BÀI 3: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Người dạy: Nguyễn Thị Lan

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
1. ĐỊNH NGHĨA
2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
3. GIỚI HẠN MỘT BÊN
II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

y
8
6
4
2
0

1

2

3

x

Khi đó ta nói hàm số có giới hạn là 2 khi x dần tới 1

Giới hạn hữu
hạn

Tại một
điểm

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
ĐN 1
Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y  f ( x ) xác định trên K hoặc trên K \ {x0 }

Ta nói hàm số y  f ( x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số  xn  bất
kì, xn  K \ {x0 } và xn  x0, ta có f
Kí hiệu: lim f  x  L
x  x0

Ví dụ 1:

hay

 xn  

L.

f  x   L khi x  x0 .

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
Lời giải:
 Hàm số f  x  xác định trên R\{1}

 Giả sử  xn  là một dãy số bất kì thỏa mãn xn 1 và xn  1 khi n  

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa
Nhận xét:

lim x  x0

x  x0

lim c c , với c là hằng số.

x  x0

VD : lim x 5
x 5

lim x  3

x  3

lim 3 3
x 2

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1:
a) Giả sử lim f  x  L và lim g  x  M . Khi đó
x  x0

x  x0

lim  f ( x)  g  x  L  M ; lim  f ( x)  g  x  L  M ;
x  x0
x  x0
f ( x) L
lim  f ( x ).g  x  L.M ;
lim

(nếu M 0)
x  x0
x  x0 g ( x )
M
b) Nếu f  x  0 và lim f  x  L, thì L 0 và lim
x  x0

x  x0

f x   L .

(Dấu của f  x  được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x  x0 )

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1:
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

b)

Giải

y
8
6
4
2
0

1

2

3

x

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

3. Giới hạn một bên
Định nghĩa 2
Giới hạn phải (x > xo)

Giới hạn trái (x < xo)

● Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (xo; b).

● Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng
(a ; xo).

số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y =
f(x) khi x x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0< xn
số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm

xn x0, ta có f(xn)  L.

số y = f(x) khi x x0 nếu với dãy số (xn) bất
kì, a Kí hiệu: lim f ( x) L

Kí hiệu: lim f ( x) L

x  x0

x  x0

x0

x0  x

xb

a x

x  x0

x0

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
3. Giới hạn một bên

lim f ( x), lim f ( x)

x  1

x 1

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
3. Giới hạn một bên
Định lí 2

lim f ( x) L khi và chỉ khi lim f ( x)  lim f ( x) L

x  x0

x  x0

x  x0

b

a

0

x x

f ( x)  lim f ( x)
Nếu xlim

x
x x
0

0

x0

x0  x

hoặc một trong hai giới hạn trái hoặc

limkhông
f ( x) tồn tại
phải không tồn tại thì cũng
x  x0

lim f ( x) L

f ( x0 ) L
Giới hạn hữu hạn của
Thay x0 vào f ( x)
hàm số tại một điểm

lim f ( x) L

x  x0

Phân tích thành
không chứa căn nhân tử, rút gọn
khử dạng vô định

để kiểm tra

0
0
x  x0

Dùng liên hợp,
rút gọn khử dạng
vô định

chứa căn

lim f ( x)  lim f ( x) L  lim f ( x) L

x  x0

x  x0

x  x0

(Giới hạn một bên thường sử dụng cho hàm số nhánh)
 Một số giới hạn cần nhớ:  Một số lượng liên hợp:

 lim c c
x  x0

 lim x x0
x  x0




A B  A B
3

3

2

3

 A  B  A  B
2

3

3

3

2

3

3

A B  A  A.B  B  A  B  A  AB  B

2

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
3. Giới hạn một bên
4 x  2
Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) 
2

khi x 1

3  x khi x  1
Tìm lim f ( x ), lim f ( x) và lim f ( x ) (nếu có)

