CHÀO MỪNG CẢ LỚP
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC
HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Trong Hình 1, hai đường thẳng gợi nên hình ảnh hai đường thẳng
vuông góc trong không gian.
Trong không gian, thế nào là
hai đường thẳng vuông góc
với nhau?

CHƯƠNG VIII. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
TRONG KHÔNG GIAN.
PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC
BÀI 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG
VUÔNG GÓC

NỘI DUNG BÀI HỌC
I

II

Góc giữa hai đường thẳng
trong không gian
Hai đường thẳng vuông góc trong
không gian

I
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN

HĐ 1

Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng .

a) Nếu và cắt nhau tại (Hình 2) thì góc giữa hai
đường thẳng được xác định như thế nào?
b) Nếu thì góc giữa và bằng bao nhiêu độ?
c) Nếu và trùng nhau thì góc giữa và bằng bao
nhiêu độ?
Giải
a) Nếu và cắt nhau tại thì góc giữa hai đường thẳng được xác định bằng góc
giữa hai tia đi qua và tạo thành hai đường thẳng đó.
b) Nếu thì hai đường thẳng và không có điểm chung, do đó
không có góc tạo bởi và .

HĐ 1

Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng .

a) Nếu và cắt nhau tại (Hình 2) thì góc giữa hai
đường thẳng được xác định như thế nào?
b) Nếu thì góc giữa và bằng bao nhiêu độ?
c) Nếu và trùng nhau thì góc giữa và bằng bao
nhiêu độ?
Giải
c) Nếu và trùng nhau thì hai đường thẳng và không có điểm cắt nào nên góc
giữa hai đường thẳng này không xác định.

Kết luận
Góc giữa hai đường thẳng và trong không gian là góc
giữa hai đường thẳng và cùng đi qua một điểm và lần
lượt song song (hoặc trùng) với và , kí hiệu hoặc .

Nhận xét:
•

Góc giữa hai đường thẳng không phụ thuộc vào vị trí điểm (Hình 3).
Thông thường, khi tìm góc giữa hai đường thẳng , ta chọn thuộc
hoặc thuộc .

•

Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai đường thẳng tức là .

•

Góc giữa hai đường thẳng không vượt
quá .

•

Nếu thì với mọi đường thẳng trong
không gian.

1 . GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG



Ta có :

CD / / AB  ( AA ', CD ) ( AA ', AB) 9000

Tứ giác ACC'A' có các cặp cạnh đối nhau nên nó là hình bình hành. Do đó :

A ' C '/ / AC  ( A ' C ', BD ) ( AC , BD ) 9000
Tương tự :
DC '/ / AB '  ( AC , DC ') ( AC , AB ')
Tam giác AB'C có 3 cạnh bằng nhau nên nó là tam giác đều

 ( AC , DC ') ( AC , AB ') 60 00

Luyện tập 1
Cho tứ diện ABCD có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, DA. Biết tam
giác MNP đều. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD.

Giải

Xét có:
là đường trung bình của
Xét có:
là đường trung bình của
Ta có: đều nên

II
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
TRONG KHÔNG GIAN

HĐ 2

Trong Hình 1 ở phần mở đầu, hai đường thẳng gợi nên
hình ảnh hai đường thẳng vuông góc. Góc giữa và bằng
bao nhiêu độ?
Góc giữa và bằng .

Kết luận
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa
chúng bằng .
Khi hai đường thẳng và vuông góc với nhau, ta kí hiệu .

Nhận xét: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai
đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường còn lại.

Ví dụ 2:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh
rằng AC và B'D' vuông góc với nhau khi và chỉ khi
ABCD là một thoi

Giải

- Do B'D' song song với BD nên . Do đó
AC và B'D' vuông góc với nhau khi và chỉ
khi AC và BD vuông góc với nhau.
Do ABCD là hình bình hành nên AC vuông góc với
BD khi và chỉ khi ABCD là hình thoi.c

Luyện tập 2
Cho hình lăng trụ có là trực tâm của tam giác . Chứng minh rằng .
Giải
Ta có: là trực tâm
Vì là hình lăng trụ
nên
Vậy (đpcm)

LUYỆN TẬP

Bắn Cung Tên

Câu 1. Cho tứ diện đều (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau).
Số đo góc giữa hai đường thẳng và bằng

Sai rồi

Đúng rồi

30𝑜

90 𝑜

Sai rồi
Sai rồi

45

𝑜

60

𝑜

Câu 2. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng và các cạnh
bên đều bằng . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Số đo của
góc giữa bằng
Đúng rồi

Sai rồi

30

90

𝑜

∘

Sai rồi
Sai rồi

45

𝑜

60

𝑜

Câu 3. Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định
nào sau đây đúng?
Đúng rồi

Sai rồi
Nếu a và b cùng vuông

Nếu và thì

góc với thì

Sai rồi

Sai rồi
Nếu góc giữa
góc giữa và thì

và

bằng

Nếu và cùng nằm trong thì
góc giữa và bằng góc giữa
và

Câu 4. Cho hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng . Gọi và lần lượt là
trung điểm của và . Số đo của góc bằng

Sai rồi

Sai rồi

30

∘

45 𝑜

Đúng rồi
Sai rồi

6 0∘

9 0∘

Câu 5. Cho tứ diện đều cạnh bằng . Gọi là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác . Góc giữa và bằng bao nhiêu ?

Sai rồi

Đúng rồi

0°
Sai rồi
Sai rồi

30 °

60°

Bài 1 (SGK – tr.79)
Hình 6 gợi nên hình ảnh 5 cặp đường thẳng vuông góc. Hãy chỉ ra 5
cặp đường thẳng đó:

Giải
5 cặp đường thẳng vuông góc là:
.

Bài 2 (SGK – tr.79)
Trong Hình 7 cho là các hình chữ nhật. Chứng minh rằng 

Giải
• Do là hình chữ nhật (1)
Do là hình chữ nhật (2)
Từ (1)(2) (đpcm)

Bài 2 (SGK – tr.79)
Trong Hình 7 cho là các hình chữ nhật. Chứng minh rằng 

Giải
• Tương tự :
Do là hình chữ nhật
Do là hình chữ nhật
Từ đó (đpcm)

VẬN DỤNG



Vì AB // CD (ABCD là hình vuông) nên
(SC, AB) = (SC, CD)

Xét tam giác SCD có :
2
2
2
SC 2  CD 2  SD 2 219  230 2  219 2 115



cos SCD 
2.219.230
219
2SC.CD

 58,32 0
 SCD

Vậy góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB của kim tự tháp khoảng 58,320

Hình 7.4

Bài 3 (SGK – tr.79)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
bình hành và  (Hình 8). Tính góc giữa hai
đường thẳng: 
a) SA và AB
b) SA và CD
Giải
a) Góc giữa và là
b) Có Góc giữa và là góc giữa và là

Bài 4 (SGK – tr.79)
Bạn Hoa nói rằng: “Nếu hai đường thẳng phân biệt và cùng
vuông góc với đường thẳng thì và vuông góc với nhau”. Bạn
Hoa nói đúng hay sai? Vì sao?
Giải:
Bạn Hoa nói sai. Vì :
Theo quan hệ từ vuông góc tới song song :

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
 Ghi nhớ kiến thức trong bài.
 Hoàn thành bài tập trong SBT.
 Chuẩn bị bài sau Bài 2. Đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng

CẢM ƠN CẢ LỚP
ĐÃ LẮNG NGHE!