A’3
A2
A4
A1
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ
c) Mặt cầu được gọi là nội tiếp một đa diện nếu nó tiếp xúc với tất cả các mặt của đa diện.
Mặt cầu nội tiếp hình lập phương
Mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ
Mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương
B
C
A’
B’
C’
D’
A
D
O
Câu hỏi: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu:
a). Đi qua 8 đỉnh của hình lập phương.
IV. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU
1.Mặt cầu bán kính r có diện tích là:
S = 4πr2
2.Khối cầu bán kính r có thể tích là:

Câu hỏi: Cho hình lập phương ngoại tiếp mặt cầu có bán kính r cho trước. Hãy tính thể tích của hình lập phương đó?
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
.
O
M
N
r
Qua bài này các bạn cần nắm:
Định nghĩa mặt cầu.
Bài tập về nhà:1, 2, 7,9, 10/ 49
2. Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu.
3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng.
4. Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu.
5. Mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp hình đa diện.
6. Công thức tính diện tích của mặt cầu và thể tích của của khối cầu.