Tiết 30-31

HAI ĐƯỜNG THẲNG
VUÔNG GÓC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
1. Góc giữa hai vectơtrong không gian
Định nghĩa
u
B
A

C


v
Trong không gian, cho u và v là hai vectơ khác 0 .
Lấy một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho
0
0


BAC
(0

BAC

180
)
AB = u , AC = v . Khi đó ta gọi góc
là góc giữa hai vectơ u và v trong không gian.
Kí hiệu: (u , v ).

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Ví dụ. Cho hình lập phương
ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa
các cặp vectơ sau:
a. AC và BC

C'

D'
A'

B'
D

b. AB và AC'
A

C

B

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Định nghĩa

 
Trong không gian cho hai vectơ a và b khác vectơ-không.
     
  
a. b  a . b cos a, b .

 

 
 
 
Nếu a 0 hoặc b 0 ta quy ước a.b 0.

Ví dụ: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi
một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung
điểm của cạnh AB. Tính góc giữa hai vectơ OM và BC .
C

 
OM .BC ?

B

 
 cos(OM , BC ) ?

M

O

A

Ví dụ: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi
một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung
điểm của cạnh AB. Tính góc giữa hai vectơ OM và BC .
Giải:
Ta
có:

C

 
  
OM .BC
 
cos(OM ; BC ) 
OM . BC

Tính :


OM ?



BC ?

B
1

O

1

M

1

A

Ví dụ: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi
một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung
điểm của cạnh AB. Tính góc giữa hai vectơ OM và BC .
Giải:
Ta
có:

C


 




OM .BC
OM .BC
  
cos(OM ; BC ) 
2
OM . BC
. 2
2

B

 
OM .BC

So sánh:  

 
OM ?OA  OB




BC ? OC  OB

1

O

1

M

1

A

Ví dụ: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi
một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung
điểm của cạnh AB. Tính góc giữa hai vectơ OM và BC .
Giải:
Ta
có:
Mặt

C


 





OM .BC OM .BC
OM .BC
  
cos(OM ; BC ) 
2
OM . BC
. 2
2

  
 1
khác: OM .BC  2 (OA  OB)(OC  OB)

O
1  
2
 (OA.OC  OA.OB  OB.OC  OB )
2
  
OA  OC  OA.OC ?
  
OA  OB  OA.OB ?
Nhận xét:
  
OB  OC  OB.OC ?

OB 2 ?

B
M
A

Ví dụ: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi
một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung
điểm của cạnh AB. Tính góc giữa hai vectơ OM và BC .
Giải:

C


 





OM .BC OM .BC
OM .BC
  
cos(OM ; BC ) 
Ta
2
OM . BC
. 2
có:
2

  
 1
Mặt khác: OM .BC  2 (OA  OB)(OC  OB)

O
1  
2
 (OA.OC  OA.OB  OB.OC  OB )
2

 2
  
2
Do: OA.OC OA.OB OB.OC 0 OB  OB 1

1
Hay: cos(OM ; BC )  2

B
M
A


1
 OM .BC 
2

 
0
 (OM ; BC ) 120

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
II. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
1. Định nghĩa
u

v

 
Vectơ u 0 được gọi là vectơ chỉ phương của

đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với
. 2. Nhận xét


Nếu u là vectơ chỉ phương của  thì ku (k 0) cũng là
một vectơ chỉ phương của .
Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác
định khi biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ
phương của nó.

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
III. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
1. Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là
góc giữa hai đường thẳng a', b' cùng đi qua một điểm và
lần lượt song song với a và b.
a'

.

O

a
b

b'

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
III. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
2. Nhận xét
Nếu u là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và v là
vectơ của đường thẳng b và ( u , v ) =  thì góc giữa hai
đường thẳng a và b bằng  nếu 00    900 và bằng
1800 -  nếu 900 <   1800. Nếu a và b song song hoặc
trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 00.

u
a
b


v

Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có SA = SB =
SC = AB = AC = a và BC a 2.
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

 
cos( SC , AB) ?

Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có SA = SB =
SC = AB = AC = a và BC a 2.
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

 


Giải:

SC. AB


Ta có cos( SC , AB ) 
SC
. AB







( SA  AC ). AB SA. AB  AC. AB


a.a
a2

BC a 2
Xét tam giác ABC ?


