CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC
ĐỊNH LÝ TA-LÉT, ĐỊNH
LÝ ĐẢO, HỆ QUẢ ĐỊNH LÝ
TRONG TAM GIÁC
A. Định lý
Ta - let
1. Phát biểu định lý.
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
 
2. Ví dụ
Câu 1: Tìm độ dài x cho hình vẽ sau biết MN//BC.
A. x = 2,75    B. x = 5
C. x = 3,75    D. x = 2,25
Câu 2: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = 10cm. Lấy điểm M trên đoạn AB sao cho AM = 4cm, qua M kẻ đường thẳng d song song với BC cắt AC tại N. Tính tỉ số AN và AC?
B. Định lý
Ta- let đảo
1. Phát biểu định lý.
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác
LƯU Ý: Định lý vẫn đúng cho trường hợp cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác.
1. Phát biểu định lý.
LƯU Ý: Định lý vẫn đúng cho trường hợp cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác.
C. Hệ quả
định lý
Ta - lét
1. Phát biểu hệ quả.
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có 3 cạnh tương ứng tỉ lệ với 3 cạnh của tam giác đã cho.
2. Ví dụ
Câu 1: Cho tam giác ABC, đường thẳng d song song với BC cắt 2 cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Biết rằng .

Tỉnh tỉ số chu vi tam giác AMN và ABC ?
Câu 2: Cho tam giác MNP, đường thẳng d song song với NP cắt hai cạnh MN và MP lần lượt tại R và Q. Chu vi tam giác MNP là 60cm và chu vi tam giác MQR là 20cm, PN = 12cm . Tính RQ?
    A. 2cm     B. 2,5cm
    C. 3cm     D. 4cm
D. Các dạng bài tập thường gặp
1. CHỨNG MINH HỆ THỨC ĐOẠN THẲNG.
VD1:
Một đường thẳng đi qua A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng:





c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi.
VD1:
Một đường thẳng đi qua A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng:



HƯỚNG DẪN GIẢI

a) Vì BK//AD và AB//DG nên theo hệ quả định lý Ta-lét ta có:



VD1:
Một đường thẳng đi qua A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng:



HƯỚNG DẪN GIẢI

b)

Vì BK//AD và AB//DG nên theo định lý Ta-lét ta có:


VD1:
Một đường thẳng đi qua A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng:
c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi.
HƯỚNG DẪN GIẢI
c) Vì BK//AD và KC//AD nên theo định lý Ta-lét ta có:





Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được:
1. CHỨNG MINH HỆ THỨC ĐOẠN THẲNG.
 
 
 
 
HƯỚNG DẪN GIẢI

b) FH//BC =>

KM//AC =>
1. CHỨNG MINH HỆ THỨC ĐOẠN THẲNG.
VD3:
Cho hình thang ABCD có AB = a, CD = b. Qua giao điểm 0 của hai đường chéo, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G.
Chứng minh rằng:
HƯỚNG DẪN GIẢI
1. CHỨNG MINH HỆ THỨC ĐOẠN THẲNG.
VD4:
Cho tam giác ABC, PQ//BC với P, Q là các điểm tương ứng thuộc AB và AC. Đường thẳng PC và QB cắt nhau tại G. Đường thẳng đi qua G và song song với BC cắt AB tại E và AC tại F. Biết PQ = a và EF = b.
Tính độ dài của BC.
1. CHỨNG MINH HỆ THỨC ĐOẠN THẲNG.
VD4:
Nhận xét: Định lý Ta-lét ngoài việc ứng dụng cho chứng minh đẳng thức hình học còn được vận dụng để chứng minh bất đẳng thức hình học. Sau đây ta có thể xét một ví dụ về việc vận dụng định lý Ta-lét để chứng minh bất đẳng thức.

VD5:
VD6:
Cho tam giác ABC, biết AB = c; BC = a; CA = b. Phân giác AD.
Chứng minh rằng:
 
Nhận xét:
Từ kết quả bài toán trên, ta có:
VD7:
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và x, y, z là độ dài của các đường phân giác tương ứng.
Chứng minh bất đẳng thức sau:
HƯỚNG DẪN GIẢI
2. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, NHIỀU ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY, NHIỀU ĐIỂM THẲNG HÀNG.
 
VD2: Qua giao điểm O của 2 đường chéo tứ giác ABCD, ke 1 đường thẳng tuỳ ý cắt cạnh AB tại M và CD tại N. Đường thẳng qua M song song với CD cắt AC ở E và đường thẳng qua N song song với AB cắt BD ở F. Chứng minh BE//CF.
HƯỚNG DẪN GIẢI
 
HƯỚNG DẪN GIẢI
 
HƯỚNG DẪN GIẢI
 
VD5: Cho tứ giác ABCD, về các đường thẳng d1 // d2 // AC. di cắt AD, BC theo thứ tự tại E và F. d2 cắt BA, BC theo thứ tự tại G và H (GH khác EF). Chứng minh rằng EG, DB, HF đồng quy.
HƯỚNG DẪN GIẢI
VD6: Cho hình thang ABCD (AB < CD), AD cắt BC tại I, AC cắt BD tại O. M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC. Chứng minh rằng I, M, O, N thẳng hàng.
HƯỚNG DẪN GIẢI
LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC ở G.
Chứng minh: EG // CD
Giả sử AB // CD, chứng minh rằng AB2 = CD. EG
HƯỚNG DẪN GIẢI
Gọi O là giao điểm của AC và B

a) Vì AE // BC =>

BG // AC =>

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:
Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC ở G.
Chứng minh: EG // CD
Giả sử AB // CD, chứng minh rằng AB2 = CD. EG
HƯỚNG DẪN GIẢI
b) Khi AB // CD thì EG // AB // CD, BG // AD nên:
 
HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt AB = c, AC = b.
BD // AC (cùng vuông góc với AB)

=>
 
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng:
AE2 = EK. EG
.

c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. DG có giá trị không?
 
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng:
AE2 = EK. EG
.

c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. DG có giá trị không?
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng:
AE2 = EK. EG
.

c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. DG có giá trị không?
HƯỚNG DẪN GIẢI
 
HƯỚNG DẪN GIẢI
 
 
HƯỚNG DẪN GIẢI
Mặt khác:
Bài 1: Cho tứ giác ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với BC cắt AB ở E; đường thẳng song song với CD qua O cắt AD tại F
Chứng minh FE // BD
Từ O kẻ các đường thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD tại G và H.
Chứng minh: CG. DH = BG. CH

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối của tia BC sao cho BN = CM; các đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự tại E, F. Chứng minh:
BÀI TẬP VỀ NHÀ
CHÀO TẠM BIỆT
CÁC EM!