Chương III: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Bài 5:

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Bài toán: Cho hai đường thẳng b và c cắt nhau cùng nằm
trong mặt phẳng (P). Chứng minh nếu đường thẳng a vuông
góc với cả b và c thì nó vuông góc với mọi đường nằm trong
mặt phẳng (P).

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

r r u
r r
Gọi u , x, y , z lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường
thẳng a, b, c, d.


  a  b  u.x 0
Theo giả thiết ta có :  
(*)
 
 a  c  u. y 0

Cần chứng minh a  d hay u.z 0

Vì b, c, d cùng thuộc (P) nên , đồng phẳng, hơn nữa không cùng
phương suy ra tồn tại các số m, n sao cho:

r
r
r
r urz = m.rx r+ n.z r r
Þ u.z = m.x.u + n.z.u

(**)


Từ (*) và (**) suy ra: u.z 0 hay a  d
Vậy

a  d (d  ( P))

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
1/ ĐỊNH NGHĨA:

a  ( P)  a  d (d  ( P))

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
ĐỊNH LÝ 1:

a, b Ì ( P )ü
ïï
a Ç b = I ï Þ d ^ ( P)
ý
d ^a ï
d ^ b ïïïþ
Ví dụ: Chứng minh rằng nếu một đường thẳng vuông góc
với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với
cạnh còn lại.

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
2/ CÁC TÍNH CHẤT:
TÍNH CHẤT 1:
Có duy nhất 1 mặt phẳng (P) đi qua điểm O cho trước và vuông
góc đường thẳng a cho trước.
?. Nêu cách xác định mặt phẳng (P).

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
2/ CÁC TÍNH CHẤT:
TÍNH CHẤT 2:
Có duy nhất một đường thẳng Δ đi qua một điểm O cho
trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
?. Nêu cách xác định đường thẳng ∆.

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
2/ CÁC TÍNH CHẤT:
* Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
Tồn tại duy nhất một mặt phẳng đi qua trung điểm và vuông
góc với một đoạn thẳng AB cho trước. Mặt phẳng đó gọi là
mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Ví dụ: Tìm tập hợp các điểm cách đều ba điểm phân biệt A, B, C
cho trước?

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
3/ LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ
VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:
Tính chất 3:
a / /b 
a)
  ( P)  b
( P)  a 
a  ( P) 

b) b  ( P )   a / / b
a b 

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
3/ LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ
VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:
Tính chất 4:
( P) / /(Q) 
a)
  a  (Q)
a  ( P) 
( P)  a 

b) (Q)  a   ( P) / /(Q)
( P ) (Q) 

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
3/ LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ
VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:
Tính chất 5:
a / /( P ) 
a)
 ba
b  ( P) 
a  ( P) 

b) a  b   a / /( P )
( P)  b 

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

4/ ĐỊNH LÝ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC:
a) Phép chiếu vuông góc:
b) Định lý ba đường vuông góc:

Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng
(P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện
cần và đủ để b vuông góc với a là khi b vuông góc với
hình chiếu a' của a trên (P).

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

4/ GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Định nghĩa:

a ^ ( P ) Û ( a,( P)) = 900
a Ì ( P ) (hay a / /( P)) Û ( a,( P)) = 0 0

a không vuông góc với (P), khi đó (a,( P)) = ( a, a ') = a
(với a' là hình chiếu của a lên (P))
Lưu ý: 00 < a < 900

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a;
SA ⊥mp(ABCD)
1. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các
đường thẳng SB và SD.
a) Chứng minh rằng MN//BD và SC⊥(AMN).
b) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN).
Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông
góc.
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) khi SA = a , AB = a.
2

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
CỦNG CỐ KIẾN THỨC
- Nắm được định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Nắm rõ các tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

BÀI TẬP NHÀ:
Bài tập 15, 16 trang 102,103 Sách Hình học 11nâng cao

THE END !!!