 AB. AC ?

Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có SA = SB =
SC = AB = AC = a và BC a 2.
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.


  
Giải:
SC. AB


Ta có cos( SC , AB ) 
SC
. AB







( SA  AC ). AB SA. AB  AC. AB


a.a
a2

Do BC a 2; AB a; AC a suy ra AB  AC  AB. AC 0
Nhận xét gì về
tam giác SAB?



0
 ( SA, AB) ?  SA. AB ?

Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có SA = SB =
SC = AB = AC = a và BC a 2.
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.


  
Giải:
SC. AB


Ta có cos( SC , AB ) 
SC
. AB







( SA  AC ). AB SA. AB  AC. AB



a.a
a2
Do BC a 2 suy ra AB  AC  AB. AC 0

0

Mặt khác: Tam giác SAB đều  ( AS , AB ) 60
 cos( SC , AB ) ?


nên
( SA, AB) 1200
0

(
SC
,
AB
)

?

1 2
0
 SA. AB a.a.cos120  a
2

Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có SA = SB =
SC = AB = AC = a và BC a 2.
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.


  
Giải:
SC. AB


Ta có cos( SC , AB ) 
SC
. AB







( SA  AC ). AB SA. AB  AC. AB



a.a
a2
Do BC a 2 suy ra AB  AC  AB. AC 0
 
Mặt khác: Tam giác SAB đều, nên ( SA, AB) 1200


1
1
2
0
 SA. AB a.a.cos120  a  cos( SC , AB ) 

2
2
0
 ( SC , AB) 120
Vậy: góc giữa hai đường
thẳng AB và SC bằng 600

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
IV. Hai đường thẳng vuông góc
1. Định nghĩa
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu
góc giữa chúng bằng 900.
Kí hiệu: a  b.
2. Nhận xét



Nếu u và v lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường

thẳng a và b thì:


u.v ?

a  b  cos(a, b) ?

  

 u.v  u . v .cos(u, v) ?

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
IV. Hai đường thẳng vuông góc
1. Định nghĩa
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu
góc giữa chúng bằng 900.
Kí hiệu: a  b.
2. Nhận xét



Nếu u và v lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường

thẳng a và b thì:


a  b  u.v 0

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có ABAC và
ABBD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm
của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ
là hai đường thẳng vuông góc.
Để chứng minh rằng AB
 và PQ là hai đường
thẳng vuông góc  PQ. AB ?

 
BD  AB  BD. AB ?

 
AC  AB  AC. AB ?

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có ABAC và
ABBD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm
của AB và CD. Chứng minh rằng AB và
PQ là hai đường thẳng vuông góc.


Giải: AC  AB  AC. AB 0

   BD  AB  BD. AB 0  
 AC. AB  BD. AB 0  ( AC  BD). AB 0

 
Xét quan hệ giữa PQ và AC  BD


Biểu thị PQ qua AC

qua BD


Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có ABAC và
ABBD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm
của AB và CD. Chứng minh rằng AB và
PQ là hai đường thẳng vuông góc.


Giải: AC  AB  AC. AB 0
 
   BD  AB  BD. AB 0  
 ( AC  BD). AB 0
 AC. AB  BD
.
AB

0
  
Tacó:
 PQ
  PA
  AC  CQ;





 
PQ PB  BD
  DQ

 

 2.PQ. AB  AC. AB  BD. AB  2.PQ  AC  BD

 
 2.PQ. AB 0  PQ. AB 0
 
Vậy: PQ  AB

BÀI TẬP
Bài 1. Cho tứ diện ABCD.
     
a. Chứng minh rằng AB.CD  AC.DB  AD.BC 0.
b. Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện
ABCD có AB  CD và AC  DB thì AD  BC.
Bài 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA SB SC và

 CSA
 . Chứng minh rằng SA  BC , SB  AC ,
ASB BSC
SC  AB.
Bài 3. Cho S là diện tích ABCD. Chứng minh rằng:
 2
1  2
S
AB . AC  ( AB. AC ) 2 .
2
 BAD

Bài 4. Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD, BAC
và bằng 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và
CD. Chứng minh rằng: AB  CD, MN  AB, MN  CD.