Giải:

x 1

x 1

x 1





Ta có: lim f ( x ) lim 3  x 2 3  12 4;


x 1

x 1

x 1

x 1

lim f ( x) lim 4 x  2  4.1  2 2;

Ta thấy lim f ( x) 4 2  lim f ( x). Vậy nên không tồn tại lim f ( x )
x 1

x 1

x 1

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
1. Định nghĩa
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
3. Giới hạn một bên
3 x 2  2 khi x 2
Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) 

a  2 x khi x  2
Tìm a để tồn tại giới hạn của hàm số f ( x ) khi x  2

Giải:





Ta có: lim f ( x)  lim 3 x 2  2 3.2 2  2 10;


x 2

x 2

x 2

x 2

lim f ( x)  lim a  2 x  a  4;

Để tồn tại lim f ( x ) thì ta phải có lim f ( x)  lim f ( x)  10 a  4  a 6
x 2

x 2

x 2

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

x2  x 1
Câu 1: Tính lim
x 1
x 1
A.

1

B.

1
2

C.

1

D.

1

2

Đáp án: B

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
3

Câu 2: Tính

x  2  x 1
lim
x 0
3x  1

A.

0

B.

1

C.

3

2 1

D.

3

21

Đáp án: C

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 3: Tính
A.

1

B.

1

C.
D.

1
2
1

2

x2  1
lim 2
x 1 x  4 x  3

Đáp án: A

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 4: Tính
A.
B.

1
3
1

3

C.

1

D.

0

2x  3  x
lim 2
x 3 x  4 x  3

Đáp án: B

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

 x  ax  1
khi x  2
Câu 5: Cho hàm số f ( x ) 
2
khi x 2
2 x  x  1
Để hàm số f ( x ) có giới hạn khi x  2 thì giá trị của a bằng
2

A.

1

B.

1

C.
D.

3
2
3

2

Đáp án: B

II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên khoảng a ;   .

Ta nói hàm số y  f ( x ) có giới hạn là số L khi x   nếu với
f ( xn )  L
xn  a
xn  
( xn )

x  
f (kì,
x) L hayvà f ( x)  L ,khi
Kí hiệu:
dãy
số xlim
bất
ta
có
 

b) Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên khoảng  ; a  .

Ta nói hàm số y  f ( x ) có giới hạn là số L khi x    nếu với
f ( xn )  L
xn  a
xn   
( xn )

x 
f (kì,
x) L hayvà f ( x)  L ,khi
Kí hiệu:
dãy
số xlim
bất
ta
có


III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn vô cực
Định Nghĩa 4

Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên khoảng a ;   .

Ta nói hàm số y  f ( x) có giới hạn là   khi x   nếu với
f ( xn )   
xn  a
xn  
( xn )

x  
f ( xkì,
)   hayvàf ( x)   , khi
Kí hiệu:
dãy
số xlim
bất
ta
có
 
Nhận xét

lim f ( x)   lim ( f ( x))  

x  

x  

Chú ý

a) Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

c
lim c c; lim k 0
x  
x   x

b) Định lý 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x  x0
vẫn còn đúng khi x   hoặc x   

2

 2 x  3x  1
Ví dụ 4: a) Tìm lim
.
2
x  
3x 1
2

 2 x  3x  1
Ta có: lim
2
x  
3x  1
3 1
 2  2
x x
 lim
x  
1
3 2
x
2

3

2

x  3x  2
Ví dụ 4: b) Tìm lim
3
x  
3x  1
2

x  3x  2
Ta có:
(Chia cả tử và mẫu cho x3)
lim
3
x  
3x  1
1 3 2
 2 3
x
 lim x x
0
x  
1
3 3
x

III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn vô cực
Định Nghĩa 4

Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên khoảng a ;   .

Ta nói hàm số y  f ( x) có giới hạn là   khi x   nếu với
f ( xn )   
xn  a
xn  
( xn )

x  
f ( xkì,
)   hayvàf ( x)   , khi
Kí hiệu:
dãy
số xlim
bất
ta
có
 
Nhận xét

lim f ( x)   lim ( f ( x))  

x  

x  

III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

2. Một vài giới hạn đặc biệt
k

a) lim x  với k nguyên dương
x  

k

b) lim x   nếu k là số lẻ
x  

c) lim x k  nếu k là số chẵn
x  

III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f ( x ).g ( x)
Nếu lim f ( x) L 0 và lim g ( x)  (hoặc  ) thì lim f ( x).g ( x)
x  x0

x  x0

x  x0

lim f ( x )

x  x0

lim g ( x )

x  x0

lim f ( x).g ( x)

x  x0

Ví dụ 3: a) Tìm lim (2 x 2  3 x  2)
x  

3 2
(2 x  3 x  2)  lim x (2   2 )
Ta có: xlim
 
x  
x x
3 2
2
Vì : lim x  và lim (2   2 ) 2  0
x  
x  
x x
2

3 2
nên lim x (2   2 ) 
x  
x x
2

Vậy: lim (2 x 2  3 x  2) 
x  

2

3

Ví dụ 3: b) Tìm lim (5 x  3 x  2)
x  

3 2
(5 x  3 x  2)  lim x (5  2  3 )
Ta có: xlim

x  
x
x
3 2
3
Vì : lim x   và lim (5  2  3 ) 5  0
x  
x  
x
x
3

3 2
nên lim x (5  2  3 )  
x  
x
x
3

Vậy: lim (5 x3  3 x  2)  
x  

3

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương f ( x )
g ( x)

lim f ( x)

x  x0

L
L>0

lim g ( x)

Dấu của g(x)

f ( x)
lim
x  x0 g ( x )

±∞

Tùy ý
+
+
-

0
+∞
-∞
-∞
+∞

x  x0

0
L<0

Dấu của g ( x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x  x0
* Chú ý: các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp :

x  x0 , x  x0 , x  , x   

Ví dụ 4: Tìm các giới hạn sau:
3x  2
a) lim
x 1
x 1

3x  2
b) lim
x 1 x  1

a) ta có: lim( x  1) 0, x – 1 > 0 với mọi x > 1 và
x  1

lim(3
x  2) 3.1  2 1  0


x 1

3x  2
Vây lim

x 1 x  1
b) ta có: lim ( x  1) 0, x – 1 < 0 với mọi x < 1 và
x  1

lim(3
x  2) 3.1  2 1  0


x 1

3x  2
vây lim
 
x 1 x  1

Ví dụ 5: Tìm các giới hạn sau:
2x  7
a) lim
x 1
x 1

2x  7
b) lim
x 1
x 1

a) ta có: lim( x  1) 0, x – 1 > 0 với mọi x > 1 và
x  1

lim(2
x  7) 2.1  7  5  0


x 1

2x  7
Vây lim
 
x 1
x 1
b) ta có: lim ( x  1) 0, x – 1 < 0 với mọi x < 1 và
x  1

lim(2
x  7) 2.1  7  5  0


x 1

3x  2
vây lim

x 1 x  1

Bài tập trắc nghiệm
Hãy chọn phương án đúng nhất trong các câu sau :
x2  3
Câu 1: lim 3
bằng:
x  1 x  2
A. 2
B. -2

C. 1

2
4
x
 3 x  1 bằng :
Câu 2: lim
x   
2x  7
A. +∞
B. 0
C. -∞
x3  8
Câu 3: lim 4
bằng:
x  2 x  4
A. 0
B. 2
C. 1

D. -3

D. -1

D. 3

1. Tìm các giới hạn sau:
x 3
a ) lim 2
x  3 x  2 x  15
x+3  2
c) lim
x 1
x 1

b) lim

x  

d) lim

x 2

9 x 2  3x 1
3x  5
2 x
x 7  3

2. Xác định a để hàm số f(x) có giới hạn tại x = 2
 x 2  1 nêu x 2
f ( x) 
1  ax nêu x < 2